CC BY
73
УДК 336.71:336.27 Доц. Б.Ю. Кишакевич, канд. екон. наук - Дрогобицький
державный педагогiчний ун-ет M. 1вана Франка
ВИКОРИСТАННЯ КОВАР1АЦ1ЙНО1 МОДЕЛ1 ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ VAR ПОРТФЕЛЯ
Розглянуто передумови виникнення та поширення VaR методологи оцшки ри-зику. Показано основнi методики визначення VaR та проаналiзовано популярну ко-варiацiйну (variance-covariance) модель обчислення VaR для портфеля, дохщшсть якого е лiнiйно залежною вiд дохiдностей уах активiв, що входять у нього. Визначе-но сильнi та слабю сторони тако! моделi.
Ключов1 слова: ризик, дельта-нормальна модель, довiрчий рiвень, коварь ацiйна модель, оцiнка ризику, value at risk.
Assist. prof. B. Yu. Kyshakevych - Drohobych state pedagogical
university named after Ivan Franko
Usage of variance-covariance model for portfolio VaR calculation
The article deals with the origin and expansion preconditions of VaR methodology of risk assessment. The basic methods of VaR computation are shown and a popular variance-covariance model of portfolio VaR calculation is analyzed, the profitability of which is in linear dependence on all assets profitabilities that form it. Strong and weak points of a given model are defined.
Keywords: risk, delta-normal model, confidence level, variance-covariance model, risk assessment, value at risk.
Вступ. До початку XX ст. ризик розглядали та вивчали лише стосовно страхового б1знесу. Вперше про ризик як про невщ'емний елемент б1знесу та економ1чно1 науки заговорив у 20-х роках минулого столггтя економют Френк Найт. Вш розмежував поняття ризику як вим1рно! невизначеност i не-визначеност взагаль Наступний серйозний крок зробив Гаррi Марковщ, ро-боти якого лежать в основi вЫе! сучасно! фшансово! теорй. Марковщ пов'язав поняття ризику та доходность Основний його постулат - доходшсть зростае лише разом з ризиком. Цей постулат вщомий сьогодш практично вЫм, проте в 1953 р., коли вийшла загальновщома праця Марковща, i до початку 1970-х роюв його теорiя не викликала особливого штересу. Проте в 1970-т роки фiнансовий свiт переживав значш коливання валютних курсiв, значний стрибок цiни на нафту, що сукупно ускладнювало прогнозування щ-ни експортовано! продукци в майбутньому. Тодi спещалюти звернулись до ще! Марковiца. Згодом значний вклад у розвиток ще! використання VaR методики зробили таю економюти, як Шрсон, Бассак, Шашро, Мертон, Могран, Бедер та шшь
Постановка завдання. Загалом, ус методи визначення VaR можна класифжувати в три широких категорп:
• параметричт (RiskMetrics та GARCH);
• непараметричт (Historical Simulation and the Hybrid model);
• натвпараметричт (Extreme Value Theory, CAViaR та quasi-maximum likelihood GARCH).
Результати, отриманi вiд використання цих методiв, можуть доволi сильно вiдрiзнятись. Бедер у 1995 р., використовуючи вiсiм рiзних методiв до
трьох гшотетичних портфелiв, отримав результати оцiнки VaR, якi у деяких випадках вiдрiзнялись у 14 pa3iB. Для того, щоб визначити, який метод слщ обрати для аналiзу ризику, необхщно розiбратись i3 основними припущення-ми, математичними моделями та обчислювальною техшкою такого пiдходу. Тiльки пiсля цього попереднього кроку слщ робити вибiр методу обчислення VaR, який би найбшьш точно вiдповiдав метi дослщження. У статтi ставиться завдання визначити сильш та слабкi сторони використання коварiацiйного методу, який по сво1й сутi е параметричним.
Виклад основного матерiалу. Пiсля Марковiца першими використа-ли на практицi VaR сшвробггники вiдомого iнвестицiйного банку J.P. Morgan. У кшщ 1980-х роюв в J.P. Morgan з приходом нового керiвництва вирь шили замшити методику оцiнки ризику та форму його представлення. Новий голова ради директорiв Дешс Везерстоун вимагав вщ сво1х пiдлеглих, щоб вони замють величезно! кiлькостi розрiзнених показникiв представили йому одну едину цифру - суму, яку може втратити банк наступного дня через мож-ливе падшня курЫв акцiй та валют.
З часом VaR почали використовувати регулятори фондового ринку. Так наприклад, вш е обов'язковим у брокерсько-дилерсьюй звiтностi, яку ви-магае використовувати Комiсiя по бiржах та цшних паперах США (SEC). Згiдно iз Базельськими стандартами мiжнароднi вимоги до достатност каш-талу банкiв також сформульоваш в термiнах VaR [1]. Вщповщно до ще! методики, банки повинш резервувати трикратний розмiр десятиденного VaR, тобто рекомендуеться трикратний захист порiвняно iз середнiми коливання-ми. У лiтературi наводять аналог теорп опору матерiалiв: балку розраховують таким чином, щоб вона могла витримати трьох- або п'ятикратш навантажен-ня порiвняно iз звичайними умовами.
Кшьюсть днiв, якi вказано в VaR, мае доволi чiткий економiчний змiст. Це термiн, протягом якого ризик-менеджери планують у випадку по-гiршення ситуаци позбутися вiд небезпечних активiв.
Хоча термiн VaR (Value-at-risk) почав активно використовуватись зi середини 1990-х роюв, його зародження сягае у 50-т роки XX ст., коли його вперше було згадано в рамках теори портфеля Марковща. Згодом VaR знайшов широке використання в 90-х роках у зв'язку iз вимогами базельсько-го ком^ету та зарекомендував себе як надшний помiчник ризик-менеджерiв На сьогоднi у цшому свiтi широко використовують позначення "VaR". Зага-лом Value at Risk (VaR) - вартюна мiра ризику. 1ншими словами, це виражена в грошових одиницях величина, яку не перевищать очiкуванi протягом пев-ного перiоду часу втрати iз заданою ймовiрнiстю. VaR характеризуеться трьома параметрами:
• часовий горизонт, величина якого залежить вщ конкретно! ситуаци. Реко-мендаци "Базель-2" - 10 дн1в, зпдно з методикою Risk Metrics - 1 день. Ыльш розповсюджений розрахунок 1з часовим горизонтом 1 день. 10 дтв ви-користовуються для розрахунку величини кап1талу, який покривае можлив1 збитки;
• р1вень дов1ри (confidence level) - р1вень допустимого ризику. У базельских документах використовуеться величина 99 %, в систем! RiskMetrics - 95 %;
• базова валюта, в якш обчислюеться показник [2].
1ншими словами, VaR - це величина збитюв, яка i3 ймов1ршстю, що дор1внюе рiвню довiри (наприклад, 99 %), не буде перевищена. Отже, в 1 % випадюв збитки становитимуть величину, бшьшу нiж VaR.
З одного боку, VaR - це дуже проста та зрозумша штуггивно концеп-щя, проте обчислення, якi доводиться виконувати при цьому - доволi складна статистична проблема. Хоча iснуючi моделi для обчислення VaR викорис-товують рiзнi методологiï, всi вони мають спiльну структуру, для яко! харак-терними е такi етапи:
• ринкова переоцшка (Mark-to-market) портфеля;
• визначення розподiлу прибутку портфелю;
• обчислення VaR портфеля [3].
Головна вщмштсть мiж VaR методами пов'язана iз пунктом 2, у яко-му передбачаеться вибiр методу оцшки можливим змiн вартостi портфелю. У CAViaR моделях не потрiбно виконувати оцiнку розподiлу, оскiльки щ мето-ди дають змогу визначити безпосередньо медiану розподiлу.
1снуе багато моделей для оцшки VaR, кожна iз яких грунтуеться на певному наборi припущень. Проте до основних моделей можна вщнести:
1. Коварiацiйну (variance-covariance (VCV)), в якiй припускаеться, що фак-тори ризику е завжди нормально розподiленi i що змша вартостi портфелю е лшшно залежною вiд усiх факторiв ризику;
2. 1сторичного моделювання (historical simulation). Тут припускаеться, що прибуток, який дають активи, в майбутньому будуть задовольняти такому ж розподiлу, який вони мали в минулому (historical market data);
3. Моделювання методом Монте-Карло.
Коварiацiйна або дельта-нормальна модель стала популярною зав-дяки Моргану (сьогодш J.P. Morgan Chase) на початку 1990-х рр., коли було опублжовано "RiskMetrics Technical Document". Надалi ми розглянемо прос-тий випадок, коли тiльки фактор ризику для даного портфелю визначае вар-тють активiв як таких. Наступш два припущення дають змогу перетворити проблему оцшки VaR в лшшну алгебра!чну задачу:
• Портфель складаеться iз активiв, таких, що приршт вартост портфелю е ль нiйно залежним вiд (або е лшйною комбiнацiею) всiх приростов вартост ак-тивiв, так що дохщтсть портфелю е лiнiйно залежною ввд дохвдностей усiх активiв.
• Дохщносп усiх активiв е нормально розподшеними.
Виберемо шструмент, вартють якого залежить лише вщ единого фактора ризику - цши P базового активу, який входить в портфель. Перший крок полягае в оцшщ початково! вартосп портфеля
Vo = V(P). (1)
Позначимо через А0 частинну похщну першого порядку, або, шшими словами, чутливють портфеля до змш цши активу [4]. Цю похщну часто на-зивають модифжованою дюращею портфеля шструмент1в 1з фшсованою до-хщшстю або дельтою для дериватив1в. Отже, можлива втрата вартосп, dV, може бути визначена таким чином:
dV
dV
dP
dP = A0dP . (2)
P = Po
Якщо юнуе нормальний розподiл доходностей, тодi значення VaR для портфеля може бути отримане як добуток розмiрy активу на VaR базового активу портфеля:
VaR HA o| x(k-aaPo). (3)
У випадку нормального розподшу випадково1 величини iнтервал довь ри (1-а) завжди характеризуеться единим параметром квантилем (kj-a), який вказуе положення шуканого значення випадково1 величини (симетрично в обох хвостах розподшу) вщносно середнього (E[rt]), який виражений у кшь-костях стандартних вщхилень доходноcтi портфеля (at). Для найбшьш вико-ристовуваних значень довiрчого штервалу 95 i 99 % вщповщш квантилi бу-дуть становити, вщповщно, - 1,65 та 2,33 стандартних вiдхилень доходноcтi портфеля. а - середньоквадратичне вiдхилення можливих змiн вартост базового активу. Такий метод ощнки називають аналiтичним. Для фшансового iнcтрyментy з фiкcованою дохiднicтю як фактор ризику виступае дохщшсть r i сшввщношення цiна/дохiднicть. У такому випадку, VaR шструменту знахо-дять таким чином:
dV = -A MVdr, (4)
VaR = ki_aöA mV , (5)
де Ам - модифжована дюрацiя облiгацiï.
Коварiацiйний (variance-covariance) метод е единим, який дае змогу отримати ощнку VaR у замкнутому виглядь Оскшьки цiни активiв i вщповщ-но ïx вiдношення не можуть бути вщ'емними, то як дохщшсть rt можна прийняти логарифмiчнi прирости.
rt = ln(Pt / Pt-i) = ln(Pt) - ln(Pt-i) (6)
Якщо логарифми вiдношення цiн розподiленi нормально, тодi cамi вiдношення будуть пiдпорядковyватиcь логнормальному розподiлy [5]. На практицi часто замють логарифмiчниx прироcтiв використовують звичайш вiдcотковi змiни цiн, оcкiльки, як можна переконатись шляхом розкладу в ряд Тейлора, для достатньо малих APt=(Pt-Pt-1) цi величини можна вважати е^валентними
ln(Pt / Pt-i) = ln(1 + (Pt - Pt-i) / Pt-i) « (Pt - Pt-i) / Pt-i. (7)
Припущення про нормальний закон розподшу змш факторiв ризику значно полегшуе знаходження величини VaR, оскшьки в цьому випадку роз-подш доходностей шструменпв, якi е лiнiйними комбшащями факторiв ризику, також буде нормальним. Ця важлива влаcтивicть буде справджуватись для будь-якого портфелю, складеного iз iнcтрyментiв з лiнiйними щновими властивостями, як наприклад, акцiй чи валют.
Для визначення величини VaR, яке використовуеться в коварiацiйномy метод^ розглянемо шструмент, який складаеться iз единого активу. Очевидно, що розмiр денного прибутку або збитку за такою швестицшною позицieю бу-
де дор1внювати змш1 цши цього активу за цей день. Тод1, найменш очшувана цша наступного дня 1з заданою ймов1ршстю (1-а) буде дор1внювати
P(t+1,1-а) = Pt exp(E[rf] - h-aC>t). (8)
Стандартне вщхилення доходносп може бути оцшеним як за обмеже-ною виб1ркою цш (юторичний метод спостережень), так i з використанням метод1в прогнозування [6]. Популярним та порiвняно простим у використан-нi е експоненщальне згладжування з параметром X, яке використано у систе-мi RiskMetrics
C =Xah + (1 -X) rt2. (9)
Величина VaR вщображае не цiну (чи вартють) як таку, а ïï найбшьш очiкувану змiну за один день:
VaR(11 -а) = Pt[exp(-k1 а) -1]. (10)
На практищ величину [exp(-k1-act) -1] для зручност замiнюють на ïï наближене значення -k]-act. Знак "-" опускають також i використовують абсо-лютне значення VaR.
Висновки. До переваг дельта-нормальноï або коварiацiйноï оцшки VaR можна вщнести простоту реалiзацiï та швидкiсть обчислень навiть для дуже ве-ликоï кiлькостi фшансових активiв, що входять в портфель, оскшьки ця оцiнка замiнюе кожну позицiю в портфелi ïï лшшною апроксимацiею. Для цього дос-татньо оцшити волатильнiсть та математичне сподiвання логарифмiв приросту капiталу, побудувати таблицю кореляцш для випадку портфеля, який скла-даеться з декiлькох активiв, i знайти шукану квантиль нормального закону.
До недолтв цього методу вщносять недооцiнку значень, якi не опи-суються нормальним розподiлом доходностей (хвости розподшу Левi) i, в де-яких випадках, неадекватний опис поведшки нелiнiйних фiнансових iнстру-менлв, таких як iпотечнi цiннi папери. У реальному житл хвости розподшв логарифмiв приростiв виявляються важчими, шж у нормального розподiлу. Звичайно, можна скористатись гiперболiчними розподiлами, проте не варто забувати, що дуже часто з ускладненням моделi помилки нагромаджуються i "з'щають" усi переваги.
Лггература
1. Лобанов А. Проблемы метода при расчете value at risk // Рынок ценных бумаг. - 2000. - №21(180). - С. 54-59
2. Basak, S. and A. Shapiro, 2001, Value-at-Risk Based Management: Optimal Policies and Asset Prices, Review of Financial Studies, v.14. - Pp. 371-405.
3. Morgan J.P. Reuters. RiskMetrics N Technical Document. 4-th Ed., 1996. - P. 345
4. Blanco C. Component VaR, VaR delta and VaR beta in Risk Management. (Paper presented at the UNICOM Risk & Return Conference. London, 1999. №12 November.)
5. Kealhofer, S., 1995. Managing default risk in portfolios of derivatives. In: Derivative Credit Risk, Ch. 4. Risk Publications. - Pp. 49-66.
6. Merton, R., 1974. On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates // Journal of Finance 28. - Pp. 449-470K_
