CC BY
63
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Ковальчук М.Б. Моделювання задач математично! ф'1зики в систем'1 комп'ютерноi математики Maple. Фiзико-математична осв'та. 2019. Випуск 2(20). С. 40-47.
Kovalchuk M. Modeling The Mathematical Physics Problem In The Computer Mathematics System Maple. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 2(20). Р. 40-47.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-020-2-007 УДК 004: 37
М.Б. Ковальчук
В'шницький нац'юнальний технчний унiверситет, Украна
m aya. ko valch uk@gm ail. com ORCID: 0000-0002-1895-1715
МОДЕЛЮВАННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНО1 Ф1ЗИКИ В СИСТЕМ1 КОМП'ЮТЕРНО! МАТЕМАТИКИ MAPLE
АНОТАЦЯ
Формулювання проблеми. Вища математика тради^йно ееажаеться одним з найважчих предмет'в в технчних ун'юерситетах.
В нй нтегруються знання з курйв алгебри, аналiтично'i' геометри, математичного аналiзу однеi i клькох змнних, диферен^альнихрiвнянь. Навчання методам розв'язування та огляд прикладiв застосування диферен^альних рiвнянь е пропедевтикою моделювання i прогнозування. Деяш обчислювальн процедури, якi супроводжують цей процес, е складними i гром'здкими тому використання систем комп'ютерноiматематики (СКМ), зокрема Maple, е могутшм засобом унiверсалiзацi'i' та iнтеграцi'i' навчально-математичноi д'яльностi.
Матер/'али i методи дослдження. Матер'шлом досл'дження е процес розв'язування диферен^альних рiвнянь в частинних пох'дних засобами MAPLE. Метою використання спостереження, аналiзу та систематизац'й було накопичення iнформацii' про доц/льн/сть використання СКМ Maple при формуваннi понять вищоiматематики. Емпiричний аналiз програмних процедур СКМ Maple та метод моделювання використовувався для створення i використання функцюнальних алгоритм'ю в теор'й диферен^альних рiвнянь та в'вуал'вацК результат'ю.
Результати. В статт'1 проанал'вовано змст поняття «математична модель» та представлено схему ii' створення. Видлено основн етапи математичного моделювання i визначено посл'довшсть обчислювальних i лог'мних опера^й для вивчення досл'джуваних властивостей об'екта. Розглянуто основы! типи iнформацii' та програмних процедур побудови математичноiмодел'1 через застосування СКМ Maple. Запропоновано деклька функцональних алгоритм'ю зведення лiнiйних диферен^альних рiвнянь другого порядку з двома незалежними змнними до каношчного вигляду засобами Maple.
Висновки. Узагальнюючи результати досл'дження можна стверджувати, що наведен: модел'1 дозволяють поглибити теоретичнi знання та на початковому етап навчання в унiверситетi отримати певн навички математичного моделювання, що е необх'дним для вивчення спец'юльних дисциплiн i сприяють пдвищенню рiвня пдготовки майбутшх фахiвцiв.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: р'1вняння математично)' ф'1зики,системи комп'ютерно)'математики, функцiональнi алгоритми, математичне моделювання.
ВСТУП
Постановка проблеми. Значну роль в сучасному розвитку сусптьства в^грае шформатиза^я-процес, суть якого полягае в розвитку i широкомасштабному застосуванн методiв i 3a^6iB отримання, накопичення, переробки, передачу збер^ання, подання i використання Ыформацп, що забезпечуе систематиза^ю наявних i отримання нових знань i '¡х використання сусптьством для поточного управлшня i подальшого вдосконалення i розвитку.
Одним з ключових умЫь майбутнього фахiвця техычного профтю е здатысть застосовувати математичн методи в поеднанш з Ыформацмними технолопями. Тому в навчанн математики рiзнi комп'ютерн технологи в^грають важливу роль осктьки вони забезпечують активну участь студенев в процес навчання, шдивщуальний пщхщ, наочысть в представлены шформацп.
Володшня хоча б одыею iз систем комп'ютерно' математики, таких як Maple (Дьяконов, 2011; Сдвижников, 2003; Шевченко, 2015), Mathematica, MathCAD, MatLab, Maxima, дозволяе майбутньому фахiвцю значно спрощувати математичн перетвореня i самостшно виршувати склады приклады завдання (Шевченко, 2016).
Аналiз актуальних дослщжень. 1нформатизащя навчання вищо' математики в закладах вищо' техычно' освiти е одним iз прюритетних напрям^в модерызацп системи формування базових понять та вмЫь. Реалiзацiя даного напрямку через формування прийомiв роботи з комп'ютерними моделями висвтлювалась в роботах А. Ф. Верлань, М. I. Жалдака,
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Ю. О. Жука, Р. В. Майер, С. А. Ракова, Ю. С. Рамського, С. О. Семертова, I. О. Теплицького О. А. БушковоТ, К. А. Дахер, Г. М. СаркеевоТ, В. П. Дьяконова, Р. I. 1вановського, О. В. Матросова, О. В. Мантурова i íh. Окремi дидактичнi та методичн аспекти застосування СКМ у навчанн розглядались в роботах науковцiв А. В. Антонця, I. М. Горди, В. П. Д'яконова, А. М. Кундрат, М. М. Кундрат, В. Ф. Очкова, Ю. В. Триуса, Л. О. Флегантова, О. Г. Ясева.), зокрема, основы принципи i методи застосування СКМ Maple розглядались в працях О. С. КотюрпноТ, Ю. Б. Ыктна, О. I. ФедоровоТ, О. А. Барковiч, О. Г. ПустоваловоТ, О. О. Карабин, О. Ю. Чмир, М. I. Кусш, Я. В. Крупського, В. А. Кушыра та íh.
У виршены задач залучення систем комп'ютерноТ математики у процес навчання у вищм техычый школi досягнуто вагомих результат, проте мало придтяеться уваги використанню i складанню функцiональних алгорт^в. У статтi показанi можливостi Maple-технологи в конструюваннi алгоритмiв та програм для автоматизацп розв'язування математичних моделей рiвнянь математично фiзики.
Мета статт полягае в узагальненнi основних принципiв математичного моделювання i обГрунтуваны використання СКМ Maple при розв'язуванн задач математичноТ фiзики.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Матерiалом дослiдження е процес створення алгори^в розв'язування математичних моделей та Тх реалiзацiя засобами MAPLE. Метою використання спостереження, аналiзу та систематизацп було накопичення шформацп про доцiльнiсть використання Maple при формуванн понять вищоТ математики.
Емпiричний аналiз програмних процедур Maple та метод моделювання використовувався для створення i використання функцюнальних алгори^в в теорп диференцiальних рiвнянь та вiзуалiзацiТ результатiв.
РЕЗУЛЬТАТИ ТА ОБГОВОРЕННЯ
З появою i розвитком Ыформацшних технологiй актуальною стала проблема застосування СКМ в освт, зокрема, у вищм технiчнiй школi. Досить часто, недостатый рiвень знань математичних методiв призводить до того, що студенти, а, iнколи i фахiвцi практично не використовують аналiтичнi методи розрахунку, а використовують якiснi описи, експеримент або емтричы спiввiдношення (Баганов, 2008).
Теорiя звичайних диференцiальних рiвнянь е одним з основних Ыструмент математичного природознавства. Диференцiальнi рiвняння активно використовуються для побудови найрiзноманiтнiших моделей - фiзичних, економiчних, бiологiчних i багатьох Ыших. Тому навчання методам розв'язування та огляд прикладiв застосування диференщальних рiвнянь е пропедевтикою моделювання i прогнозування.
Суть математичного моделювання полягае в перенесены реальних властивостей об'екта або процесу на деяк математичн вщношення, ям мають певну математичну структуру. Фiзичнi, хiмiчнi, бюлопчы та соцiальнi процеси не е в цьому сена винятком. Одним з поширених способiв вивчення явищ математичними методами е моделювання цих явищ i процесiв через використання диференщальних рiвнянь.
Вивчення диференцiальних рiвнянь у курсi вищоТ математики в основному орiентуеться на формальне розв'язування стандартних титв рiвнянь. При цьому значну частину складають систематичнi методи пошуку розв'язкiв. Студенти концентруються на запам'ятовуванн цих методiв для знайомих титв рiвнянь
У цiй статт ми розглянемо лiнiйнi диференцiальнi рiвняння другого порядку з двома незалежними змшними, зокрема, зведення Тх до каноычного вигляду. В студентiв не математичних факультет виникають значн труднош^ в процесi введення нових змЫних i виконаннi перетворень. Причинами цього е деяка абстракт-лсть матерiалу i мала стутнь наочностi. Як зазначаеться в роботi (Сачкова, 2012) графiчна вiзуалiзацiя матерiалу i особливо динамiчна вiзуалiзацiя засобами систем комп'ютерноТ математики допомагае яккному засвоенню абстрактного матерiалу, а також глибшому розумiнню дослщжуваних об'ектiв i явищ.
Слiд також зазначити, що для неспещалкт в математик набагато важливiшим е аспект математичного формулювання моделi та ТТ дослiдження, нiж тонкощi, пов'язанi з теорiею диференцiальних рiвнянь. Тому роботу з диферен^альними рiвняннями для студенев можна максимально спростити через перенесення акценту на дослщження i з'ясування Тхнього змiст (Сачкова, 2013).
Таю потужн системи комп'ютерноТ математики, як Maple, Mathematica, MATLAB, а також навчальн середовища, як MathCAD, Derive, GRAN, змшюють уявлення про диферен^альы рiвняння, Тх роль та можливост застосувань у науцi та шженернш справi. Цi системи використовуються i для обчислень, i для графiчноТ вiзуалiзацiТ з метою поглибленого розумЫня концепцiй, сутностi задач, трактовки моделей i розв'язмв.
Iнтенсифiкацiя застосування методiв математичного та комп'ютерного моделювання при вивченн всiх базових курсiв математики в техычному унiверситетi з подальшою iнтеграцiею цiльових завдань цих курав з завданнями фундаментальних i прикладних наук дозволяють реалiзувати глибше проникнення шформацмних технологiй в саму суть цих предмет i тим самим ^отно переорiентувати навчальний процес i зробити його ефектившшим.
В ходi побудови математичних i комп'ютерних моделей студенти засвоюють необхщы фундаментальнi знання i вчаться Тх практично застосувати. Слщ звернути увагу на той факт, що побудова математичноТ моделi i ТТ комп'ютерна реалiзацiя виховують стропсть математичного мислення, його культуру i технолопчысть. Цей шлях е найефективншим способом залучення молодi в сучасну науку i шженер^ (Игнатьев, 2010).
Математична модель - це е^валент об'екта, що вщображае в математична формi найважливiшi його властивосп. Трикомпонентна схема (Игнатьев, 2010) математичного моделювання - це «модель ^ алгоритм ^ програма», як необхщний план дiй вивчення об'екта.
На першому emani будуеться математичний образ об'екта, який вщображае в математичнш формi найважливiшi його властивосп, тобто, математична модель.
Далi математична модель дослщжуеться теоретичними методами, ям дозволяють отримати загальнi попереднi знання про об'ект.
На другому emani розробляеться алгоритм для реалiзацií модeлi на комп'ютерк На цьому eTani модель представляеться у формi, зручнiй для застосування чисельних мeтодiв, i визначаеться послщовысть обчислювальних i логiчних операцм для вивчення дослiджувaних властивостей об'екта.
На третьому emani моделювання створюються програми, якi переводять модель i алгоритм на мови програми.
Шсля рeaлiзaцií трьох eтaпiв математичного моделювання дослщник проводить чисeльнi експерименти i вносить нeобхiднi корективи в математичну модель. В результат таких дш модель доводиться до досконaлостi. Вщзначимо, що процес побудови математично)' модeлi вiдобрaжaе процес пiзнaння людиною навколишнього свiту, тому iдeaльно пiдходить для побудови на його основi модeлi iнформaтизaцií математично' освiти.
Серед основних освiтнiх вимог до математично'' модeлi можна видiлити тaкi: и багатопараметричысть, можливiсть грaфiчноí тривимiрноí рeaлiзaцií, штерактивысть, можливiсть побудови aнiмaцiйних (грaфiчних динaмiчних) уявлень. СКМ, в першу чергу Maple, надають унiкaльнi прогрaмнi i грaфiчнi можливостi для рeaлiзaцií цих вимог (Бушкова, 2011).
Унаочнення (вiзуaлiзaцiя) математичних структур вiдiгрaе важливу роль у вищш освiтi, так як засвоення фундаментальних понять е основою для розумЫня процесу математичного моделювання та оволодшня методами комп'ютерного моделювання, що в свою чергу, створюе передумови для Ыновацмного розвитку сучaсноí тeхнiчноí освiти.
Як показано в рядi дослiджeнь (Аладьев, Бойко&Ровба, 2011; Бушкова, 2011; Дьяконов, 2006; Голоскоков, 2004; Корнилов, 2007; Матросов, 2001; Самарский&Михайлов, 2005) та н для рeaлiзaцií третього етапу процесу математичного моделювання щеально пщходять приклады математичы пакети.
Числeннi дослiджeння, провeдeнi рiзними авторами, наприклад, (Игнатьев&Абдулла, 2010; Сачкова, 2013) показують, що серед вщомих систем комп'ютeрноí математики Maple е найбтьш прийнятною для математичного моделювання. Вщзначаеться простота iнтeрфeйсу, а також вщповщысть мови програмування стaндaртнiй математичый мовi. Зокрема, в дослiджeннях, ям присвячeнi порiвняльному aнaлiзу СКМ Maple i Mathematica, вiдзнaчaеться що «Maple, пщтримуючи досить розвинену процедурну мову програмування, найкращим чином вiдповiдaе завданням освiтнього характеру i, зокрема, вдосконаленню викладання мaтeмaтично-орiентовaних дисциплiн для ушверситет (Игнатьев&Мифтахов, 2015).
Однiею iз важливих для системи освти характеристик Maple е чудова ямсть тривимiрноí динaмiчноí грaфiки, а також простi засоби створення авторських бiблiотeк процедур. Вс цi якостi, разом узятi, безсумывно, висувають Maple на лiдируючу позищю в систeмi мaтeмaтичноí освiти.
ОБГОВОРЕННЯ
Будь яке лшмне дифeрeнцiaльнe рiвняння другого порядку з двома незалежними змЫними може бути записане у виглядi
A^ + + c^ + + E^U + FU + G = 0, (1)
dx SxSy 5y 5x dy
де A,B,C,D,E,F,G (1) - функцп змiнних x i y, ям мають нeпeрeрвнi похщы до другого порядку включно. Вважаемо, що A,B i C не перетворюються одночасно в нуль.
Рiвнянню (1) вщповщае квадратична форма
g(x) = AX2 + 2BXY + CY2 (2)
визначник якоí
A B B C
Рiвняння (1) у кожному клас можна звести до нaйпростiшого (кaнонiчного) вигляду (таб. 1) через введення нових незалежних змшних.
А =
= AC - B2 > 0 ^ A * 0 (3)
Таблиця 1
Типи лшшних диференцiальних рiвнянь другого порядку з двома незалежними змшними
Тип рiвняння Канонiчна форма
1. Елттичний ( А = AC - B2 > 0 ) и",+и;+7 H ,и) =0
2. Гiпeрболiчний ( А = AC - B2 < 0 ) 2Bu"(rj+ 7 (¿;,V,U'(,U'v,U) = 0
3. Пaрaболiчний ( А = AC - B2 = 0 ) U„+7 (^Ц;и;;и)=0
Основними етапами зведення до каноычного вигляду лЫйних дифeрeнцiaльних рiвнянь другого порядку в частинних похiдних е:
1) вводимо рiвняння;
2) формуемо матрицю старших коeфiцieнmiв i обчислюемо ii визначник;
3) класиф'куемо тип рiвняння;
4) формуемо характеристичне рiвняння i розв'язуемо його;
5) вводимо нов'1 змiннi i поставляемо ix у дане рiвняння;
6) пкля спрощення записуемо каношчну форму рiвняння.
Перетворення диферен^альних рiвнянь в частинних похщних засобами MAPLE е програмною задачею, яка поеднуе використання Ыструмент пакета з необхщними додатковими алгоритмами: склады i, найчаспше, нeтривiaльнi перетворення промiжних результат (засноваы, наприклад, на дослщжены aсимптотичноí повeдiнки функцiй);
програмне використання додатково' або спещально'' iнформацií (наприклад, використання рекурентних стввщношень для деяких спецiальних функцiй, ям поки недоступнi засобами MAPLE) i т.д. Бiльш того, при виршены складних завдань вимагаеться програмування окремих етатв рiшення з наступним об'еднанням промiжних результатiв, а також створення комплекав програм (наприклад, при комплексному - аналiтичному i чисельному - розв'язуванн рiвнянь i рiзних способах вiзуалiзацií i iнтерпретацií результатiв) (Шевченко, 2016).
Для програмування побудови формального розв'язання на мовi MAPLE необхщно ввести деяку початкову шформа^ю (табл. 2) з подальшим виконанням визначених алгорт^чних операцiй.
Таблиця2
Типи шформацп при зведенш до каношчного вигляду диференщальних рiвнянь в частинних похщних
засобами MAPLE
Тип шформацп Зм^
Основна шформащя Виклик пакетiв розширення
Введення диферен^ального рiвняння в частинних поxiдниx
Виклик рiзниx функцiй i операторiв
Виклик засобiв аналiтичного i числового розв'язку рiвнянь.
Додаткова шформащя Представлення функцп при введены нових змшних
Виконання замiни змшних
Перевизначення сталих, ям за замовчуванням присвоюються пакетом
Введення математично!' шформаци'
Введення i виведення iнформацiï, яка пов'язана з поточним контролем виконуваних операцм (отримання результат для вщомого окремого випадку, контроль шшими засобами).
Введення шформаци' про форму представлення результату.
Введення шформаци' для дослщження промiжниx i кшцевих результатiв.
Робоча iнформацiя Послщовысть виведення одержаних результатiв.
Формати змшних i даних.
Виведення промiжниx результат.
Типи змшних.
Зауважимо, що якщо введення i використання основно'1' шформаци' е добре розробленим алгоритмом для багатьох завдань, що виршуються в MAPLE, то саме програмування, використання додатково'1' i робочо'|' шформацп', iнтерпретацiя промiжних результатiв i ïx подальше використання при розв'язуваннi рiвнянь в частинних похiдних е основною програмною задачею.
Програмнi засоби MAPLE дають можливiсть будувати формальнi ршення в термiнаx i позначеннях вщомих класичних пiдxодiв ( Тихонов&Самарский, 1977; Араманович&Левин, 1964; Арсенин, 1966) до розв'язування таких завдань. Можливо, це i не е необхщним моментом, але може виявитися важливим не ттьки з методично'!' точки зору але i з точки зору апробацп розроблених методiв розв'язування, |'х штерпретацп i застосування (Тихоненко, 2007).
На основi визначених алгори^чних операцш (завдання коефiцiентiв i введення рiвняння, використання засобiв дослiдження, використання засобiв перетворення рiвняння, виведення канонiчноï форми рiвняння) можна сформувати програмнi алгоритми формального зведення диферен^альних рiвнянь до каноычного вигляду. Звичайно, операцп i дм можуть змiнюватися в залежност вiд визначення основного способу зведення.
Подамо функцюнальы алгоритми зведення до каноычного вигляду рiвнянь кожного типу.
Алгоритм 1
Функцюнальний алгоритм зведення до каноычного вигляду рiвняння гiперболiчного ( А < 0 ) типу.
Задаемо коефщiенти рiвняння i саме рiвняння
> a:=A,2*B,C,D,E,F,G;
a := A, 2 B, C,D, E, F, G
> equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2] *diff(u(x,y),x,y)+a[3] *diff(u(x,y),y,y)+ + a [4] *diff(u(x,y),x)+a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;
eqU := A [~Ь-U(X, ^)) + 2 B У^сU(X, У)) + C [df U(X, У)) + D [ÈcU( X, У)) + E [Îy U(x У}) + F U(Хк У} + G = 0
> e q :=lhs(equ);
eq = A [l?U(XУ)) + 2B [lydxU(xУ)) + C [¿yU(xУ)) + D (iXU(xУ)) + E [^U(x'У)) + FU(x' У) + G
Формуемо ма триц ю утэ+f их к у е ф щ iemte i обчислюемо ïï визначник > M:=linalg[m atrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)),coeff(eq,diff(u(x,y, x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);
ГА B!
M :=
B C
> Delta:=(linalg[det](M)); N:=Delta;
Визначаемо тип рiвняння
А := AC - B1 N = AC - B1
> if N>0 then print ("^вняння елштичного типу");
> elif N<0 then print ("^вняння гiперболiчного типу");
> else N=0; print ("^вняння параболiчного типу");
> end if;
Рiвняння гiперболiчного типу Формуемо характеристичне рiвняння i розв'язуемо його
> a[1]*ZA2-a[2]*Z+a[3]=0;
A Z2 - 2 BZ + C = 0
> res1:=solve(a[1] *ZA2-a[2] *Z+a[3]=0,Z);
> res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)=res1[i],y(x)),i=1..2)};
> рпп^Характеристики);
> res2:=subs(y(x)=y,res2);{seq(solve(res2[i],_C1),i=1..nops(res2))}; Вводимо новi змiннi i пiдставляемо Yx у дане рiвняння
> рпп^'Замша змшних');
> itr:={xi=solve(res2[1],_C1), eta=solve(res2[2],_C1)};
> tr:=solve(itr,{x,y});
> print ('Каношчна форма');
> PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;
КононЫна форма
2BU^+ 7 ,U; ,U) =0
Алгоритм 2
Функцюнальний алгоритм зведення до каноычного вигляду рiвняння eлiпmичного( А> 0) типу.
Задаемо коефiцiенти рiвняння i саме рiвняння
> a:=A,2*B,C,D,E,F,G;
a := A, 2 B, C,D, E, F, G
> equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*diff(u(x,y),x,y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+ + a [4] *diff(u(x,y),x)+a[5] *diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;
equ := A ^ u(x, y)j + 2 B [^ u(x, y)j + C [^ u(x, y)j + D [^ u( x, y)j + E [ JC u(x, y)j + F u(x, y) + G = 0
> e q :=lhs(equ);
eq = A [j?u(x, ^j + 2 B (s^xu(x, y)j+C (l^ y)j + D (Jx ^j + E [jy u( x, у + F u(x, у) + G
Формуемо mei триц ю ста+f их к у е ф щ iентiв i обчислюемо Yi визначник
> M:=linalg[m atrix](2,2, [coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)),coeff(eq,diff(u(x,y, x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]
tA в^
M :=
> Delta:=(linalg[det](M)); N:=Delta;
B C
А := AC - B2 N := AC - B2
Визначаемо тип рiвняння
> if N>0 then print ('^вняння елiптичного типу");
> elif N<0 then print ("^вняння гiперболiчного типу");
> else N=0; print ("^вняння параболiчного типу");
> end if;
Рiвняння елiптичного типу Формуемо характеристичне рiвняння i розв'язуемо його
> a[1]*ZA2-a[2]*Z+a[3]=0;
AZ2 - 2 BZ + C = 0
> res1:=solve(a[1] *ZA2-a[2] *Z+a[3]=0,Z);
> res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)=res1[i],y(x)),i=1..2)};
> рпп^Характеристики);
> res2:=subs(y(x)=y,res2);{seq(solve(res2[i],_C1),i=1..nops(res2))}; Вводимо новi змiннi i поставляемо Yx у дане рiвняння
> рпп^'Замша змшних');
> itr:={xi=coeff(%[1],I), eta=%[1]-coeff(%[1],I)*I};
> tr:=solve(itr,{x,y});
> print ('Каношчна форма');
> PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;
КононЫна форма
Ц.+u;,+7 ,U ,U)=0
Алгоритм 3
Функцюнальний алгоритм зведення до каноычного вигляду рiвняння парабол'!чного (A = 0) типу.
Задаемо коефщiенти рiвняння i саме рiвняння
> a:=A,2*B,C,D,E,F,G;
a := A, 2 B, C,D, E, F, G
> equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2] *diff(u(x,y),x,y)+a[3] *diff(u(x,y),y,y)+ + a [4] *diff(u(x,y),x)+a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;
equ := A f£2 u(x, y) j + 2 B [^ u(x, y)j + C f^ u(x, y) j + D [^ u( x, y) j + E u(x, y) j + F u(x, y) + G = 0
> e q :=lhs(equ);
eq = A [I? u(x, У) j + 2 B (s^sx u(x, y)j + C u(x У) j + D [jfx u(x, У) j + E [^ u(x, y ) j + F u(x, y ) + G
Формуемо мс1т^и1( ю ута+f их к у е ф щ iентiв i обчислюемо ТТ визначник
> M:=linalg[m atrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)),coeff(eq,diff(u(x,y, x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2,coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);
^ ГA B] M = A C_
> Delta:=(linalg[det](M)); N:=Delta;
A := AC - B2 N = AC - B2
Визначаемо тип рiвняння
> if N>0 then print ('^вняння елiптичного типу");
> elif N<0 then print ('^вняння гiперболiчного типу");
> else N=0; print ('^вняння параболiчного типу");
> end if;
Рiвняння параболiчного типу Формуемо характеристичне рiвняння i розв'язуемо його
> a[1]*ZA2-a[2]*Z+a[3]=0;
A Z2 - 2 BZ + C = 0
> res1:=solve(a[1] *ZA2-a[2] *Z+a[3]=0,Z);
> subs(y=y(x),res1[1]);res2:=dsolve(diff(y(x),x)=%,y(x));
> рмп^Характеристики); res2:=subs(y(x)=y,res2);> Вводимо новi змiннi i пiдставляемо Тх у дане рiвняння
> рмп^Замша змшних);
> itr:={xi=solve(res2,_C1),eta=y};
> tr:=solve(itr,{x,y});
> print ('Каношчна форма');
> PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;
Конончна форма f ,u; ,U)=0 Наведенi функцюнальы алгоритми е:
наочними;
✓ вщображають всi основнi властивостi дослщжувано' моделi;
✓ iнтерактивнi, тобто, дозволяють користувачевi манiпулювати ними за допомогою зовнiшнiх пристро'в;
✓ багатопараметричними для забезпечення можливост проведення чисельних експериметчв. Зауважимо, що багатопараметричнiсть створюваних комп'ютерних моделей е найважливiшим фактором, який
дозволяе управляти математичною моделлю, тобто, проводити комп'ютерне моделювання.
Створеннi функцюнальы комп'ютернi моделi можуть використовуватись, як викладачами, так i студентами через виклик вiдповiдних бiблiотек в яких мктяться багатопараметричнi команди, що мають простий синтаксис.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Створенi алгоритми зручн i простi в роботi, вони будуть корисними для студентiв нематематичних факульте^в. Вони можуть використовуватись i викладачами для перевiрки робiт студенев, а також для генерування завдань.
Представлений матерiал дозволить поглибити теоретичн знання та на початковому етат навчання в унiверситетi отримати певн навички математичного моделювання, що е необхщним для вивчення спецiальних дисциплш, сприятиме пiдвищенню рiвня пiдготовки майбутых фахiвцiв.
Впровадження СКМ у процес навчання е необхщыстю, що пщтверджуеться дiевiстю таких продуктiв. Подальшого обфунтування потребуе розроблення методичних рекомендацiй щодо використання i складання функцiональних алгори^в для формування i засвоення базових понять вищо' математики в техычних вузах.
Список використаних джерел
1. Аладьев В.З., Бойко В.К., Ровба Е.А. Программирование в пакетах Maple и Mathematica: Сравнительный аспект. Гродно: Изд-во Гродненского госуниверситета, 2011, 518 с.
2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1964.
3. Арсенин В.Я. Математическая физика. Москва: Наука, 1966.
4. Баганов £. О. Методи розрахунюв на ЕОМ: навчальний поабник для студент'!в напряму 090500 «Енергетика». Херсон: ХНТУ, 2008. 270 с.
5. Бушкова В.А. Библиотека программных процедур создания управляемой оснащенной динамической визуализации геодезических линий в СКМ Maple. Вестник ТГГПУ. 2011. №4(26). С. 8-10.
6. Бушкова O. A. Design of the Computer Geometry Resource in «Mathematica» Environment. Open Educartion. 2011. №6, С.18-22
7. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. Питер, 2004. 539 с.
8. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10/11 в математике, физике и образовании. Москва: ДМК Пресс, СОЛОН -ПРЕСС, 2011. 752 с.
9. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. Москва: Солон- Пресс. 2006. 720 с.
10. Игнатьев Ю.Г., Мифтахов Р.Ф. Информационные технологии в математическом образовании: учебное пособие. Казань: Казанский университет, 2015. 264 с.
11. Игнатьев Ю. Г., Абдулла Х. Х. Математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем в системе компьютерной математики Maple. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2010. №2 (14). С. 67 - 77.
12. Корнилов В. С. Modern information and communication technologies in humanitarian studies mathematical models of inverse problems for differential equations. Vestnik PFUR: Informatization of Education. 2007. № 1. С. 64-98.
13. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПБ.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.
14. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. Москва: Физматлит, 2005. 320 с.
15. Сачкова О. А. Динамическая визуализация решения диференциальных уравнений при преподавании высшей математики. URL: https://cyberleninka.ru/article/v/dinamicheskaya-vizualizatsiya-resheniya-differentsialnyh-uravneniy-pri-prepodavanii-vysshey-matematiki (Дата обращения 10.01.2019).
16. Сачкова О. А. Динамические модели дифференциальных уравнений в учебном процессе. Тезисы докладов ХШ международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2012. Вып. 12. С. 47-49.
17. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. - Москва: СОЛОН - Пресс, 2003. 176с.
18. Тихоненко А. В. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в MAPLE. URL: http://elibrary.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/MFTI/2007/046.pdf (Дата обращения 12.01.2019).
19. Тихонов А. Н., Самарский А., А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977.
20. Шевченко А. С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы». Молодой ученый. 2015. №9. С. 1222 - 1225.
21. Шевченко А. С. Использование систем компьютерной алгебры в учебном процессе. Научно-методический электронный журнал «Концепт». 2016. Т. 15. С. 206-210. URL: http://e-koncept.ru/2016/86942.htm (Дата обращения 15.12.2018)
22. Шевченко А. С. Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач. Молодой ученый. 2015. №22. С. 33 - 37.
References
1. Alad'e, V. Z., Bojko, V. K. & Rovba E. A. (2011). Programmirovanie v paketah Maple i Mathematica: Sravnitel'nyj aspekt [Programming in packages Maple and Mathematica: Comparative aspect]. Grodno: Izd-vo Grodnenskogo gosuniversiteta [in Russian].
2. Aramanovich, I. G. & Levin, V. I. (1964). Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moskva: Nauka [in Russian].
3. Arsenin, V. Ja. (1966). Matematicheskaja fizika [Mathematical physics]. Moskva: Nauka [in Russian].
4. Bahanov, Ye. O. (2008). Metody rozrakhunkiv na EOM: navchalnyi posibnyk dlia studentiv napriamu 090500 «Enerhetyka» [Methods of calculations on a computer: a manual for students directly 090500 «Power engineering»]. Kherson: KhNTU [in Ukraine].
5. Bushkova, V. A. (2011). Biblioteka programmnyh procedur sozdanija upravljaemoj osnashhennoj dinamicheskoj vizualizacii geodezicheskih linij v SKM Maple [Library of software procedures for creating a controlled, equipped dynamic visualization of geodetic lines in SCM Maple]. Vestnik TGGPU Nauka - Bulletin of TGGPU,4(26), 8-10 [in Russian].
6. Bushkova, V. A. (2011). Design of the Computer Geometry Resource in «Mathematica» Environment. Open Educartion, 6, 1822.
7. Goloskokov, D. P. (2004). Uravnenija matematicheskoj fiziki. Reshenie zadach v sisteme Maple: uchebnik dlja vuzov [Equations of mathematical physics. Problem solving in the Maple system: a textbook for universities]. Piter [in Russian].
8. D'jakonov, V. P. (2011). Maple 9.5/10/11 v matematike, fizike i obrazovanii [Maple 9.5 / 10/11 in mathematics, physics and education]. Moskva: DMK Press, SOLON -PRESS [in Russian].
9. D'jakonov, V. P. (2006). Maple 9.5/10 v matematike, fizike i obrazovanii [Maple 9.5/10 in mathematics, physics and education]. Moskva: DMK Press, SOLON -PRESS [in Russian].
10. Ignat'ev, Ju. G. & Miftahov, R. F. (2015). Informacionnye tehnologii v matematicheskom obrazovanii: uchebnoe posobie [Information technology in mathematics education: a tutorial]. Kazan': Kazanskij universitet [in Russian].
11. Ignat'ev, Ju. G. & Abdulla, H. H. (2010 ). Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh obobshhenno - mehanicheskih sistem v sisteme kompjuternoj matematiki Maple. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij [Mathematical modeling of nonlinear
generalized - mechanical systems in the system of computer mathematics Maple]. Povolzhskij region. Fiziko-matematicheskie nauki - Volga region. Physics and Mathematics , 2 (14), 67 - 77 [in Russian].
12. Kornilov, V. S. (2007). Modern information and communication technologies in humanitarian studies mathematical models of inverse problems for differential equations. Vestnik PFUR: Informatization of Education, 1, 64-98.
13. Matrosov, A. V. (2001). Maple 6. Reshenie zadach vysshej matematiki i mehaniki [Solving problems of higher mathematics and mechanics]. SPB.: BHV-Peterburg [in Russian].
14. Samarskij, A. A. & Mihajlov, A. P. (2005). Matematicheskoe modelirovanie [Math modeling ]: Idei. Metody. Primery. 2-e izd., ispr. Moskva: Fizmatlit [in Russian].
15. Sachkova, O. A. Dinamicheskaja vizualizacija reshenija diferencial'nyh uravnenij pri prepodavanii vysshej matematiki [Dynamic visualization of solving differential equations when teaching higher mathematics]. Retrieved from https://cyberleninka.ru/article/v/dinamicheskaya-vizualizatsiya-resheniya-differentsialnyh-uravneniy-prirepodavanii-vysshey-matematiki [in Russian].
16. Sachkova, O. A. (2012). Dinamicheskie modeli differencial'nyh uravnenij v uchebnom processe [Dynamic models of differential equations in the educational process]. Tezisy dokladov HIII mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii «Sistemy kompjuternoj matematiki i ih prilozhenija»- Abstracts of the XIII International Scientific Conference "Systems of Computer Mathematics and Their Applications" (pp. 47-49). Smolensk: Izd-vo SmolGU [in Russian].
17. Sdvizhkov, O. A. (2003). Matematika na komp'jutere: Maple 8 [Mathematics on the computer: Maple 8]. Moskva: SOLON -Press [in Russian].
18. Tihonenko, A. V. Reshenie differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh metodom funkcional'nogo programmirovanija v MAPLE [Solving partial differential equations using functional programming in MAPLE]. Retrieved from: http://elibrary.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/MFTI/2007/046.pdf [in Russian].
19. Tihonov, A. N. & Samarskij, A. A. (1977.) Uravnenija matematicheskoj fiziki. Moskva: Nauka [in Russian].
20. Shevchenko A. S. (2015). Ispol'zovanie matematicheskogo paketa Maple pri provedenii laboratornyh rabot po kursu «Chislennye metody» [The use of the mathematical package Maple during laboratory work on the course "Numerical Methods"]. Molodoj uchenyj - Young scientist, 9, 1222 - 1225.
21. Shevchenko, A. S. (2016). Ispol'zovanie sistem kompjuternoj algebry v uchebnom processe [The use of computer algebra systems in the educational process]. Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal «Koncept» - Scientific and methodical electronic journal "Concept", Vol. 15, 206-210 [in Russian]. Retrieved from: http://e-koncept.ru/2016/86942.htm [in Russian].
22. Shevchenko, A. S. (2015). Primenenie matematicheskogo paketa Maple k resheniju variacionnyh zadach [Application of the mathematical package Maple to solving variational problems.]. Molodoj uchenyj - Young scientist, 22, 33 - 37 [in Russian].
MODELING THE MATHEMATICAL PHYSICS PROBLEM IN THE COMPUTER MATHEMATICS SYSTEM MAPLE
M.B. Kovalchuk
Vinnytsia National Technical University, Ukraine
Abstract.
Formulating the problem. Higher mathematics is traditionally considered one of the most difficult subjects in technical universities. It integrates knowledge from courses of algebra, analytic geometry, mathematical analysis of one and several variables, differential equations. Studying the methods of solving and reviewing examples of the application of differential equations is the propedevity of modeling and forecasting. Some computational procedures that accompany this process are complicated and cumbersome, therefore, the use of computer mathematics systems, in particular (SCM) Maple, is a powerful means of universalization and integration of educational and mathematical activities.
Materials and methods of research. The research material is the process of solving differential equations in partial derivatives by means of MAPLE.
The purpose of using observation, analysis and systematization was the accumulation of information on the expediency of use (SCM) Maple in the formation of the concepts of higher mathematics. Maple's Empirical Analysis of Program Procedures (SCM) Maple and the modeling method were used to create and use functional algorithms in the theory of differential equations and visualization of results.
Results. In the article the content of the concept "mathematical model" is analyzed and the scheme of its creation is presented. The main stages of mathematical modeling are distinguished and the sequence of computational and logical operations is determined for studying the investigated properties of the object. The main types of information and program procedures for building a mathematical model through the application of the system of computer mathematics (SCM) Maple are considered. Several functional algorithms for the construction of linear second-order differential equations with two independent variables to the canonical form are proposed by means of Maple.
Conclusions. Summarizing the results of the study it can be argued that the above models allow to deepen theoretical knowledge and at the initial stage of studying at the university, to acquire certain skills of mathematical modeling, which is necessary for the study of special disciplines and help to increase the level of training of future specialists.
Key words: equations of mathematical physics, systems of computer mathematics, functional algorithms, mathematical modeling.
