Температуры фаз динамического слоя во втором периоде сушки в заданном диапазоне регулируемых параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.31:517.2+536.24

Энергетика

ТЕМПЕРАТУРЫ ФАЗ ДИНАМИЧЕСКОГО СЛОЯ ВО ВТОРОМ ПЕРИОДЕ СУШКИ В ЗАДАННОМ ДИАПАЗОНЕ РЕГУЛИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ

А.В. Бараков, А.П. Бырдин, А.А. Надеев

В статье изучается модель тепло- и массообмена в динамическом (псевдоожиженном) слое с перекрёстным движением твердой и газовой фаз. Рассмотрены процессы обмена в периоде падающей скорости массопереноса в случае малого газосодержания слоя. Решение уравнений модели получено с помощью асимптотических методов

Ключевые слова: динамический слой, тепло- и массообмен, асимптотические методы

ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

Известно, что получение точных решений уравнений в достаточно общей теоретической модели процессов тепло- и массообмена при сушке дисперсных материалов весьма проблематично. В одних случаях это связано с нелинейностью уравнений, вызванной зависимостью коэффициентов от искомых величин, в ряде других случаев - с невозможностью записи граничных условий в аналитической форме. Ввиду этого обстоятельства прибегают либо к численным решениям модельных уравнений, либо к построению упрощенных моделей, приспособленных к конкретным условиям протекания процессов или к конструктивным особенностям аппаратов [1], [2].

Вместе с тем ряд моделей, описывающих процессы обмена при сушке материалов в динамическом слое, помимо численных решений, допускают приближенные аналитические методы [3], в том числе асимптотические методы [4].

Настоящая работа посвящена построению асимптотического решения системы дифференциальных уравнений для одной модели процессов тепло- и массообмена в динамическом слое с направленным перемещением влагосодержащего дисперсного материала. Принятая в работе модель относится к классу полуэмпирических [5], [6]. Базовые уравнения модели, описывающие динамику температур и теплоёмкостей подсистем слоя, вытекают из феноменологических соотношений баланса тепла и влаги для дисперсной и газовой фаз слоя [1], [7], [8], а также полуэмпирического соотношения А.В. Лыкова, моделирующего изменение влагосодержания материала в периоде падающей скорости массообмена [9]. Принимаются также упрощающие модель допущения, указанные в работе [7].

Как правило, в процессе сушки дисперсного материала в условиях псевдоожижения отношение

Бараков Александр Валентинович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-76-62

Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 264-73-55

Надеев Александр Александрович - ВГТУ, канд. техн. наук, тел. (473) 264-83-16, e-mail: alekn85@mail.ru

масс материала и газа, заключенных в слое, мало. Причем указанное отношение масс (газосодержание слоя) содержится в уравнениях для температуры и влагосодержания дисперсного компонента в качестве множителя при производных соответствующих переменных. Это обстоятельство позволяет применять для построения приближенного решения модельных уравнений метод пограничных функций, развитый в работе [10].

Переформулируя соотношения баланса масс по влаге [7] в уравнения для теплоёмкостей дисперсной и непрерывной подсистем слоя, получим следующую начальную задачу для векторно-матричного уравнения вида

E © E W(T) = B © A W(T) + q(T), (1)

W (0) = colon (1,1,1,1). (2)

Здесь точка над буквой обозначает производную по безразмерной временной переменной

т = j (t - to), (3)

где t - текущее время, с; t0 - время начала второго периода сушки, с; j = G2jMl ; A = |, B = ||j -

матрицы, размера 2x2; знак © обозначает прямую сумму матриц;

E = diag (1, у) ; у =

M

M2

W(T) = colon (С (т), C20 (т), ©1(т), ©2 (т));

Q°(T) =

Ck (т)

; cw = Ск (0), (k = 1, 2);

C (т) = с + cxwl (т); C (т) = с2 + спw (т);

сЖ = —; ся0 ; ©k (т) =

T (т) T (0)

(k = 1, 2);

<7(т) = colon (q, q2, q (т), qA (т)) ;

q =-K (1-С,0 ) , q2 = 1 + ft, K =

G

ir-R 0_c1 + c^wP

P0 = P0 0 ; e0 = „ ; Ср ~

сж G2 c10

qз(т) = P<

1 - r (1 - ceo)

С°(т)

(4)

c

с

с

20

?4(Т) =

1 + r2 (1 - C0 (T)) - yC0 (T) + PS (1 - C0 (T))

C0(T)

r =

r = -

1 -^(0)' 2 сит;(0)

«ii(T) = -

во + /о + Ci0 (T) Ci0(T)

Ci0(T)

/ + во (l - CS (T)) e c

«2i(T) = /0 о/, )) , /о = во e , eo = 3 ^

b2ibcC^ (T) ^0 «2i

J+C0 (T) + yC0 (T)

«22(T) =--

C0(T)

S2i =

Ti(0)

5C = -20; bu =-в, bi2 = 0, ¿2i =-P0, ¿22 = -i, Ci0

в = в о + K0.

Введенные в формулах (4) величины имеют следующий смысл: M, M - массы материала и газа в слое, кг; — , — , -ж, - - удельные теплоёмкости сухого материала, сухого газа, жидкости и пара, Дж/(кг K); r - удельная теплота парообразования, Дж/кг; w (т), W (г) - текущие значения влагосо-держаний материала и газа, кг/кг; w - равновесное влагосодержание материала, кг/кг; Gj, G2 - массовые расходы материала и газа, кг/с; e - суммарная

2

площадь поверхности частиц материала в слое, м ; T (т), T (г) - текущие температуры материала и газа в слое, K; а21 - коэффициент теплообмена между материалом и газом, Вт/(м2 K); k - интенсивность сушки, кг/(м2 с); у - газосодержание слоя.

Параметр К0 представляет собой безразмерный коэффициент сушки, а e - термодинамическую контактную поверхность материала.

В дальнейшем предполагаем выполненным условие малости параметра газосодержания слоя Y □ 1. В этом случае уравнение (1) представляет собой сингулярно возмущенную систему четырех дифференциальных уравнений для приведенных теплоёмкостей C0(t) и безразмерных температур © (t) (k = 1, 2) подсистем слоя.

Решение этой системы получим в первом приближении по параметру возмущения у .

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

Используя метод пограничных функций, получим главные члены асимптотического разложения решения системы (1 ).

Подсистема уравнений в (1) для приведённых теплоёмкостей материала и газа не включает температурные члены

Ci0(T) = в (l - C0 (T))- Ко (l - C0) yC (T) = во (l - C0 (t) ) + (l - C20 (t) ) C°(0) = i, C2°(0) = i.

При этом первое уравнение подсистемы автономно и его решение имеет вид

с?(т) = 1-к0*(1-^), к; = К (1 - с;0). (6)

Приближенное решение второго уравнения системы (5) получим в виде разложения

N

С (т,у) = £ у" (с°2п (т) + п2и (5)), (7)

п=0

где N - заданный уровень приближения, п2и(5) -пограничные функции, 5 = т/у.

Решая последовательно дифференциальные уравнения для функций С°и и л2и по методике, описанной в монографии [10], получим

С0 (т,у) = 1 + Р0 (1 - СО (г)) +

+Увв'о

C°|s I-Ci0(T) | +... .

(8)

Легко показать, что ряд в выражении (8) сходится при ур<1. Таким образом, приведённая теплоёмкость газовой фазы слоя выражается через приведенную теплоёмкость дисперсной фазы.

Приближенное решение подсистемы температурных уравнений

© 1 (т) = аи (т)©1 (т) + «12 (т)©2 (т) + qз (т), у© 2 (т) = «21 (т)©1 (т) + «22 (т)©2 (т) + q4 (т), (9) ©1(0) = 1, ©2(0) = 1 осуществляется аналогичным способом. Решение системы (9) ищем в виде разложения по параметру возмущения

N

©к(т,у) =2т" (©кп(т) + Пп(5)), (к = 1, 2) . (10)

п=0

Подставляя (10) в уравнения системы (9), приравняв затем коэффициенты при одинаковых степенях параметра у отдельно для функций, зависящих от «медленных» - т и «быстрых» - 5 аргументов, получим дифференциальные уравнения для основных и пограничных функций. Уравнения для первых членов разложения (9) имеют вид

© 10 (т) = ап (т)©ю (т) + (т)©20 (т) + q3 (г), < 0 = ап(т)®ю(т) + «22(т)©20(т) + qл(г), (11) ©10(0) = 1, (5)

ds d^ (s)

= 0,

ds

= a2i (s)ni0 (s) + a¡2 (s)n20 (s),

(i2)

n,0 (0) = 0, П20 (0) = 1 -©20 (0),

r

r

c

где a0(s) - первые члены разложений соответствующих функций в ряды по степеням у .

Значение функции ©20 (т) при т = 0 находится из второго уравнения системы (11).

Из уравнений (11), учитывая выражения (4), получим

/ + р0 (1 - С0 (г)) @1о (Т)

©2о(т) =

1+folS +P*(1 -Q°(T)) SA,

1 + (1 - r2 )^o'(l - С» )

+ 1 + fo/Sc + P*(1 - С°(г) ) '

© 1o(T) + P(r)©10 (т) = Q(T),

(13)

где 0(г) = а12(гШг) + а22(гШг) .

Я22(г) '

Р(г) = —Д(г) ; Д(г) - определитель матрицы коэф-Я22(г)

фициентов в системе (11).

Представим решение дифференциального уравнения (13) в форме Коши.

©10 (г) = exp I -J P(x)dx 1 +

(14)

JQ(Ç)exp -jP(x)dx

dÇ.

Решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению в (13), имеет вид

1-M1

expl^-JP(x)dx j = e-^ [c°(r)]

( Y1

x 1 + fol S

V1 + fo/S + Po*(1 - С°(г))у '

где введены следующие переменные

mo = [p„/ (1 - k*)]x

Po (1 -K*) + (1 + f )f 1 + fL K

(15)

S

1+f 8m ko

M =

Po

(1+f )

1+ P S S п

1 - K o P

1+A ( f+S )

^ \J пж /

(16)

Mi = [Po7 S ]X

1 + P f (1 S )

P

1 + P ( f + S )

^ \J пж /

1+P ( fko)

Здесь / = Б/Бо, бпж = с„1сж.

Из вида / в формулах (16) следует, что параметр (1 -/) в выражениях (14), (15) может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от соотношений между регулятивными параметрами Р0 и f. В частности, если выполняются неравенства

S - KC0 Po ^ °Р

1-S

(17)

или

f ^ o

S - KCo o<P0<-C o p

1 -S

o < f <■

Ko co (Sc +P08m )

(18)

Ро [" - КоС0 -Ро (1 -"„ж )]'

то параметр (1 - /) > 1. Отметим, что при всех физически допустимых значениях величин в выражениях (16) / < 1. В дальнейшем остановимся на случае / < 1 и некоторых дополнительных условиях.

Интеграл в правой части решения (1 4) не представляется в замкнутом виде при произвольных значениях параметров, а выражается рядами по специальным функциям с аргументами К*й (1- е Рг). Однако в ряде частных случаев при определенных соотношениях между параметрами расхода Р0 и поверхностным фактором / интеграл в (14) допускает простые оценки.

Представим подынтегральные выражения (14) в

виде

exp |J P(l)dlj Q(r) :

M 3

a n=1

Z 4A ( yj) ),

(19)

где обозначено

У = 1 - С (г),

fo _(a + Py)M

a = 1 + Z1(y) = ■ ,

S 1(У) (1 - y)1-M1

z i( y) = , Z3( y) = (1 - y)M1-1 (a + P0y)

Ml-1

A = Po 1, A = Po

1 -1 +Slxf Sl1f Po*

1+(1 -1 )po

a + Po*

(lo)

^ =Р0 / ['- "2 ) 4

При дополнительных к (17) условиях

/о <Р, / > ^ "„ж 1

(11)

все функции 2п (у (г)) монотонно возрастают. Отсюда вытекает следующая оценка сверху решения (14):

o

X

©10«) *

1-й

[ a + - C°(r) )J

1 - е"

Р(й +Й2 )

A +

A

A

C(г) a+д;(1 -С»)

(22)

Завершая построение приближенного решения температурных уравнений в виде (10), из уравнений (12) получим пограничные функции. Имеем

Пю (s) = 0,

П20 (s) =

fo S21 -1)

(

exp

fo + S

Л

s

У

(23)

¿21 (/0 )

Таким образом, соотношения (6), (8), (10), (13), (22) и (23) при условиях (17) и (21) определяют главное приближение к решению задачи об эволюции теплоёмкостей и температур материала и теплоносителя в динамическом слое с направленным движением дисперсной фазы при малом газосодержании слоя.

Литература

1. Исследование сушильных установок с помощью математического моделирования [Текст] / И. П. Баум-штейн, А. В. Лыков, М. И. Людмирский, Ю. А. Майзель // Тепло- и массоперенос в процессе сушки и термообработки: сб. ст. - Минск: Наука и техника, 1970. - С. 53-79.

2. Математическая модель сушки дисперсных продуктов в активном гидродинамическом слое [Текст] / Н. Н. Малахов, С. В. Дьяченко, Е. Г. Папуш, О. А. Кли-

менчук // Известия вузов. Сер. Пищевая технология. -2005. - № 2-3. - С. 97-102.

3. Харин, В. М. Кинетика сушки во взвешенном слое [Текст] / В. М. Харин, Ю. И. Шишацкий // Теоретические основы химической технологии. - 1995. - Т. 29, № 2. -С. 179-186.

4. Шабани-Шахрбабаки, А. Использование метода возмущений для решения задачи о теплообмене между газом и твердыми частицами [Текст] / А. Шабани-Шахрбабаки, Р. Абазари // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50, № 6. - С. 55-60.

5. Фролов, В. Ф. Макрокинетический анализ сушки дисперсных материалов [Текст] / В. Ф. Фролов // Теоретические основы химической технологии. - 2004. - Т. 38, № 2. - С. 133-139.

6. Рудобашта, С. П. Математическое моделирование процесса конвективной сушки дисперсных материалов [Текст] / С. П. Рудобашта // Известия Академии наук. Сер. Энергетика. - 2000. - № 4. - С. 98-109.

7. Надеев, А. А. Процессы тепло- и массопереноса в псевдоожиженном слое для второго периода сушки [Текст] / А. А. Надеев, Ю. Н. Агапов, А. П. Бырдин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012.- Т. 8, № 11. - С. 132-137.

8. Шишацкий, Ю. И. Математическое описание процесса сушки дисперсных материалов в псевдоожиженном слое [Текст] / Ю. И. Шишацкий, В. А. Бырбыткин, С. В. Лавров // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2006. - Т. 2, № 6. - С. 56 - 61.

9. Лыков, А. В. Теория сушки [Текст] / А. В. Лыков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1968. - 472 с.

10. Васильева, А. В. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений [Текст] / А. В. Васильева, В. Ф. Бутузов. - М.: Наука, 1973. - 272 с.

+

Воронежский государственный технический университет

TEMPERATURES OF PHASES OF THE DYNAMIC LAYER IN THE SECOND DRYING PERIOD IN A GIVEN RANGE OF ADJUSTABLE PARAMETERS

A.V. Barakov, A.P. Byrdin, A.A. Nadeyev

This paper studies the model of heat and mass transfer in a dynamic layer (fluidized bed) with a cross motion of solid and gas phases. The processes of exchange in the period of falling mass transfer rate are considered for case of small gas content of the layer. Solution of the model equations obtained using asymptotic methods

Key words: dynamic layer, heat and mass transfer, asymptotic methods