Розв'язування задач математичної фізики у середовищі Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Ковальчук М. Б. Розв'язування задач математичноi фiзики у середовищ/' maple // Ф'зико-математична освта : науковий журнал. - 2017. - Випуск 1(11). - С. 56-61.

Kovalchuk M. Solving Problems Of Mathematical Physics In The Maple Environment // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 1(11). - Р. 56-61.

УДК 517.9+004

М.Б. Ковальчук

В'шницький нац'юнальний техшчний унiверситет, Укра!на

m aya. ko valch uk@qm ail. com

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНО1 Ф1ЗИКИ У СЕРЕДОВИЩ1 MAPLE

Анотаця. Серед основних тенден^й розвитку математичноi' освти в техшчному вуз'1 можна видлити модернiзацiю метод'в прийом'!в i засоб'!в навчання у формуваннi тих базових знань i вм'нь, як е значимими для застосування у подальш'ш професiйнiй дiяльностi. Особливо важливо майбутньому iнженеру вм/'ти застосовувати алгоритм дш або самому його розробляти з використанням сучасних iнформацiйних технологiй. Дана стаття присвячена анал'зу педагог'чно!' i методичноi доцiльностi використання системи аналтичних розрахунк'!в Maple при розв'язуванн'1 задач математично! ф'зики, зокрема, коливання струни. Розглянуто основнi команди, як дозволяють розв'язувати задачу Кош'1 методом характеристик (формула Д'Аламбера) i методом Фур'е (метод в'докремлення зм'нних) для вимушених i вльних коливань струни. Наведено методичн коментар'1 щодо використання операторiв Maple в процеа знаходження основних характеристик i в'1зуал'1зацп процесу коливання струни.

Зроблено висновки стосовно методичноi i педагог'1чно! доцiльностi вибору системи аналтичних розрахунк'в Maple з метою формування вм'нь i навичок студент'в, як передбаченi зм'!стовним модулем «Диференцiальнi р'!вняння».

Ключов! слова: математична ф'зика, диференцiальнi рiвняння, аналтичн розрахунки задача Кош'1, метод Фур'е, формула Д'Аламбера.

Постановка проблеми. Метою викладання математики у вищГй техычнш школi з використанням Ыформацшних технологш е оволодГння математичним апаратом, необхщним для вивчення загальночнженерних та спецГальних дисциплш, розвиток здiбностей свщомого сприйняття математичного матерiалу, характерного для спецГальност шженера; оволодшня основними математичними методами, необхщними для аналiзу i моделювання пристро'в, процеав i явищ, пошукГв оптимальних ршень з метою пщвищення ефективност виробництва i вибору найкращих способiв реалГзацГ'' цих ршень, опрацювання i аналiзу результа^в експериментГв.

Навчальна дисциплЫа «Вища математика» за напрямом пщготовки «Електротехнта та електротехнологГ''» i «Електромеханта» складаеться з 6 модулiв, що мГстять 10 змiстових модулiв:

1. Елементи лшмно''' алгебра та аналiтичноí геометрп.

2. Диференцiальне числення функцГ'' одые'( змiнноí.

3. 1нтегральне числення функцГ'' однiеí змiнноí.

4. ФункцГ' ктькох змiнних.

5. Звичайнi диференцiальнi рГвняння

6. ЧисловГ i функцiональнi ряди

7. Операцмне числення

8. Кратн iнтеграли

9. КриволГнГйнГ та поверхневi iнтеграли

10. Спецiальнi глави вищо''' математики

ЗмГстовий модуль «Звичайнi диференцГальн рГвняння» передбачае вивчення основних задач математично''

ФГЗИКИ.

Диференцiальнi рГвняння в частинних похщних - потужний зааб теоретичного дослiдження нaвколишнiх процесiв i посГдають чи не найголовнГше мГсце у теорГ'' коливань. Побудова та дослщження математичних моделей фГзичних явищ складають предмет математично'' фГзики. Математична фГзика - це математичний апарат вивчення фГзичних полГв.

В межах теми «РГвняння математично' фГзики» студенти мають вмГти: - зводити загальну форму рГвнянь у частинних похщних другого порядку до канонГчно' форми у випадках пперболГчного, елГптичного, параболГчного типГв;

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

- розв'язувати хвильове рiвняння методами Д'Аламбера та Фур'е;

- розв'язувати рiвняння теплопровiдностi методом Фур'е;

- знаходити наближений розв'язок рiвняння теплопровщносп методом сiток.

З метою формування даних вмшь використовуються рiзнi засоби, серед яких можна видтити спецiалiзованi комп'ютернi середовища типу Maple. Дан засоби передбачають моделювання фiзичних явищ, зокрема коливання струни, i спрощують аналiтичнi розрахунки характеристик. Разом з тим методична тдтримка використання таких засобiв у вищiй математицi не розкрита на належному рiвнi. У провщних фахових виданнях ця проблема майже не висв™юеться. Це ускладнюе застосування викладачами i студентами засобiв даного типу до розв'язування типових задач <^внянь математично! фiзики».

Аналiз актуальних дослiджень. Дослiдження комплексу проблем, якi пов'язанi iз застосуванням нових шформацшних технологiй (Н1Т) навчання математики, започаткован в роботах А.П.бршова, М.1.Бурди, М.1. Жалдака, Е.1. Кузнецова, О.А. Кузнецова, В.М.Монахова Дидактичн i психолопчы аспекти застосування Н1Т у навчальному процес розглядались у працях М.1. Жалдака, С.А. Ракова, Ю.С. Рамського, Н.В.Морзе, В.А. Пенькова, Ю.В. Горошка, В.1. Клочка, В.Т. Зайцево!', £.М.Смiрновоí, О.Б.Жильцова та iн.

Аналiз науково-методичних джерел щодо використання iнформацiйних технологш при вивченнi рiвнянь математично! фiзики, а також вiдповiдних засобiв комп'ютерно! математики та наявного у них Ыструментар^ дозволяе стверджувати, що одним iз найбiльш зручних у використанш та найбiльш вдалим з точки зору вiзуалiзацií результатiв та аналтичних обчислень е система аналiтичних розрахун^в Maple.

В курсi вищо! математики рiвняння математично! фiзики представленi лише деякими диферен^альними рiвняннями з частинними похщними, якi допускають фiзичну штерпретацю хвильовi рiвняння i рiвняння теплопровщносп з деякими крайовими умовами. Розв'язування цих рiвнянь пов'язане з громiздкими математичними перетвореннями. Це спонукало провести методичний аналiз розв'язань типових хвильових рiвнянь з наданням рекомендацiй щодо застосування Maple.

Мета статп навести приклади розв'язування задачi Кошi методом характеристик (формула Д'Аламбера) i методом Фур'е (метод вщокремлення змiнних) для рiвнянь коливання струни з використанням системи аналiтичних розрахункiв Maple, надати методичн коментарi щодо i! застосування.

Виклад основного матерiалу. Можливостi системи аналiтичних розрахункiв типу Maple, дозволяють застосовувати !'!' в декiлькох пози^ях:

1) як3aci6комп'ютерно/ графiки для вщтворювання динамiки процесiв коливання струни i мембрани, розгляду !'х профiлiв у рiзнi моменти часу;

2) як3aci6для аналтичнихперетворень в чисельних методах розв'язування задач.

Роботу з командами Мар1е протюструемо на розв'язуваннях задач Кошл методом характеристик (формула Д'Аламбера) i методом Фур'е (метод вщокремлення змшних) для вимушених i вiльних коливань струни.

Вiдмiтимо, що методом характеристик називаеться метод розв'язування лiнiйних диференщальних рiвнянь у частинних похiдних другого порядку шляхом штегрування !'х каноычних форм.

Метод Фур'е, або метод вщокремлення змiнних, е одним iз найбiльш розповсюджених методiв розв'язування диферен^альних рiвнянь у частинних похiдних. Цей метод базуеться на узагальненому принцип суперпозицп.

Одночасне застосування засобiв Maple i алгоритмiв розв'язування задач даного типу полегшить студентам процес знаходження загального розв'язку.

Алгоритм розв'язування задач

1. Визначаемо споаб коливання струни (вимушен чи втьы).

2. В залежност вiд способу коливання вибираемо формулу Д'Аламбера.

3. Знаходимо складовi формули Д'Аламбера засобами Maple.

4. Записуемо розв'язок задачi Кошл.

52U , 52U

Задача 1. Коливання струни описуеться рiвнянням—— = a —— з початковими умовами U(x,0) = f (x) ,

dt дх

dU

-(x,0) = y/(x) , де /(x) = sin(x) , i//(x) = 0, ^=o-<.v-< =o, t> 0. Знайти розв'язок задач1 Komi за формулою

dt

Д'Аламбера.

Розв'язання. Задамо рiвняння.

> Eqn:=diff(u(x,t),t$2)-aA2*diff(u(x,t),x$2)=0;

( д2 ( д2 Eqn := I —— u(x,t) \ — a2 I —-u(x,t) у dt J у dx

Для розв'язання цього рiвняння використовуемо процедуру pdsolve() i одержимо наступне.

> pdsolve(Eqn);

u(x, t) := _ F1(at + x) + _ F2(at — x) В даному випадку функцп _ F1( ) i _F2( ) е довтьними двiчi диференцiйованими функцiями. Таким чином, загальний розв'язок рiвняння Eqn подаеться у виглядi суперпозицп двох функцш з вiдповiдними аргументами. Вiдповiдно, щоб повнiстю розв'язати задачу, необхiдно визначити вид цих функцш. Функцй визначаються iз початкових умов. Але перш за все задаемо u(x,t) як функщю двох параметрiв x i t.

> u:=unapply(rhs(%),x,t);

u := (x, t) ^ _ F1(at + x) + _ F2(at — x) Далi використовуемо те, що похщна по часу вщ функцй u(x,t) в початковий момент дорiвнюе нулю.

Зауваження: похщна по другому аргументу функцп и(х,г) обчислюеться за допомогою оператора диферен^ювання з позначенням в квадратних дужках шдексу змiнноí, по якiй обчислюеться похщна (Р[2](и)).

> Р[2](и)(х,0)=0;

F1)( х) а + F 2)(—х) а = 0 Одержане таким чином диферен^альне рiвняння будемо розв'язувати вiдносно функцп _F1( ) .

> а5о№е(%,_Р1(х));

_ Fl( х) = _ F 2(—х) + _ С1

Бачимо, що функцп _F1( ) i _F2( ) з точыстю до знака аргументу i константи _С1 спiвпадають. Константу можна прирiвняти до нуля, а функщю _Р1 позначити як Р.

> _Р1:=Р;

_ П := F

> _Р2:=х->Р(-х);

_ F2 := х ^ F(—х) Вiдповiдно, шукати розв'язок рiвняння потрiбно в такому виглядк

> и(х,г);

F (аг + х) + F (—аг + х)

> и(х,0);

2F ( х)

> ^=х-^п(х);

> Р:=1/2*^

f := x ^ sin( x)

> a:=l;

> u(x,t);

F:=- f 2

a := 1

T sin(i + x) - T sin(i - x)

Тепер за допомогою процедури animate вщтворимо процес коливання струни (рис. 1, рис. 2). >plots[animate](u(x,t),x=-10..10,t=0..15, view=-2..2, scaling= unconstrained, numpoints=100,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);

На даних рисунках вщображаеться коливання струни в рiзнi моменти часу. Коливання струни в момент часу t=1c -рис. 1, в момент часу t=4c - рис. 2.

Рис. 1.

Задача 2. Знайти розв'язок р!вняння коливання струни

д2U 2 д2U

■ = a

Рис. 2.

, яке задовольняе початков! умови

U (x, 0|i=o = f (x), dU (x' fVo , коли t>- 0 та 0 < x < l

dt

с. 192].

Розв'язання. Визначимо рiвняння.

> Eq:=diff(u(x,t),t$2)=aA2*diff(u(x,t),x$2);

d2 ( д2 Eq := —-и(x,t) = a2 I —-u(x,t) dt ^dx

Розв'язок будемо шукати методом роздтення змiнних.

> pdsolve(Eq,HINT=X(x)*T(t));

dt2 дх2

та 0 ъ x ъ i i крайовi умови U (x, t)\ x=0 =0, U(x,0|x=l =0 [i,

(u(x, t) = X(x)T (t)) & where

dT (t ) = a2 _ cT (t ), dX (x) = _ cl (x) dt dx

В одержаному результатi виконання команди вираження спочатку вказано, в якому виглядi шукаеться функцiя U(x, t), а по™ в квадратних дужках тсля ключового слова where перераховуються умови, ям задовольняють функцп Х(х) i T(t).

Задаемо рiвняння для функцп Х(х), замiнивши в ньому для зручносп змiнну середовища _ c на -Л.

> Eq1:=diff(X(x),T(x,2))=-lambdaA2*X(x);

Eq1 := dT X(x) = -Л2X(x) . dx

Розв'язуемо це рiвняння вщносно Х(х), врахувавши початковi умови, а саме: осктьки U(0,t)=X(0)T(t)=0, то X(0)=0. Одержимо

> dsolve({Eq1,X(0)=0},X(x));

X(x) = _C1sin(Ax) .

Параметр Л мае бути таким, щоб виконувалась i умова X(l)=0. Але перш нiж розв'язувати вщповщне рiвняння (вiдносно Л), присвоюемо змiннiй середовища _EnvAllSolutions, яка вщповщае за пошук вах розв'язкiв рiвняння, значення true .

> _EnvAllSolutions:=true;

_ EnvAllSolutions = true

> solve(sin(lambda*l)=0,lambda);

к Zl ~

I

В цьому виразi змшна _Z1 середовища «нумеруе» власнi числа. Задамо залежнiсть, яка визначае власнi числа

крайовоl задач!. > nu:=n->Pi*n/l;

— n

v := n —-

l

Визначимо власы функцп - там функцп, ям вщповщають власним числам задачк

> X:=(x,n)->sin(x*nu(n));

X := (x, n) — sin(xv(n)) . Повертаемось до функцп T(t), задаемо i розв'язуемо рiвняння для не!'.

> Eq2:=diff(T(t)/$(t,2))=-aA2*iambdaA2*T(t);

Eq2:= -i— T (t) = -a2 X2T (t), dt2

> dsoive({Eq2,D(T)(0)=0},T(t));

T (t ) = _ C 2cos(X at ),

> T:=(t,n)->cos(nu(n)*a*t);

T := (t, n) — cos( v(n) at) . Розв'язок рiвняння будемо шукати у виглядi ряду за власними функцiями.

> U:=(x,t)->Sum(A[n]*X(x,n)*T(t,n),n=1..infinity);

да

U := ( x, t) — X AnX (x, n) T {t, n) .

n=1

Загальний розв'язок хвильового рiвняння згiдно з узагальненим принципом суперпозицп шукаеться за формулою:

> U:=(x,t)->Sum((C[n]*cos(a*Pi*n*t/l)+ +D[n]*sin(a*Pi*n*t/i))*sin(Pi*n*x/i),n=1..infinity);

TT / ( annt J . ( a nnt JJ . ( nnx

U = ( x, t ) - X [Cn COS { — J + Я Sin ( -П- J J- [ —

> a:=1;i:=Pi;

a := 1, l :=n,

> U(x,t);

да

X(C„ cos (nt) + Я sin (nt)) sin (nx) .

n=1

Задовольняемо початковi умови

> U1:=U(x,0);

U1 := Y C sin(n x),

n=1

> f:=x->|x<=0,0,x<=Pi/2,x,x<=Pi,Pi-x,o);

f := x — x < 0,0, x < ——, x <—, — — x, 0 . 2

Умови Дiрiхле для функцп f (x) виконуються (функщя неперервна i кусково-монотонна на промiжку [0, я\),тому

Z (Cn cos (n 0) + D sin (n 0)) sin (nx) = f (x) ,

ÏÏ можна розкласти в ряд Фур'е. > U(x,o)=f(x);

> assume(n::posint);

> f1(x):=x;

f 1(x) := x,

> f2(x):=Pi-x;

f 2(x) := я — x,

> A[n]:=2/Pi*{int(f1(x)*sin(n*x),x=0..Pi/2)+ +int(f2(x)*sin(n*x),x=Pi/2..Pi)};

, ■ ( 1 ï ( 1 ï ( 1 ï „ ■ ( 1 —2sin —яп ~ + cos —яп ~ n ~ я cos —яп ~ n ~ я+2 sin —яп -

2

A~ :=-

12

12

2n

2 n -

> simplify(%);

О ■ ( 1 ï ( 1 ï ( 1 ï О ■ ( 1

—2 sin —яп ~ + cos —яп ~ n ~ я cos —яп ~ n ~ я + 2 sin —яп -

l 2 I — 2 I . — 2 I l 2

2n

2n

n=1

я

2

> d:=combine(%,tgig);

> sin(1/2*Pi*n):=(-1)An;

> C[n]:=d;

> U1;

d :=-

2sin —яп ■ 2

я

sin —яп ' 2

C :=-

:= (—1)n

2(—1)п

я

2i 2( 1 !>sin(n ~x)

z-

n~=1 я

Це розв'язок рiвняння коливання струни, який задовольняе початковi i крайовi умови

Зауваження: для парних значень п ~= 2п коефiцiент Ся Дорiвнюе нулю, тому для п ~=2п +1 коефщент розкладу набуде вигляду

2(—1)(2п+1}

2

C =-

C2 п+1

(2n +1)2

в|дпов|дно

U1 = U ( x,0) = Z

2(—1)(2п+1) 2 < -^èd+DT ^sin((2n+1) x )

розв'язок р1вняння коливання струни, який задовольняе початков! i крайов! умови.

Проанал!зуемо одержаний розв'язок, вщобразивши його графiчно. Осктьки ряд для функцп U(x,t) нескiнченний, то для графiчного вiдображення необхiдно залишити скшченну ктьюсть доданкiв. Вщповщний вираз визначимо таким чином (коефщенти записанi в явному вигляду N - число доданюв в ряд^. > S:=(x,t,N)->sum(2*(2*(-1)An/nA2)*sin(n*x)/Pi,n=1..N);

л

2

2

п

к

п=1

Тепер за допомогою процедури animate вщтворимо процес коливання струни (рис. 3). > plots[animate](S(x,t,10),x=0..15,t=0..1, numpoints=100, titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);

-0,5

0,5

-1

О

1

Рис. 3.

Висновки. За результатами дослщження можна зробити TaKi висновки.

1. Система аналтичних розрaхункiв Maple е потужним iнструментом вiзуaлiзaцií результат та спрощення aнaлiтичних розрaхункiв.

2. Анaлiз способiв використання даного засобу показуе, що його використання надае навчальному процесу дослщницького характеру. Це значно посилюе нaвчaльно-пiзнaвaльнi можливостi студенев.

3. Можливостi використання системи aнaлiтичних розрaхункiв Maple в курсi вищо''' математики не обмежуються задачами даного типу.

Список використаних джерел

1. Матросов А.В. Maple 6.Решение задач высшей математики и механики / А. В. Матросов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001.528 с.

2. Петрук В.А. Вища математика з комп'ютерною пщтримкою. Рiвняння математично' фiзики./ В.А. Петрук, Н.В. Сачанюк-Кавецька, М.Б. Ковальчук// Рекомендовано МОН Укра'ни як навчальний посiбник для студенев вищих навчальних зaклaдiв, якi навчаються за напрямками «Електромехашка» та «Електротехнта». Лист №1/11-1662 вiд 1.03.2011 р.) ВЫниця: ВНТУ, 2012. - 157 с.

1. Matrosov A.V. Maple 6. Solving problems of higher mathematics and mechanics / AV Matrosov. - SPb .: BHV-Petersburg, 2001. - 528 s. (in Russian)

2. Petruk VA Higher mathematics with computer support. The equations of mathematical physics. / VA Petruk, NV Sachanyuk-Kavetsky, MB Kovalchuk // Education of Ukraine recommended as a textbook for university students studying "Electrician" and "Electrical engineering". Letter №1 / 11-1662 from 1.03.2011 g.) Vinnitsa: NTB, 2012. - 157 s. (in Ukrainian)

Abstract. Among the main trends of mathematics education in a technical college we can identify methods, techniques and training aids modernization in the formation of the basic knowledge and skills that are important for application in future professional activities. It is especially important for future engineers to be able to apply the algorithm of actions or to develop it on one's own using modern information technology. This article is devoted to the pedagogical and methodological feasibility of Maple analytical calculations system in solving problems of mathematical physics, including string vibrations. The basic commands to solve the problem of Cauchy by characteristics method (d'Alember formula) and Fourier method (method of variables separation) for free and forced vibrations of strings are examined. A methodical analysis of Maple operators in the process of the main characteristics searching and visualization of string fluctuations process is done. Conclusions regarding the methodological and pedagogical appropriateness of Maple analytical calculations to form students skills which are provided by meaningful module "Differential equations" are done.

Key words: mathematical physics, differential equations, analytical calculations, Cauchy problem, Fourier method, the formula of d'Alember.

References

SOLVING PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN THE MAPLE ENVIRONMENT

Maya Kovalchuk

Vinnytsia National Technical University, Ukraine