Кинетика теплообмена в кипящем слое в стадии прогрева материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 542.47

КИНЕТИКА ТЕПЛООБМЕНА В КИПЯЩЕМ СЛОЕ В СТАДИИ ПРОГРЕВА МАТЕРИАЛА

А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко, В.Г. Стогней

В данной работе рассматривается теплообмен в кипящем слое на ранней стадии прогрева материала. Для модельной системы дифференциальных уравнений получены простые аналитические решения. Сформулированы условия на удельную поверхность материала, при выполнении которых решения являются корректными

Ключевые слова: псевдоожиженный слой, теплообмен, асимптотический метод

В настоящей работе анализируется применимость ВКБ - асимптотики решения температурных уравнений к описанию начальной фазы термического взаимодействия дисперсной и газовой подсистем псевдоожиженного слоя. Как и в работах [1] и [2], исходным пунктом модели тепло-и массопереноса в динамическом слое является соотношения баланса для потоков тепла и энтальпии, соотношение материального баланса по влаге для теплоносителя и феноменологическое уравнение А.В. Лыкова, описывающее изменение влагосодержания материала в периоде постоянной скорости сушки [3]. Также как в указанных выше работах, в данной работе не учитывается теплообмен между границей сушильного аппарата, газораспределительной решеткой и

теплоносителем, который предполагается незначительным. Предполагается также малость величины удельного газосодержания слоя относительно других безразмерных параметров, характеризующих процессы тепло- и массообмена в использованной математической модели.

Из соотношений материального баланса по влаге (жидкость в материале и пар в теплоносителе) вытекают дифференциальные уравнения для теплоемкостей дисперсной и газовой подсистем слоя, решение которых [4] будут использованы ниже.

Из балансовых соотношений для потоков тепла и энтальпии при реализации первого этапа массообмена между подсистемами слоя вытекают уравнения для температур подсистем, которые можно представить в виде:

ЯСо(г)0 (г) = Аой (г) + /о, 0 (0) = Со/оп(1,1),

где

в (г) = со1оп(в1(г),в2(г)), /0 = 88сСо1оп(-N0 Г2, 1 - N о Г2 ),

Тк (г)

(1)

(2)

вк (г) = -

Тк о

Тк о = Тк (0),

Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 252-46-68

Сидоренко Александр Алексеевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 252-46-68 Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, профессор, тел. (473) 252-53-54

С°(г) = ^:

к ск 0

Ск0 = Ск (0), (к = 1,2);

8 = ¿с = —; Н = И6ЕГ, Ёг = й1а%(\гХ

т10 с10

С0 (г) = diag(C(¡{г), С°1(г)),

-8с«2 88са2

812 -88с (1+12).

а о лг 0 а2 =--, 11 = Ж0 сж

Ус20

Л 1 0 " Л

Н8 = 0 88с , Ао =

«2 =а2 - 12 ,

о Лг 0 0 ж 0 <-П 12 = Ж0сП , сж =-, сП =-

сП

с10 " с20 (г) = (С1 + Сж(г))/сю ,

С0 (г) = (с2 + сП w2 (г))1 с20 , гк = г1Тк0 ск0 , г = г'/у -безразмерная переменная, г' - время, у -удельный расход сухого газа; N0 = N У , N -скорость сушки в первом периоде процесса сушки (эмпирический параметр); с^, с2, сж , сп - -

удельные теплоемкости сухого материала, сухого теплоносителя, жидкости и пара; а - коэффициент теплообмена между теплоносителем и материалом; г - удельная теплота испарения жидкости; 5 удельная поверхность материала; м>1 (г), ^2 (г) -влагосодержания материала и теплоносителя; м^(0) = Wlо, ^2(0) = ^20. Постоянство вектора

/0 в уравнении (1) обусловлено принятой моделью массообмена в первом периоде сушки.

Из вида элементов матрицы Ао в соотношениях (2) следует, что при величине отношения удельной поверхности материала в слое к величине контактной термодинамической

поверхности равной параметру 12, матрица Ао становится вырожденной. В этом случае система температурных уравнений (1) превращается в квазисвязанную систему, которая тривиально интегрируется. Физически этот случай соответствует ситуации, при которой испарение жидкости с поверхности материала происходит как за счет энергии теплоносителя, так и за счет теплоты материала. Для малых величин параметра «2 решение системы (1) также можно получить на

базе простейшей итерационной схемы.

Оставляя в стороне этот простейший случай, преобразуем систему температурных уравнений (1) к виду, удобному для применения асимптотического метода.

Запишем уравнения системы (1) в нормальной форме

=,0

,-1

в (г) = Си (T)Ag9 (г), — *

в (0) = Colon(1 -в10,1 -в20), -1 7

(3)

где в (г) = в (г) -в0, в0 = A f = Со1оп(в10,в20)

fl = colon ( 88 с N0 Г2, 1), N0r2

(4)

610 = d

в20 -

A =

a

-Sc&2 88«2

a - («2 +1) o

a2

620 = 1 - N0Г2^;

a2

A- — E- A .

Преобразуем теперь уравнения (3) в систему, содержащую уравнение второго порядка относительно температуры дисперсной подсистемы:

(„ ~ . Л

61 (г) +

в*(г) =

¿>ca~2 + С°Сг) + a2+1 Cf(z) -С0(г)

вв(г) в*(г)=0,

С(г)

(5)

1

SSc«2

(

11 •44 ~ ~ 44 Cl (г)6&1 (г) + Ос«2в! (г)

61 (0) = 1 -8 1 - N0 r2

«2 +1 «2

• Ч5 ~

61(0) = 8с«2

8

1 -

n 0 r2 ««2

-1

Для приведения уравнения второго порядка в системе (5) к двучленной форме используем преобразование зависимой переменной

С°(г)

где n =

X (г) =-

С0(г)

8c¿~2 -¡1

m ] * n ехр|-т|в1(г),

(6)

«2 +1

2// 2(/2 +1) В результате выполнения преобразования (6) получим начальную задачу для новой температурной функции

1 *

X (г) = — F (г, g) X (г), X (0) = в* (0), g

X (0) = l^fOLH-«-/)+°^0Г2.«Ш.

2

g

«2

« + 1 е ~ «2-1 ,, ^

-+ 8с«2 —2 --/¡1

I - «2 +1

Здесь введены обозначения:

(7)

F (г, g) = F0 (г, g) + F1 (г, g) + g2F2 (г),

F0 (г, g) = 92 (г, g) + «2 1 ¡2 9? (г, g), «2 +1 2

т «2 -1 г 91 (г)

2 —-91(г) -

F1 (г, g) = q 2 (г, g)

«2 +1

j2

F2 (г) = qf (г) +191 (г)-Т- 9 1 (г)) -1

dr

91(г) _

' МТ

91(г),

91(г) =

2С0(г);

9 2 (г) =-

«2 +1

-0,

2С 2(г,^)

Таким образом, коэффициент в правой части уравнения (7) выражается через базовые функции, являющиеся матричными элементами диагонали 0_1

матрицы С ■ А .

Дальнейшее продвижение в построении асимптотики решения уравнения (5) связаны с выполнением преобразования Лиувилля [6] и использованием метода ВКБ. Однако быстрое изменение теплоемкости теплоносителя при малом газосодержании слоя и невозможность точного решения дифференциального уравнения для калибровочной функции [7] приводит к тому, что ВКБ-асимптотика не является равномерно пригодной для различных значений Т. В этой связи возникает вопрос о степени точности ВКБ-решения в начале процесса тепломассообмена между подсистемами псевдоожиженного слоя.

Построим приближенное решение уравнения (7) при малых значениях временной переменной Т и проведем его сравнение с результатом, полученным методом ВКБ в работе [4].

Разложим функцию ^(т, g) в ряд по

переменной

С°(г) - С0(0),

2

ограничившись

величинами порядка g~ при т < g2 /1 (1 > g).

В результате такого разложения уравнение (7) переходит в приближенное уравнение вида

■■a *

X(г)---X(г) = F (г,-)X(г),

g

(9)

где

a =

- b2

«2 > 2¡2 -1,

«2 = 2/2-1, b2 = «+«2 +1-l2|; «2 < 2/2-1;

F (г, g) = -F0 (г, g) + F1 (г, g) +..., g

(10)

F0 (г, g) =

«2 + 1

*

« - («2 - 2¡2)

С 2(г) -1

s с2 ~2 «2 +1 С2 (г) -1 F1 (г,-) — 8-a- ---2--

3«2 +1 - 2/2 С2(г) -1

m

2

b

0

2

g

2

g

* ,, ~ а2 -1 . а =дса2—--11.

2 «2 +1

В этом приближении, как видно из (10), пренебрегаем влиянием теплоемкости дисперсной подсистемы слоя на процесс теплообмена. Для учета влияния изменения этой теплоемкости необходимо в разложении функции Г (г, у)

4

сохранить члены порядка у .

Отметим также, что введенное выше ограничение на переменную г не предполагает, вообще говоря, малости параметра 12 (т.е. малости скорости сушки N). В то же время, увеличение параметра 12 сужает интервал возможных значений г, для которых применимо рассматриваемое приближение. Таким образом, введенный в (10) параметр а может принимать и отрицательные значения, что кардинально изменяет тип решения.

Рассмотрим решение уравнения (9) в случае 2

а = Ь . Физически это означает наложение связи на удельную поверхность материала, величина которой ограничивается

термодинамических контактных испаренной из материала теплоносителя:

разностью поверхностей жидкости и

0

„ ^п 5 > 2—п

С

20

а

Решение уравнения

разыскиваем в виде [5]

( г 1

X(г) = ехр

а

(9) при

Л

условии

-1Мо(г^г Х7*2*(г)

у о )к=0

(11) (11)

(12)

0 у

где ряд в правой части носит, вообще говоря, асимптотический характер. Для искомых функций получаем следующую рекуррентную систему дифференциальных уравнений:

( Л

7 (1,2) = ¿и у.

1

2—0и)

'(1,2) - 7 (1,2) ■т 7 п-1

(13)

X Г* 4

\к+т=п

(п = 0,1,...), т01,2) =±Ь, 7-1 ° 0.

Суммирование в правой части (13) проводится по всем разбиениям числа п на целые

неотрицательные числа. Если ограничиться в

*

разложении функции Гк (г,у) двумя членами (10), то в правой части уравнения (13) следует положить

Г*(г,у) = о для к > 2.

Из уравнения (13) для п = 0 получаем:

701,2)(Г) = А-Гехр^

(а -

12(а2 -212)

л

(14)

г+(«2 -212)(С0(г))-1)]},

где К01,2) - постоянные. Удерживая в разложениях

функций (14) только первый член, содержащий переменную, получим приближенные выражения

^(г)» <,2)

1± I

«2 +1

2\ «2 +1-212

* 12>(a2> - 212) г « г—2 2 2

2 Л

2

у2

(15)

Таким образом , на рассматриваемом интервале изменения переменной г поправочный член к

главной части функции 70(1,2) (г) имеет порядок 2

величины у .

Для анализа вклада в решение последующих членов суммы в (12) преобразуем уравнения совокупности (13). Исключив в правой части этих уравнений члены, содержащие вторые производные, имеем:

7 = ^п

1 п - X

2-о

I=0

1

Л

2-о

d

dГ^

X Г*

7т

(16)

к+т=п-1 (п = 0,1,...).

Из (16) видно, что правая часть каждого уравнения этой совокупности представляется в форме

1

г0 7п + X Рпк7к

v к=0

являются

(17)

полиномиальными

2-о

где Рпк

*

выражениями, составленными из функций Г\ (г) для I = 0,1,...,п - к и производных этих функций, с

коэффициентами вида (2—о)~т (т = 0,1,...,2п). В частности, для п = 1,2 эти многочлены имеют следующий вид:

( „ *, Л 2

, Р21(г) = Р10(г),

* Гл (г) Р10(г) = Г (г)-

2—о

Го (г) 2—0

1 -Р10(г) - 2-ГЩ- Р10(г).

Р20(г) = Г* (г) -

2—о (2—о)2

В каждом уравнении рекуррентной системы (16) функции 7п (п = 0,1,... ) подвержены действию одного и того же линейного дифференциального оператора

^ = - Го*(г) dг 2—о

Отсюда следует, что решения всех уравнений системы (16) выражаются через функцию 70 (г) и квадратуры разных порядков от комбинаций полиномиальных выражений, входящих в (17).

Анализ правой части уравнения (16), представленной в форме (17), показывает, что наибольший вклад в решение дает функция

У

g

члены Z\,...,Zn

Pn0 (т) . Легко показать, что этот вклад

1_п / 1 +п

/(2то) , в то время как поправочные в (12) дают вклад в решение уравнения (9) пропорциональный величине gexp(-1/2^0)/(2то)2- При значениях параметра «2 входящих в область (11) и удовлетворяющих условию

«2 > 1 _ 1 + -/1+1 вклады этих функций в решение будут меньше у.

Таким образом, для величины удельной поверхности материала, удовлетворяющей неравенству

5 > ^п _ ^ (5П)2 + ^т)2 , где 5п = N0п /а, = ]С20 /а, вкладом

функций 2П (т) в решение уравнения (9) можно пренебречь, если не учитывать в решении величины порядка О(у) .

На основании вышеприведенных соображений, учитывая в правой части решения (12) только члены 2о (т) , фундаментальную систему решений уравнения (9) в этом приближении можно записать в виде

X ^=Ч± ^ «Ä

a + gf«2 -2À2)(C0(T)-1)

(18)

где С20-1 = 12(1 _е_ту) [4] .

Из начальных условий (7) определим коэффициенты в общем решении Х12 (т)

K (1,2) = 1

2

X 0 ±

g

0

й 1 + ««2 +1 - 212)

(19)

где X 0 = X (0), X 0 = X (0) - определены в (7).

Ограничившись учетом лишь главных членов в выражении для коэффициентов (19), используя (6), запишем выражение для температуры дисперсной подсистемы слоя в стадии ее прогрева

q (t) =

Cf(t)

C2 (t)

m

г g . X0 . y(t)j +

+ wsh\ W y (t)

где C-0 (t) = 1 -Л1т,

w =

«2 +1

a +1 - 2Л2

= a* + gjt + («2 - 2^2 )(C0 (t) -1) .

Выражение для приведенной теплоемкости влагосодержащего материала взять из работы [4]. Выражение для температуры теплоносителя можно получить из (5) с учетом функций (20).

Можно показать, что выражение для температуры подсистем слоя, полученные методом ВКБ в работе [4], хорошо согласуются при малых t с результатом настоящей работы.

Литература

1. Шишацкий Ю.И., Бырбыткин В.А., Лавров С.В. Математическое описание процесса сушки дисперсного материала в псевдоожиженном слое // Вестник Воронежск. гос. техн. ун-та - 2006. - Т.2. №6. - С. 56-61.

2. Бырдин А.П., Лукъяненко В.Н., Стогней В.Г., Блинов П. С. Зависимость квазистационарной температуры и времени ее установления от термодинамических параметров четырехкомпонентного слоя // Материалы XI Международной конференции и Российской научной школы. Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий. М.: Радио и связь, 2006. Т.2. Ч.5. С. 26-33 с.

3. Лыков А.В. Теория сушки. - М.: Энергия, 1968. -472 с.

4. Бырдин А.П., Сидорено А.А., Стогней В.Г. ВКБ-приближение для температур подсистем псевдоожижен-ного слоя // Вестник Воронеж. гос. техн. ун-та -2010.Т. 6. №12. С. 11-15.

5. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

6. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Вып. 3. - М.: Мир, 1970. - 344 с.

7. Фрёман Н., Фрёман П.У. ВКБ - приближение. М.: Мир, 1967. - 168 с.

Воронежский государственный технический университет

THE KINETIC OF HEAT EXCHANGE IN BOILING BED IN INITIAL STAGES

WARMING OF STUFF

A.P. Byrdin, A.A. Sidorenko, V.G. Stogney

In this paper we consider the heat exehange problem for initial stages warming of stuff. For the correlated of differential equations the simpl analytic solutions are obtained. Conditions of the specifical material surface are formulated under wich the solution are correct

Key words: fluidized bed, interchange of heat, asymptotic method

n

m