CC BY
7
УДК 542.47
ОЦЕНКА ТЕМПЕРАТУРЫ ДИСПЕРСНОГО МАТЕРИАЛА
В ДИНАМИЧЕСКОМ СЛОЕ ПРИ МАЛОМ ГАЗОСОДЕРЖАНИИ Бырдин Аркадий Петрович, к.ф.-м.н., доцент
(e-mail: [email protected]) Корчагина Елена Васильевна, к.ф.-м.н, доцент (e-mail:[email protected]) Воронежский государственный технический университет, Россия Акманов Булат Рустамович, курсант (e-mail: [email protected]) Воронежский институт ФСИН России, г.Воронеж, Россия
В данной статье проведено исследование процессов тепло- и массооб-мена в динамическом слое в случае малого газосодержания. Получены аналитические решения уравнений модели. Выполнены оценки температур материала и теплоносителя для определенных соотношений параметра расхода и поверхностного фактора.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, температурная зависимость, псевдоожиженный слой, влагосодержание, ожижажающий агент.
В данной работе аналитическими методами изучаются процессы тепло-и массопереноса, протекающие во втором периоде сушки [1] дисперсного влагосодержащего материала в псевдоожиженном слое. В качестве ожи-жающего агента рассматривается теплоноситель - газ, содержащий пары жидкости. В используемой модели учитывается также направленное перемещение псевдоожиженного материала в слое. Базовыми уравнениями модели являются соотношения баланса массы и тепла, записанные для дисперсной и непрерывной фаз слоя [2], [4]. В достаточно общих теоретических моделях процесса сушки, учитывающих, например, температурную зависимость физических характеристик материала, прибегают к численному решению соответствующих дифференциальных уравнений [2], [3]. Однако в ряде случаев [4] можно получить приближенные решения уравнений в аналитическом виде, что позволяет явно проследить зависимости температур и влагосодержаний фаз от физических и иных параметров слоя.
Из балансовых соотношений по влаге и теплоте можно получить следующую систему векторных дифференциальных уравнений для безразмерных теплоемкостей и температур подсистем псевдоожиженного слоя:
ErC 0(т) = B C V) + b, C0 = colon Еув (г) = A (т)в (г) + а(т), в (0) = colon
?
В уравнениях (1), (2) точка над буквой обозначает производную по безразмерной переменной:
Т = j(t - to), j = -T
где ? - текущее время, - время начала второго периода сушки
м2
7 =—2
м
Ёя = diag(1,7) С0 (г) = со1оп(С0° (г), С20 (г)) в (г) = со1оп(в1 (г), в2 (г))
*>(г) = Сг а^_тк (г)
С0(г) = „ „ _ в (г) = ■
Ч Ско = С (0) ^ Тк (0) (к = 1,2)
?
C 0 = ^ + сЖ®р CP '
С1(г) = С1 + Сж&1(г) ^(У) = С2 + сп®2(г) С
10
А (г) =
а,(г)
В = |\Ъг]\\, А(г) А, (г)||, ^ с0 (г), (i,, = 1,2),
ъ21 =§ £±
Ъ11 =~Р = ~(р0 + Ж0) Ъ12 = 0 21 "Ж Ъ22 = -1
ап (г) = р0 + /¿с + С (г) а22 = / + С° (г) + 7С20 (г)
5 =
а21 = 5/ -А,(1 - С" (г)) 5 = с^ 5 = ТЖ а12 = 5215С/ , 21 ¿215 , "Ж Сж , 21 Т1(0)
а1 (г) = Г1 - г1 (1 - С0 (г))) а (г) = со1оп(а1(г), а2(г)) С1(г)^ 4 /-1
а2(г) = „ 0
1
С20(г)
1 + 5« 55^(1 - Г )(1 - С10(г))
п = С^ . = £ 8 = О^ = КС?0 -г-
П = П + аК0 У0 С2 ' Б0 6 «21 6 «21 1 СЖТ (0)
Г2 =
СпТ2(0)
с с с с
где ^ 2' Ж' П - удельные теплоемкости сухого материала, сухого газа, жидкости и пара Ю1 (т^ Ю2 (т) - текущие значения влагосодержаний материала и газа;Юр - равновесное влагосодержания материала; И,М2 - масса
материала и газа в слое; ^ 2 - массовые расходы материала и газа; £ -суммарная площадь поверхности частиц материала в слое; К - коэффициент теплообмена между материалом и теплоносителем; г - удельная теплота парообразования.
Решение системы уравнений (1), (2) будет построено далее асимптотическим методом в предположении малости параметра газосодержания слоя у<<1. При этом условии рассматриваемая система векторных дифференциальных уравнений является сингулярно возмущенной системой. Из уравнения (1) и вида матрицы следует, что дифференциальное уравнение для
й с0 (Т) у
первой компоненты вектора не содержит и параметр возмущения ,
с10
г
и функцию ^. Из этого уравнения получим приведенную теплоемкость дисперсной фазы слоя:
1 - С0
ТУ- " _ ту- ^_Р_
С0(т) = 1 - - е-рт) 0 0 р
?
Решение уравнение для компоненты в системе (1) и решение системы (2) ищем в виде:
С0 (т, у) - X К=0 *К С2К (т) + Kk (s)) 0 (т, у) - X К=0 ук Фк (т) + П к (s))
? ?
ек (т) = colon(9iK (т), 02K (т) пк (s) = colon (Цк (s), П2К (s)),
?
где N - заданный уровень приближения, Пк (s), П1К (s), Пж (s) - пограничные
s =т
члены [5], Подставляя (5) и (6) в соответствующие дифференциаль-
ные уравнения и приравнивая члены с одинаковыми степенями ? в правой и левой частях полученных равенств отдельно для т и для s, получим системы уравнений, определяющие члены соответствующих рядов. Таким образом, для членов ряда (5) получим уравнения:
С0(т) = 1 + А(1 - С0(т)) = -гro(s) . ^ = -я1( s)
3) , ds 0 , С21(т) =-С 20(т), ds 1 \
Поскольку функция Сс20 Г удовлетворяет начальному условию, то начальные условия для уравнений с пограничными членами в (7) имеют вид:
Я0(О) = 0 , лк (0) = С°1(0).
Учитывая (5) и (7), получим следующее выражение для приведенной теплоемкости газовой фазы:
°0
1 - С10(т)-ур f С10(т) - С10(рР) ^
V р
+...
Выражения (4) и (8) определяют законы изменения теплоемкостей материала и газа в псевдоожиженном слое при достаточно малых, вызванные изменением влагосодержаний фаз. Из формул (4) и (8) видно, что процесс изменения теплоемкостей фаз характеризуется двумя временами релаксации:
- М (1 - М
1р1 - ^ (1 + ^ ) 2 - ^
Ц Ц Цг
?
Подставив соотношения (6) в уравнение (2) и выполнив описанную выше процедуру, получим уравнения для членов приближения к температурам фаз:
00 (т) - -А 1 (г)^10 (Г) + А12 (т)00 (т) + а (г), 010 (0) -1, А20)(г)0ю(г) + а20)(т).
Ф20 (т) = ■
40V)
= 0, Пю(0) = 0,
d Пю(5) ds
^^ = А20) (5 )ПШ( 5) - А(0) (5)П 20 (5)+а20) (5),
ds
.(°) „ а20)
где верхний индекс в коэффициентах А^ и 2 обозначает первые члены разложений соответствующих функция по степеням 7.
Решение вырожденной системы (9) можно представить в форме Коши:
вю(г) = exp (-]>(г^г) + £0Г)ехр (-¡^(Хр^
в20 (г) = ^0-1(г)
5/+Я(г)
5с521
во (г) + 1 + 5„ (1 -Г2)Я(г)
где
Р (г) = -
А(г)
О (г) = а1 (г) +
а12а2 (г) С2 (г)
С0 (г)а22 (г) а22 (г)С10 (г) ? ?
N (г) = 1 + / + 5пхЯ(г) К (г) = П0 (1 -С" (г)) А(г) = С° (г)С° (г)^(А(*))
? ?
Экспоненциальный член в решении (11) представляется в замкнутой форме
ехр
("!> (г) dг) = [Cl0 (г)]1
и
1+/ N0 (г)
\М2е
где введенные параметры выражаются через базисные следующим образом:
(п+5
г
и = Р(и +иХи =
1 + 5ж П
\
'с у
( + /К0СР + / + 5т П
/& [1 + /(1 -5т)]
И =
1 +/ + 5 п
Л ПЖ п
1+/
1 + 5ж п К
Интегральный член в решении (11) можно представить в виде интеграла, содержащего гипергеометрические функции Гаусса, который, в свою очередь, можно представить степенным рядом. Введя новую переменную ин-
у = ДТ1К (£) тегрирования 0 , получим:
г (Г) ехр [-[р (Л) dЛ dг = ехр (-¡0гР (X)dлYj{т)Pl (у (у )ф
где
р (у) = мп (а + у)и
1 - Г2 у + 5п
(1 - г») у
а + у
М0 =
а
и
/К *
а =
1 + /
5пжП0
F(.y)= 2FI (2-M,1;1y) 2F М + М +
y
K J X (r) = ß-R (r)
zFi (aß; y;z)
где - гипергеометрическая функция. Явное выражение для ин-
теграла в правой части (14) не приводим ввиду его громоздкости.
В ряде случаев, когда между параметрами в (3) выполнены определенные соотношения, интеграл (14) можно оценить простыми выражениями. В частности, когда величины параметров и / удовлетворяют неравенствам:
(
KoCO <8С, ß < min
8 - fK0C0pЛ
8пж (Г2 - 1) 1
ß koc0
1 +8 ß
пж 5
> 1,
"8С-/К0С°р-р0(1 -8т)
подынтегральная функция в решении (2) представляет собой произведение двух монотонных функций и интегральный член допускает двустороннюю оценку
I (r)
>
ßo (1 -
MoC (r)
I (r)
1 - rX (r) + f 8
8ж ( - 1)X (r) 211 + f + 8« ß X (r)
<
ßo Mo
л
1 + 8
- f
21 ßo f
1 - e
-Mor
J
1 + f
где 1(т) - интеграл (14).
Для завершения процедуры построения первого приближения к решению уравнений для температур фаз слоя из системы (10) получим выражения для пограничных функций:
Пю (s) = o, П2o (s) =
f (1 ^ ) Г (1 + f)
1 + f
exp
f У
Таким образом, соотношения (6), второе соотношение в (12), выражение (13), (16) и оценочные выражения (16) определяют в первом приближении решение температурных уравнений для материала и теплоносителя в псев-доожиженном слое с направленым движением фаз.
Список литературы
1. Лыков А.В. Теория сушки / А.В. Лыков.- М.: Энергия, 1968. - 472 с.
2. Баумштейн И.П. Исследование сушильных установок с помощью математического моделирования / И.П. Баумштейн, А.В. Лыков и др. // Тепловой массоперенос в процессе сушки и термообработки: сб. ст. - Минск: Наука и техника, 197o. - с. 53-79.
3.Рудобашта С.П. Математическое моделирование процесса конвективной сушки дисперсных материалов / С.П. Рудобашта // Изв. АН. Энергетика. - 2ooo.- №4. - с. 98-1o9.
4. Надеев А.А. Процессы тепло- и массопереноса для второго периода сушки / А. А. Надеев, Р.К. Агапов, А.П. Бырдин // Вестник ВГТУ. - 2o12. - Т.8. - №11. - с.132-137.
5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов // М.: Мир. 1968 г. - 464 с.
Byrdin Arkady Petrovich — са-ndidate of physico-mathematical Sciences, associate professor
(e-mail: [email protected])
Voronezh state technical University, Voronezh, Russia
Korchagina Elena Vasil'evna — сandidate of physico-mathematical Sciences, associate professor
(e-mail: [email protected])
Voronezh state technical University, Voronezh, Russia Akmanov Bulat Rustamovich - military student (e-mail: [email protected])
Voronezh institute of the Russian Federal Penitentiary Service, Voronezh, Russia ESTIMATING OF THE TEMPERATURE OF PARTICULATE MATERIAL IN DYNAMIC STRATUM AT LOW GAS CONTENT
Abstract. Studied processes of heat and mass exchanging in dynamic stratum at low gas content. Obtained analytical solutions of the equations of this model. Estimating material and coolant temperature for the certain relations of consumption and surface factor.
Keywords: differential equation, temperature dependence, fluidized bed, moisture content, fluidizing agent.
УДК 621.359
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОЭРОЗИОННЫХ ПОРОШКОВ В КОМПОЗИЦИОННЫХ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЯХ ПРИ УПРОЧНЕНИИ И ВОССТАНОВЛЕНИИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН Гадалов Владимир Николаевич, д.т.н., профессор Юго-Западный государственный университет, г.Курск, Россия
Игнатенко Николай Михайлович, д.ф.-м.н., профессор Юго-Западный государственный университет, г.Курск, Россия Желанов Алексей Леонидович, к.ф.-м.н., доцент (С384dx@ yandex.ru) Курский государственный университет, г.Курск, Россия Беседин Александр Геннадьевич, к. ф.-м.н.,доцент (te/[email protected]) Юго-Западный государственный университет, г.Курск, Россия
Одним из путей повышения износостойкости электролитических покрытий является осаждение композиционных электрохимических покрытий (КЭП). Для получения КЭП одним наиболее перспективным методом является метод электроэрозионного диспергирования (ЭЭД). Методом ЭЭД можно получать порошки практически любых токопроводящих материалов в различных рабочих жидкостях. Получаемые этим методом порошки имеют в основном сферические частицы размером от 0,01 до 100 мкм. Изменяя электрические параметры процесса диспергирования можно управлять шириной и смещением интервала размера частиц.
