Обернені задачі динаміки нелінійних систем із розподіленими параметрами та новий підхід до їх розв'язання Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ

ГАЛУЗ1

УДК 534.1+62-5 Проф. Б.1. Сокы, д-р техн. наук - Академы сухопутных

вшськ M. П. Сагайдачного; acnip. О.1. Хытряк - КВ1ГФ НАН Украты

ОБЕРНЕН1 3АДАЧ1 ДИНАМ1КИ НЕЛ1Н1ЙНИХ СИСТЕМ 13 РО3ПОД1ЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ТА НОВИЙ П1ДХ1Д

ДО IX РОЗВ'ЯЗАННЯ

Розроблено методику розв'язування обернених задач динам1ки, як описуються нелiнiйними рiвняннями з частинними похщними. В "" основу покладено принцип одночастотносп коливань у нелшшних системах, метод Крилова-Боголюбова-Мит-ропольського (КБМ) побудови асимптотичних розв'язкiв вщповщних крайових задач. Вона дае змогу визначити нелiнiйнi пружнi та дисипативш характеристики сил, виходячи iз заданого закону змiни основних параметрiв руху.

Ключов1 слова: нелiнiйнi коливання, амплiтуда, частота, асимптотичний метод

Prof. B. Sokil - Land forces academy named after P. Sahaydachny;

post-graduate O. Khytriak - KB IGPH NASU

Inverse problems of nonlinear dynamics with distributed parameters and

method for solving them

It is developed a method of solving inverse dynamics problems, which are described by nonlinear partial differential equations. It is based on the principle of a single frequency of oscillations in nonlinear systems, the method of Krylov-Bogoliubov-Mitropol'skii (KBM) for construction of asymptotic solutions of the corresponding boundary value problems. It allows specify the nonlinear elastic and the dissipation properties of forces, on the assumption of a given law of variation of the key motion parameters.

Keywords: nonlinear oscillation, amplitude, frequency, asymptotic method.

Актуальшсть та огляд основних результа^в дослвджень. Питания дослщження коливних процешв як лшшних, так i нелшшних систем is зосере-дженими масами та розподшеними параметрами опрацювали багато вчених, зокрема [1-3]. В основу сво"х дослщжень вони покладали питання визначення впливу тих чи шших сил на коливш процеси вщповщних систем, так зваш прямi задачi динамжи (обернет задачi теори диференщальних рiвнянь). На-багато складшшими i водночас важливими е оберненi задачi, тобто визначення вщповщно до заданого закону руху об'екта силових чинникiв, як спричи-няють цей закон руху. Складшсть останньо" задачi полягае в тому, що вона не завжди мае единий розв'язок. Рiзнi аспекти розв'язування обернених задач стосовно системи iз зосередженими масами розглянуто в роботах [4-8] та ш. Проте обернет задачi для систем iз розподшеними параметрами не набули належного розвитку, насамперед, через складшсть "х розв'язання. Тому метою ще" роботи е поширення основно" iдеi робгг [8, 9] саме на розв'язання деяких обернених задач для систем вказаного класу. Треба вщзначити, що вказаш за-дачi за своею постановкою близью до так званих задач програмного руху [8].

Постановка задачг Вiдомо [2, 3, 10], що динамiчнi процеси багатьох систем iз розподiленими параметрами описують диференцiальним рiвнянням

д2и 2 д2и „. ди ди. /1Ч

—7-а —2 = е/ (и,—,—). (1)

дг дх2 дх дt

Зокрема, воно описуе нелiнiйнi коливання (стрижня - поздовжш), (струни, линви - поперечш) та динамiчнi процеси, яю мають мiсце в сипких середовищах [10]. У (1) и(х, 0 - поздовжне (поперечне) перемiщення досль джуваного об'екта з координатою х в довшьний момент часу t; а - стала,

ди ди

яку визначають через фiзико-механiчнi характеристики тiла; /(и,—,—) - не-

дх дt

вiдома функцiя, що вказуе на вiдхилення його пружних характеристик вщ ль нiйного закону, а також нелшшш сили опору, дисипативш сили та iн.; е > 0 -малий параметр i вiн вказуе на малу величину останнiх порiвняно з лшшною вiдновлювальною силою. Для рiвняння (1) будемо розглядати найпростiшi крайовi умови, а саме

и(х t)| х=о = u(x, t)l х=/ = 0 (2)

З врахуванням того, що диференщальне рiвняння (1) е нелшшним, формально амплiтуда i частота динамiчного процесу систем, яю описуе крайова задача (1), (2), змшюються в часi. Закон змши цих параметрiв визна-чаеться, взагалi кажучи, правою частиною цього рiвняння, крайовими та поди ди

чатковими умовами. Для визначення невщомо! функцп /(и,—,—) будемо

дх дt

вважати, що процес у вщповщнш системi задаеться певним законом змши амплггуди i частоти коливань. Найдоступшшим способом визначення остан-нiх характеристик е експериментальне знаходження послiдовностi значень ампл^уд i перiодiв коливань об'екта а1, а2, ..., а^; Т1, Т2, ..., Т^..

У [9, 11-12] показано, що множина значень {а{} i {Т} визначае набли-

жено закони змши в час параметрiв а i Т за допомогою диференщальних рiвнянь

Щ- = еЛ(а);

ш (3)

-= с + еВ(а),

Ш

в яких Л(а), В(а) - вiдомi функци. Надалi вважатимемо, що останш е полшо-мами. Таким чином, задача полягае у визначенш такого вигляду функцп ди ди

/(и,—,—), за якого коливний процес записуеться системою звичайних ди-

дх дt

ференщальних рiвнянь (3).

Методика розв'язування. Враховуючи вказане вище, а також результата, яю випливають iз асимптотичного iнтегрування вщповщно1 крайово! задачi [2], правi частини рiвняння (3) також повиннi бути полшомами. Тому невiдому

функцiю / (и,—,—) будемо шукати у виглядi анал^ично1 апроксимаци

дх дt

du Bu. N du du.

dx dt k=1 dx dt

(4)

du du

де: fk(u,—,—) - лшшно незалежнi функци (многочлени); ck - коефщенти,

dx dt

значення котрих n0Tpi6H0 знайти таким чином, щоб амплiтудно-частотна характеристика коливань систем, рух яких описуеться рiвнянням (1) з враху-ванням (4), змшювалась вiдповiдно до (3).

Розв'язок диференцiального рiвняння (1) у першому наближеннi, вщ-повiдно до [2, 13], записуемо у виглядi асимптотичного розкладу

u(x, t) = u0(a, x, у) + ещ(а, x, у), (5)

де функци u0(x, t) та u1(x, t) - 2п - перiодичнi по у, ^м цього u1(x, t) не мю-тить першо! гармонiки, тобто вона задовольняе таю сшввщношення

2п 2п

j u1(a, x, у) cos у dy = 0; j u1(a, x, у) sin у dy = 0. (6)

0 0

Це означае, що параметр а у розв'язку (5) е повною амплггудою коливань, точнiше кажучи, ампл^уда коливань системи збiгаеться з ампл^удою основно! (першо!) гармонiки коливання.

Розв'язок незбурено! системи (s = 0), тобто функщю u0(x, t) знаходимо у виглядi [14]

а

Щ =-2

kn . kn ч

cos(— x + у) - cos(— x -у)

k = 1, 2....

(7)

де у = a>t + со = а2

' П 2

v I у

Диференцшючи праву частину (5), маемо д 2u d 2а J1 dt2 = dt2 j 2

кл kn

cos(—x + у) - cos(——x - у)

d 2у J a

+ ~dF j 2

. kn . kn

- sin^-y x + у) - sin^y x -у)

du11 + s—1У + da

du1 | + s-!> +

ду

+

+

(ЭуЛ 2 a

V dt j . 2

kn ч ,kn . -cos(—x + у) + cos(——x - у)

+ s

d2u a dx2 = 2

da dу dt dt

kn

. kn . kn

- sm^-y x + у) - sm(— x - у)

+ 2s

I

\ 1 J

kn kn

- cos^-y x + у) + cos(— x - у)

+ s

d2u1 Эу2

d 2u1 dad у

Э2щ

(8)

+

dx

2

Подiбним чином iз (3) можемо знайти таю величини

Г da Л2 v dt у

= s2— a (a)* dу=s2^ A(a);

d2a 2 dA t. . —T = s — A(a); . dt2 da dt¿

dB da

= s2 A2(a);

2

со1 + 2оеВ(а) + е2В 2(а); = еоЛ(а) + е2Л(а)В(а).

а 2 — о 2

Пiдстaвивши (8) в (1), з врахуванням (9), маемо

/ 7,_Л2

(9)

кп . кп ч - соб(— х + у) + соб(— х - у)

а

кп к Т у

е |а®В(а)

кп кп

- со8(-у- х + у) + соб(— х -у)

+ оЛ(а)

кп кп

- СОБ^-у- х + у) + С08(— х -у)

. Дп . кп ч

- 8т(~у~ х + у) - 8Ш(~у~ х - У)

+

+

2 д 2щ 2 д 2и1 | 2 + о2-- -а2—— ¡> + е2... = е/ (а, х,у),

^^ / ди ди. а, х,у) = Е с/ (и,—,—)

к=1

ду2 ди

дх дt

а

и =— 2

дх2

кп кп

Со8(—х+у)-С0Б(-^-х-у)

(10)

N

■ТСк/к ( х,у). к=1

а

и» = —о ' 2

б1п( п+у)+б1п( ^х-у)

У першому нaближеннi (10) iснувaтиме, якщо невiдомi функцiя и1(х, t) та параметри с1, к cN пов'язaнi диференцiaльним сшввщношенням

аоВ(а)

кп кп

- С0Б(— х + у) + СоБ(— х -у)

ду

+ оЛ(а)

I N дх2 к=1

. кп . кп

■ Б1п(— х + у) - Б1п(— х - у)

I

I

2 д 2щ 2 д 2Щ ^ ( ) +о2 —г - а2 —г = Е Ск/к(а, х, у).

(11)

З врахуванням умов (6) маемо

N Т 2п__кп

Е скII /к (а, х,у)собуб1п — хШуШх =-по1Л(а);

к=10 0 Т

к=1 0 0

N 1 2Ж__кп

Еск\ I /к(а,х,у)туБт—хШуШх = паоТВ(а).

к=10 0 Т

(12)

Алгебрашт зaлежностi (12) слугують базою для визначення невщо-мих коефщенпв ск. Для (12) можливi тaкi випадки.

Випадок 1. Вказаш спiввiдношення (12) виконуються однозначно за вЫх значень параметра а. Тодi система алгебрашних рiвнянь (12) мае единий розв'язок. У вказаному випадку функцп /к падбрано вдало i aнaлiтичнa ап-роксимащя невiдомих силових характеристик визначаеться залежшстю (4) за отриманих значень с1, к cN .

Випадок 2. Залежност (12) виконуються тiльки для окремих значень параметра а, тобто шляхом прирiвнювaння коефщенлв за однакових ступе-нiв а право1 i лiвоl частин спiввiдношень (12), отримаемо недовизначену систему лшшних алгебрашних рiвнянь. Тодi для знаходження невщомих коефь цiентiв накладемо на функци /к додаткову умову: функцiонaл

а 2п I

■>=ш

-а 0 0

N

Е Ск/к(a, х,у)

к=1

Ша Шх Шу

(13)

повинен набули мшмального значення.

Нехай Ï3 (12) можна визначити зв'язок мiж першими 5 невщомими ко-ефщентами та вЫма iншими у виглядi

Ci = m(cs+1, K , CN), i = 1,2, ... 5.,

де r/i - B^OMi функцiï.

З врахуванням наведеного вище, (13) набувае вигляду

a 2п l

J = iii

-a 0 0

5 _ N _

YJli(cs+1, K, CN)fi(a,x,y) + X Crfr(a,x,y)

i=1 r=s +1

2

dadxdy. (14)

умови

Функцюнал (14) набуде мiнiмального значення, якщо виконуються

dJ

--= Çi{Cs+1, Cs+2, K, CN, a) = 0, i = 1,2, K, N - s. (15)

dCs+i

Розв'язуючи сумiсну систему лшшних алгебраïчних рiвнянь, яка вип-ливае Ï3 (12) та (15) стосовно Ck, знаходимо невiдомi коефiцiенти.

Випадок 3. Алгебраïчнi сшввщношення (12) не виконуються за вЫх значень параметра a. У цьому випадку система функцш fk пiдiбрана невда-ло i треба замшити ïï iншою.

Висновки. Запропонована методика визначення нелшшних характеристик систем дае змогу за заданим коливним процесом визначити анаштич-ну апроксимащю невщомих силових чинникiв. Основну ïï щею може бути перенесено i на деяк iншi системи.

Лггература

1. Сеник П.М. Про використання u -методики для одного класу коливних систем / П.М. Сеник, Б.1. Сок1л // Доповщ АН УРСР. Серя: А. - 1977. - № 1. - С. 12-16.

2. Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.А. Митропольский, Б.И. Моисеенков. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1976. - 592 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М. : Изд-во "Наука", 1968. - 560 с.

4. Кононенко В.О. Определение характеристик нелинейных элементов колебательных систем из анализа движения / В.О. Кононенко, Н.П. Плахтиенко // Прикладна мехашка. -

1969. - V, вип. 10. - С. 1-7.

5. Кононенко В.О. Определение петлеобразных характеристик нелинейных колебательных систем из анализа движения / В.О. Кононенко, Н.П. Плахтиенко // Прикладна мехашка. -

1970. - IV, вип. 9. - С. 9-15.

6. Плахт1енко Н.П. Про визначення нелшшно! характеристики коливно! с системи з анал1зу фазово! траектори // Доповщ АН УРСР. Сер1я: А. - 1976. - Вип. 4. - С. 336-338.

7. Сеник П.М. Застосування u -методики до неавтономно!' системи з сильною нель ншнютю // Доповщ АН УРСР. - 1962. - № 9. - С. 1146-1149.

8. Сеник П.М. Про побудову оптимально! автономно! програмно-коливно! системи з сильною не лшшнютю / П.М. Сеник, Б.1. Сокш // Доповщ АН УРСР. Сер1я: А. - 1976. - № 7. - С. 600-603.

9. Сеник П.М. Одно обобщение обратной задачи асимптотического метода Н.Н. Боголюбова // Известия ВУЗов. - 1960. - № 6. - С. 226-232.

10. Стоцько З.А. Динамка робочого середовища в1брацшних машин об'емно! оброб-лення / З.А. Стоцько, Б.1. Сокш, В.Г. Топшьницький // Автоматизащя виробничих процеав у машинобудуванш i приладобудуванш. - 2000. - № 35. - С. 126-32.

11. Сеник П.М. Визначення функци, яка характеризуе розсшвання енерги коливно! системи // Прикладна мехашка. - 1960. - IV, вип. 1. - С. 40-45.

12. Сеник П.М. Про визначення функци розсшвання енерги коливно! системи з багать-ма ступенями вшьносп // Прикладна мехашка. - 1961. - VII, вип. 3. - С. 253-257.

13. Боголюбов Н.И. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.И. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 408 с.

14. Мартинщв М.П. Несучi характеристики канатних установок / М.П. Мартинщв, Б.1. Сокш, М.Б. Сокш // Лiсове господарство, лiсова, паперова i деревообробна промисловiсть : мiжвiдомчий наук.-техн. зб. - Львiв : УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 28. - С. 81-89.

УДК 681.3+519.6 Доц. О.А. Пастух, канд. техн. наук - Терноптьський

державный техмчний ушверситет M. 1вана Пулюя

СШЛЬН1 РИСИ ТА В1ДМ1ННОСТ1 М1Ж 1НДИКАТОРНИМИ ФУНКЦ1ЯМИ НЕЧ1ТКИХ МНОЖИН ТА ШОД1БНИМИ ДО НИХ

ЙМОВ1РН1СНИМИ М1РАМИ

Вперше розглянуто математичний формалiзм спшьного та вiдмiнного мiж шди-каторними функщями (функцiями приналежностi) нечiтких множин та подiбними до них ймовiрнiсними мiрами. В основу математичного формалiзму покладено статис-тичну модель, яка охоплюе симплекс приготованих станiв та множину афшних вь дображень симплексу приготованих сташв у симплекс ймовiрнiсних мiр, а також по-няття квантово" неч^ко" множини, яке е узагальненням поняттям неч^ко" множини. Показовють результатiв представлено за допомогою вiртуального експерименту з оцiнювання групою експертив шдикаторно!' функцп неч^ко" множини.

Assoc. prof. O.A. Pastukh - Ternopol state technical university

named after Ivan Pulyuj

Identical and difference between indicator functions of fuzzy sets and similar probability measures

Mathematical formalism of general and difference between indicator functions of fuzzy sets and probability measures had been viewed. Basic of mathematical formalism is statistical model. Statistical model is including simplex of ready states and set of affine mappings. Basic of mathematical formalism is idea of quantum fuzzy set. Quantum fuzzy set is generalization of fuzzy set. Results of virtual experiment on estimation indicator function of fuzzy set by group of experts had been showed.

Вступ. Довол1 часто шд час розгляду шдикаторних функцш (функцш належност1) неч1тких множин "х ототожнюють 1з однаковими за значеннями ймов1ршсними м1рами. Хоча вщмшшсть м1ж ними ютотна, наприклад, область визначення шдикаторних функцш е ушверсальна множина, а областю визначення вщповщно!" ш ймов1ршсно1' м1ри е а -алгебра ще!" ушверсально!" множини, все ж юнуе потреба в створенш математично формал1зованого грунту для "х розр1знення.

Огляд кнуючих даних. Хоча вщмшност1, як юнують м1ж шдикатор-ними функщями неч1тких множин та под1бними до них ймов1ршсними м1ра-ми, розглянуто у багатьох л1тературних джерелах, в основ! цього дослщжен-ня використано математичний формал1зм статистично" модел1, наведений у роботах [1, 2] та поняття квантових нечггких множин, як е узагальненням не-ч1тких множин i вперше введено в авторських роботах [3-6].

Постановка завдання. У робот розглянуто за допомогою статистич-но!" модел1 та поняття квантово!" неч1тко" множини виршення завдання мате-матично!" формал1зацп зв'язку м1ж шдикаторними функщями неч1тких мно-