CC BY
16
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
ТурНов А.М., Галд1на О.М. Використання комп'ютерного моделювання при розв'язанн квантовомехан1чних задач // Ф'!зико-математична осв1та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 3(13). - С. 170-177.
Turinov A., Galdina A. Application Of Computer Modeling To Solving Quantum-Mechanical Problems // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 3(13). - Р. 170-177.
ВИКОРИСТАННЯ КОМП'ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ПРИ РОЗВ'ЯЗАНН1 КВАНТОВОМЕХАН1ЧНИХ ЗАДАЧ
Анота^я. Статтю присвячено одному з актуальних питань сучасноУ педагог'\ки - застосуванню методу комп'ютерного моделювання в навчальному процеа, зокрема при розв'язанш розрахункових задач загальноУ та теоретичноУ фiзики в середовищi Mathematica. Сучасна фiзична картина свту е квантово-польовою i потребуе специф'нного понятйного й математичного апарату. Практично кожне поняття подаеться за допомогою деякоУ математичноУ конструкци з роздiлiв математичного й функ^онального анал'зу, для якiсного розум>ння якоУнеобх'дно самостйне розв'язання студентом на практиц конкретноУ ф'зичноУ задачi. Проектування iнформацiйних моделей фiзичних процесв дозволяе осмислити задачу як об'ект або явище ф'зичноУреальност'}, проаналiзувати УУз використанням р'знихматематичнихметод>в, розробити алгоритм i програму розв'язку на комп'ютер'}. Як приклад, у статтi розглядаеться типова квантовомеханчна задача про електрон у потенцiйнiй ям'}. Для перших трьох ста^онарних станв за допомогою математичного пакету Wolfram Mathematica знайдено енергп та хвильов функцп, побудовано в'дпо&дш графiки. Проведено детальний анал'з отриманих результат '¡в.
Ключовi слова: потен^йна яма, квантова механка, рiвняння Шредiнгера, стацiонарнi стани, Wolfram Mathematica.
Постановка проблеми. Одна з найважливших вимог принципу науковост у вивченш будь-якоТ дисциплши - ознайомлення студенев з методами наукових дослщжень. Метод математичного моделювання, який дозволяе звести дослщження фiзичних явищ до математичних задач, наразi поадае чи не найперше мкце серед шших методiв дослщження у зв'язку з бурхливими розвитком комп'ютерноТ техшки [1]. Використання комп'ютерних технологш шдвищуе ефектившсть викладання фундаментальних дисциплш взагалi й фiзики зокрема. Комп'ютерна графта робить фiзичнi процеси бшьш наочними, а чисельш методи дозволяють змшювати фiзичнi параметри i тим самим дослщжувати явище всебiчно.
Аналiз актуальних дослщжень. Сучасна фiзична картина свп"у - квантово-польова, тодi як розумшня фiзики для багатьох студенев спираеться на моделi класичноТ мехашки та просторовi уявлення. Якщо мехашчна дiя фiзичноТ системи за порядком величини збкаеться зi сталою Планка, то рух набувае шших яккних форм: зникае саме поняття траекторп, з'являються принциповi обмеження в точносп вимiрювання фiзичних величин, у рядi випадкiв виникае дискретнiсть значень деяких фiзичних величин, хвильовий характер руху частинок i т. ш. [2]. Розмiри цих систем надто малк Такi системи утворюють мшросвгт. Тодi як системи, пiдпорядкованi законам класичноТ мехашки, утворюють макросвп". Мехашку мiкросвiту традицiйно називають квантовою. До об'еклв мiкросвiту належать елементарнi частинки (електрон, протон, нейтрон тощо), ядра, атоми, молекули i кристали. Кшьмсна теорiя мiкросвiту потребуе специфiчного понятшного й математичного апарату. Майже кожне поняття подаеться за допомогою деякоТ математичноТ конструкци з роздiлiв математичного й функцюнального аналiзу, для ямсного розумiння якоТ необхiдно самостiйне розв'язання студентом на практик конкретноТ фiзичноТ задачi, у тому числi з застосуванням комп'ютерного моделювання.
УДК 372.8:378:53
А.М. TypiHOB, О.М. Галдiна
Дн 'тровський нац1ональний ушверситет ¡меш Олеся Гончара, УкраУна
andrii. turinov@gmail. com
Попри велику кшьмсть повноцiнних пщручнишв iз квантовоТ мехашки (наприклад, [2-5]), у студенев практично завжди виникають труднощi, пов'язанi з опрацюванням матерiалу, який потрiбно засвоТти. Тому необхщним е створення навчально-методичних матерiалiв, в яких компактно вщображено найбiльш важливi аспекти курсу, що допоможе студентам систематично ознайомитись з ним. Кожен тематичний блок повинен м^ити чималу добiрку найбшьш характерних задач з теми, що розглядаеться [6]: як таких, що можуть бути розв'язаш безпосередньо, так i тих, що потребують математичних пакетiв, застосування певних навичок програмування (написання окремих модулiв i процедур пiд розв'язання задач^. Складнi математичнi моделi можуть бути побудоваш як на основi систем звичайних диференцшних рiвнянь разом з початковими умовами (наприклад, задачi з пщручнишв [7-8]), так i не мати достатньо простого анал^ичного розв'язку, який студент може отримати на протязi одшеТ-двох пар (реальнi практичш задачi [9]).
Мета статтi - на прикладi розгляду розв'язання рiвняння Шредiнгера для заданого виду потенцшноТ енерги показати, що виконання розрахункових завдань, як вимагають застосування математичних пакелв програм, вирiзняеться максимальною наочшстю та сприяе кращому розумiнню основних принцитв та методiв розв'язання задач квантовоТ механiки, оскiльки для будь-якого отриманого розв'язку можна побудувати графти вщповщних залежностей фiзичних величин ^ змiнюючи вхiднi параметри задачi, змоделювати та простежити динамiку реальних фiзичних процесiв.
Виклад основного матерiалу. Розглянемо задачу про електрон у потенцшнш ямк
Знайти енерги та хвильовi функцп перших трьох стацiонарних сташв електрона в потенцiйнiй ямi
да, х| > а,
виду и(х)= 0,х| <а2, ■ Побудувати графiки хвильових функцш цих станiв. Обчислити
2жгНг1 та2 ,а/2 < |х| < а
ймовiрнiсть знаходження електрона в центральнш частинi ями ( тобто в iнтервалi XI < а/2 ) для зазначених сташв.
Розв'язання. Введемо безрозмiрнi величини: % = х/а та и = та2и/2л1Ьг . В таких позначеннях потенцшна яма, що розглядаеться, набувае вигляду, представленого на рис. 1.
Рис. 1. Вид потен^йноУями
Введемо також позначення и0 = 2ж2к2/та2 й розглянемо спочатку випадок Е > и0. Очевидно, необхiдно розглянути три обласп: -1 <^<-1/2, -1/2<^< 12 i 1/2<^< 1. Рiвняння Шредшгера в них приймае, вiдповiдно, вид
для першоТ областi,
для другоТ областi й
а2% (х) +
2т с1х2
¿2% (х)
2т с1х
2
(Е - и0 )% (х)
+ Е% (х ) = 0
(1)
(2)
|1^ + Е%„(х) = 0 (3) 2т Ьх
для третьоТ обласп. Далi, з того, що яма нескшченно глибока, випливають граничш умови
^1(-а) = ^в(а)= 0, (4) а з того, що при х = + а/2 потенцшна енерпя зазнае нескiнченний стрибок, випливають умови зшивки:
% (-а/2) = % (-а/2), (5а)
%(- а 2) = % (- а/ 2), (5б)
%(а/2) = %и(а/2), (5в)
Ч*,(0/2) = Ч*(0/2). (5г) Представимо розв'язки (1) - (3) у наступному виглядi (нижче наведено також розв'язок, де парш i непарш стани поданi окремо):
Y((x) = A cos kxx + В1 sinkxx , (6а)
Y„(x) = A2 cos kx+Bsinkx, (66)
Y((((x) = A cos kxx + В sinkx , (6в)
де введет позначення
k1 = 2m(E -U0УЙ2 , k = J2mE¡Й2 . (7)
З урахуванням граничних умов (4) хвильовi функцГГ в першш i третiй областях можна переписати у виглядi
^ (x) = A1 (cos k1x + cot k1o si n k1x), (6а*)
^///(x) = A (cos kxx - cot kxa sin^x) . (6в*)
Застосуемо умови (5а) i (56). Одержимо:
ÍA1 (cos^a/2) - cot k1a • siripa/2)) = A2 cos(ka/2) - B2sin(ka/2),
[k A1 (sin^a/2) + cot k1a • cos^a/2)) = k(A2 sin(ka/ 2) + B2 cos(ka/ 2)), (8)
звiдки
J A = A (2k)1 (k cos(k^2)sec(^^ 2) + ^ sin(k^2)csc(^^2)),
Jb2 = A (2k)1 (^ cos(k^2)csc(^^ 2) - k sin(k^2)sec(^^2)).
Скористаемося тепер умовами (5в) i (5г). Вони дають:
ÍA3 (cos(kja/2) - cot k1a • sin(k1^2)) = A2 cos(ka/2) + iB2 sin(ka/2),
[k1 A3 (sin^a/2) + cot k1a • cos^a/2)) = k(A2sin(ka/2) -iB2 cos(ka/2)). (10)
Звiдси, по-перше, можна знайти сталу A :
A3 = A1 (cos ka+(kjk)sinka^cot(k1^2)). (11)
По-друге, перетворенням рiвнянь (10) з урахуванням (9) одержуемо рiвняння для k :
tan(^a/2) + cot k1a k2tan(k1a¡ 2)tanka - kk1
kx-=-. (12)
1 - cot k1a • tan(^a/2) k tan(^a/2) + k1tanka
Застосувавши до лiвоí частини (12) тригонометричш перетворення, остаточно маемо:
k^tanka+kk1 tan(kja/2)
k2 tan(kja/2)tanka - kk1
Розв'язуючи його вiдносно k, одержимо рiвняння, придатне для чисельного розв'язку методом простих герацш:
k = 2 1 ((k2/k1)tan(k1a¡2)-k1cot(k1^2))tanka . (12*)
Введемо безрозмiрнi параметри:
Т = ka, ] = kfl. (13)
Легко бачити, що т й зв'язанi простим стввщношенням. Дiйсно, з (7) випливае, що
tan^a/2) =- 2
I 2 2ma2U0 I 2 2ma2 2^2Й2 /~2—ТТ , ,
Т1 =Т--Л-0 =Т--12--Г = Т -4^2 . (14)
Й2 V Й2 ma2
З (14) повинне випливати, що т > 2^ . Але це саме вщповщае розглянутому випадку E > —0, тобто шяких протирiч не виникае. У позначеннях (13) рiвняння (12*) приймае вид
1
т =2
' т2 ^Jt2 - 4^2 /2 , 7т2 - 4^2 ^
^tan
-•J]2 - 4^2 cot-2 v 2
tan]. (15)
На рис. 2 наведено графт правоТ частини (15) (суцшьна лiнiя) i прямiй у = щ (пунктирна лiнiя). Очевидно, точки Тх перетину i е шуканi розв'язки рiвняння (позначенi на графiку червоними точками).
За умовою необхiдно знайти першi три розв'язки. Чисельний розрахунок показуе, що вони дорiвнюють, вщповщно, щи 6,635, щи 8,032, щи 9,070.
Перехiд до рiвнiв енерги здiйснюеться, виходячи з (7) i (13): Е = Йщ2 ¡2та2 = щ2и0/4^2. Отже,
Е0 « 22,01Й2/та2 = 1,12и0 , (16а)
Е1 и 32,25Й2/ та2 = 1,63и0, (16б)
У
E2 и 41,13h2/ma2 = 2,08U0. (16в)
Залишилося знайти хвильовi функцГГ та нормувати Тх. З урахуванням ycix знайдених коефщенлв пiсля спрощення тригонометричних виразiв знаходимо, що
^1sin^1 (a + x^sin^a]1, - a < x <-a/ 2,
Y(x) = < Ax (2k)-1 (kcos k(x + a/2)[coska/2)] 1 + kx sink(x + a/2)[sin(^^2)]-1), - a/2 < x < a/2, (17)
^ (k sinka)1 (k cos ka + ^ cot^a/2)sinka)sin^ (a - x), a/2 < x < a.
a
Нормуемо знайдену функщю: Jy (x)^(x)dx = 1,
-a
звщки пiсля пiдстановки (17) знаходимо вираз для |a| (ми записали його в безрозмiрних величинах з метою скорочення запису):
4sin(1a~1|A| 2 = csc^ -(хг + ((2(1)1 (^csc^ - 1)((cos( + (1cot((1/2)sin()2 + + ( 3[(( + (icot(kja/2) + (2 tan(kja/2))-2-1 -(2 + + (2)cos^1 )csc(1sin2(-(((1cos2(] Явний вигляд |A| ми не виписали в силу його громiздкостi. На рис. 3 зображен хвильовi функцГГ перших трьох сташв.
(18)
Рис. 2. До розв'язку рiвняння (15)
Рис. 3. Хвильовi функцп перших трьох сташв при E > Uq . Червона лМя: ,
зеленалМя: Y^),синял'ш'т:
Нарештi, обчислимо ймовiрнiсть виявлення частинки в центральнiй частит ями. За означенням, вона
a 2
дорiвнюе P = Jy*(x)y(x)dx. Пiдстановка (17) i (16) дае, що P0 и 0,58 ; P1 и 0,31; P2 и 0,36.
-a/ 2
Вщзначимо, що л ж результати можна одержати й значно проспше. Для цього зазначимо, що задана потенцшна яма симетрична вщносно нуля, тобто гамтьтошан системи комутуе з оператором просторовоТ парностi. Це дозволяе одержати окремо два набори сташв - парш й непарш, - що значно спрощуе розгляд
завдання. Будемо шукати спочатку парнi стани, тобто y/+)(x) = 41cosk1x + S1sink1x , T/';+^(x) = A2coskx,
y//+ )(x) = A3 cosk1 x + B3 sink1 x .
1з щеТ системи при наявност умов (4) i (5) знаходимо, що B = A cot kxa , A2 = (A /2)sec(ka/2)sec(^^2)
, A3 = A1, B3 =-A1cot k1a .
Рiвняння для ( тепер виглядае вкрай просто: ( = ^(г -4ж2 cotfyj(2 -4ж2 /2 Jcot((2). Звiдки (0 и6,635,
(2 и9,070, що повшстю збкаеться з результатами, отриманими вище. З урахуванням обчислених коефщенлв, хвильовi функци парних станiв набувають вигляду
Y(+)=J
A1csc k1o sin k1 (a + x), - a < x <-a/2, A /2)sec(ka/2)sec(k1^2)cos kx, - a/2 < x < a/2, A1csc k1a sin k1 (a - x), a/2 < x < a.
Нормування дае
K| = [(2k 1) 1csck1a (^acsck^ -1)+
+ (8k)-1 sec2 (ka/ 2)sec2 (^a/ 2)(ka+sin ka)]~1/2. Аналогiчно для непарних сташв Y^(x) = A1cosk1x + ß1sink1x , T,^(x) = A2coskx, T,H(x) = A3 cosk1 x + ß3 sink1x .
1з граничних умов тепер B1 = A1cotk1a , A2 = -(A1/2)csc(ka/2)sec(k1a/2), A3 =-A1, B3 = A1cotk1a .
Рiвняння для k: 7 = -.- 4^2 cotf д/72 - 4^2 /2 J tan(ka/2), звiдки 7^ 8,032, 73« 10,384 . Хвильова
7 = -\/7 -4^ cot функцiя тепер мае вигляд
T(-)(x )=,
A1csc k1a sin k1 (a + x), - a < x <-a/2,
- (A1/2)csc(ka/2)sec(k1a/2)sinkx, - a/2 < x < a/2,
- A1csc k1a sin k1 (a - x), a/2 < x < a,
де стала нормування дорiвнюе
K| = ((2k1)1 csck1a(k1acsck1a-1)+ 8-1csc2(ka/2)sec2(k1a/2)(a-k ^sinka))-12 . Ймовiрностi знаходження частинки в центральнiй частиш ями дорiвнюють, вiдповiдно, Р1«0,31, Р3 « 0,52.
Перейдемо тепер до розгляду випадку E<U0. Хвильовi функцГГ в областях^<-^2 , -1/2<^< V2 i £> 1/2 тепер мають вiдповiдно вид
Y,(x) = Aje-^* + B1ek1 x, (19а)
Y„(x) = Ae ikx + B^e^, (196)
¥,„ (x) = A3e-k1* + B3ek1x, (19в)
де
k1 =72m(u0 -E)/Й2 , k = J2mE/h2 . (20)
Очевидно, умови (5) повиннi залишатися в силi, а умови (4) необхiдно замiнити вимогою обмеженостi хвильових функцiй i на нескiнченностi. З цього випливае, що A = B = 0 . Повнiстю повторюючи проведенi вище обчислення, знаходимо, що
A2 = B1e ^2k-1 (k cos(ka/ 2) + k1 sin(ka/ 2)), • B = iB1e~k1"/2k-1 (k sin(ka/2) - ^ cos(ka/2)), (21)
A3 = B1 (cos ka + k1k-1sinka)
k2tan ka - kk1
Рiвняння для k приймае тепер вигляд k1 =-, звщки, знову вводячи позначення (13),
k + k1tan ka
маемо
72 - 2^2 , 4
77= tan 7 (22)
\4я2-72
(ми врахували тут, що 7 й 71 зв'язанi спiввiдношенням 71 4^2-72 ). Як i в попередньому випадку, наведемо графiчний розв'язок (22) (рис. 4). Постановка показуе, що корiнь 7= 0 е стороншм. Отже, одержуемо два розв'язки: 70 «2,369, 71« 4,627 . Вщповщш Гм рiвнi енерги дорiвнюють
E0 «2,81 h2/ma2 = 0,14U0, (23а)
E1«10,71h2/ma2 = 0,54U0 . (236)
Наведемо явний вигляд хвильовоГ функцГГ. З урахуванням (19) i (21), вона мае вигляд
%(х ) =
Нормування дае
В1ек1х,
х <-а/2,
Ве-^1^2 к-1 (к соб к(х + а / 2)+^ б1п к(х + а /2)), -а/ 2 < х < а/ 2, В^1 х (соб ка + (кг/к )Бтка), х > а/2.
В1 = 2(е_к1°(к3к1Г1 [к(3+2к1а)(к2 + к\)+ к(к2 -3к2)соБ2ка-к1 (к? -3к2);1п2ка])"'
-12
(24)
(25)
Грaфiки хвильових функцiй наведенi на рис. 5.
Рис. 4. До розв'язку р'/вняння (22)
Рис. 5. Хвильов! функци при Е < ^. Червонал'ш'т:, зеленалМя: %1(^)
Залишилося обчислити ймовiрностi знаходження частинки в центральнш чaстинi ями. Маемо:
а/2 а/2
Р0 = Ьх и 0,96 ; р = %Ьх и 0,83 .
-а/2 - а/2
Як i в попередньому випадку, розв'яжемо ту ж саму задачу в термшах парних i непарних стaнiв. Для
парних сташв одержуемо
%+)(*) = А1ек1х, %+,(х) = А2собкх, %Дх) = А3е
- к1х
1з граничних умов А2 = А1е ка2Бвс(ка/2), А = -А . Рiвняння, що визначае к, мае вигляд
ц = у1 4лг -щ2 со1:Щ/2) , розв'язок якого дае единий корiнь щ0 и2,369 . Хвильова функщя, таким чином, визначаеться виразом
х <-а/ 2,
%(+'(х ) = <
Аек1х,
А1е 2Бвс(ка/2)соб х, -а/2 < х < а/2,
Ае
к х
з нормувальним коефiцiентом
А =
( ( -ка
V V
1 ка + б1п ка к1 к(1 + соб ка)
х > а/ 2
лу12
//
Ймовiрнiсть знаходження частинки в центральнш частит ями Р0 и 0,96
Вщповщно, для непарного стану: % ^(х) = А1ек^х , % ^(х) = А2Б1пкх, %) = А3е
(-)м=.
Звiдси А2 = - А1е к1°'2СБс(ка/2), А3 = -А1.
Рiвняння для к щ = -^4л2-щ21ап(щ/2), як i для парного стану, мае тшьки один корiнь щи4,627.
%(-)(х )=<
Аек'х,
х <-а/ 2,
-Ае к1а/2СБс(ка/2)Бт х, -а/2 < х < а/2,
- А1е
к х
г> а/ 2,
нормувальна стала визначаеться рiвнiстю А = (е к1" ((к1) 1 +[ка-Б1пка][к(1-С0Б ка)]-1 ))-1 Ймовiрнiсть знаходження частки в центральнш частит ями дорiвнюе р и 0,83.
1-/2
кл
Нарешп, для повноти розгляду завдання приведемо також енергетичш дiаграми i3 зазначеними на них дозволеними рiвнями. Як видно з рис 6, piBrn енерги парних i непарних сташв чергуються, причому стану з м^мальною енергieю вiдповiдаe парна хвильова функщя, чого й слщувало очiкувати.
Всi обчислення та побудову вщповщних графiкiв виконано у середовищi Mathematica.
Висновки. За результатами дослщження можна зробити такi висновки. Виконання розрахункових завдань на комп'ютерi та побудова моделей фiзичних явищ - це сучасний зааб формування наукового св^огляду студентiв. Комп'ютерне моделювання сприяе розвитку формально-лопчно! й операцшно! форми мислення i дозволяе творчо переосмислити сучасш методи наукового пiзнання, що безперечно сприяе залученню студентiв до наукових дослщжень. Можливостi методу математичного та комп'ютерного моделювання дають можливiсть всебiчного вивчення навчального матерiалу, роблячи його, таким чином, наочним, показують його використання там, де з рiзних причин не можна застосовувати iншi методи. Вмiння створювати фiзичнi моделi в рамках поставлено! задачi необхiдне кожному спецiалiсту, навiть якщо вiн не буде згодом займатися ф1зичними й ¡нженерними задачами.
а) б) в)
Рис. 6. PieHi енергп, дозволен при заданому потенцiалi: а) парнi стани; б) непарн стани; в) yci стани
Тому зацтавлешсть студенпв у навчанш фiзики в цтому та окремих и роздiлiв за допомогою комп'ютерних програм е високою. Виконання розрахункових роб^ з квантово! механiки допоможе студентам, о^м кращого оволодiння практичними навичками програмування та розв'язання задач, зокрема за допомогою математичних пакепв, глибше зрозум^и пiдтекст того чи шшого iз спостережуваних явищ, що лягли в основу принцитв квантово! мехашки. Зокрема, на розглянутому прикладi задачi про електрон у потенцiйнiй ямi заданого виду ми продемонстрували рiзнi можливостi розв'язання цього завдання iз застосуванням математичного пакету, провели порiвняння отриманих результатiв (з наведенням вщповщного графiчного матерiалу), зробивши, таким чином, наочним процес вибору оптимального шляху розв'язання поставлено! задачк
Список використаних джерел
1. бчкало Ю.В. Комп'ютерне моделювання як зааб реaлiзaцií мiжпредметних зв'язкiв курсу фiзики / Ю.В. бчкало // Теорiя та методика навчання математики, фiзики, iнформaтики: Зб. наук. праць. - Кривий Р^, 2005. - Вип. V, т. 2. - С. 125-128.
2. Юхновський 1.Р. Основи квантово! мехашки / 1.Р. Юхновський. - К.: Либщь, 2002. - 390 с.
3. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. - М.: Наука, 1973. - 704 с.
4. Вакарчук 1.О. Квантова мехашка / 1.О. Вакарчук. - Л.: Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка, 2004. - 784 с.
5. Мессиа А. Квантовая механика: в 2 т. / А. Мессиа. - М.: Наука, 1978. - Т. 1. - 480 с.; Т. 2. - 584 с.
6. Туршов А. М. Поабник до вивчення курсу «Квантова мехашка»: пщручник для педагопв / А.М. Туршов. -Дшпропетровськ: РВВ ДНУ, 2013. - 88 с.
7. Гольдман И.И. Сборник задач по квантовой механике / И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков. - М.: Гостехиздат, 1957. - 275 с.
8. Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике / В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
9. Флюгге З. Задачи по квантовой механике: в 2 т. / З. Флюгге. - М.: Мир. - 1974. - Т. 1. - 341 с.
References
1. Yechkalo Yu.V. Computer modeling as a means of realization of interdisciplinary links in the Physics course / Yu.V. Yechkalo // Teoriya ta metodyka navchannya matematyky, fizyky, informatyky: Zb. nauk. prac. - Kryvyj Rig, 2005. - Issue V, vol. 2. - Pp. 125-128. (in Ukrainian)
2. Yukhnovskii I.R. Fundamentals of Quantum mechanics / I.R. Yukhnovskii. - K.: Lybid, 2002. - 390 p. (in Ukrainian)
3. Davydov A.S. Quantum mechanics / A.S. Davydov. - M.: Nauka, 1973. - 704 p. (in Russian)
4. Vakarchuk I.O. Quantum mechanics / I.O. Vakarchuk. - L.: Ivan Franko Lviv National University, 2004. - 784 p. (in Ukrainian)
5. Messia A. Quantum mechanics: in 2 volumes / A. Messia / Perevod V. T. Khozyainova. - M.: Nauka, 1978. - Vol. 1.
- 480 p.; Vol. 2. - 584 pc. (in Russian)
6. Turinov A. M. Guide to the study of the Quantum mechanics course / A.M. Turinov. - Dnipropetrovsk: RVV DNU, 2013. - 88 p. (in Ukrainian)
7. Goldman I.I. Practical Quantum mechanics / I.I. Goldman, V.D.Krivchenkov. - M.: Gostehizdat, 1957. - 275 p. (in Russian)
8. Galitskii V.M. Practical Quantum mechanics / V.M. Galitskii, B.M. Karnakov, V.I. Kogan. - M.: Nauka, 1992. -880 p. (in Russian)
9. Flügge S. Practical Quantum mechanics: in 2 volumes / S. Flügge / Perevod B.A. Lysova. - M.: Mir. - 1974. - Vol. 1.
- 341 p. (in Russian)
APPLICATION OF COMPUTER MODELING TO SOLVING QUANTUM-MECHANICAL PROBLEMS
Andrii Turinov, Alexandra Galdina
Oles Honchar Dnipro National University, Ukraine Abstract. The article is devoted to one of the topical issues of modern pedagogy - the application of computer modelling in the teaching process, particularly in solving computational problems of General and theoretical physics in the environment of Mathematica. Modern physical picture of the world is a quantum field and requires specific conceptual and mathematical apparatus. Practically, each concept is supplied by means of some mathematical structures from branches of mathematical and functional analysis, for the qualitative understanding which required independent decision by the student to practice specific physical problems. Design of information models of the physical processes allows us to comprehend the task as the object or phenomenon of the physical reality, to analyze it using various mathematical methods, to develop algorithm and the program of the interchange on the computer. As an example, the article discusses typical quantum mechanical problem of an electron in a potential hole. For the first three stationary States with the help of mathematical package Wolfram Mathematica found the energies and wave functions are constructed corresponding graphs. The detailed analysis of the results.
Key words: potential energy well, quantum mechanics, Schrödinger equation, stationary states, Wolfram Mathematica.
