CC BY
30
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
KopHÍÜ4yK О.Е. Modeni динам'ки у задачах менеджменту лсового та мисливського господарства // Фiзикo-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 1(11). - С. 62-67.
Korniichuk O. Dynamic Models For Solving Problems In The Management Of Forestry And Hunting // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 1(11). - Р. 62-67.
УДК 51-76:630
О.Е. Коршйчук
Житомирський на^ональний агроеколог'чний yнiвeрситeт, Украна
МОДЕЛ1 ДИНАМ1КИ У ЗАДАЧАХ МЕНЕДЖМЕНТУ Л1СОВОГО ТА МИСЛИВСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
Анота^я. Тeoрiя звичайних диферен^альних р'внянь е одним з основних 'тструмент'!в математичного природознавства. Дифeрeнцiальнi рiвняння активно використовуються для побудови найр'1зноман'1тн'1ших моделей -ф'!зичних, економ'!чних, бioлoгiчних, гeoграфiчних, еколог'!чних, гeoлoгiчнихiбагатьохiнших. Томуматематичнаосв'та фах'!вця будь-якоiприродознавчоiспeцiальнoстiнеможе обйтись без введення в курс диферен^альнихр'внянь. Метою вивчення цього курсу е математичне моделювання. Навчання методам розв'язування та огляд приклад'в застосування диферен^альних р'внянь е пропедевтикою моделювання i прогнозування стану довклля, метод/'в оптим'зацП тощо.
У статт'1 подано методичн рекомендацП щодо вивчення реальних математичних моделей на заняттях з вищо'/'математики для студент'в спец'альностi «Л^ове господарство». Розглянуто дифeрeнцiальнiмодел'1 процесу природного руйнування деревостанв, модел'1 експлуатованоi популяцИ та промислового в'дстр'шу. Проведено iх узагальнення з рiвнянням показникового зростання та його розв'язком - експонен^альною функ^ею, з лог'!стичним рiвнянням та моделлю Мальтуса. Побудову розв'язмв р'!внянь - показниковоi та лoгiстичнoi кривих - виконано за допомогою засобу GRAN.
Ключов! слова: диферен^альне рiвняння, математичне моделювання, показникова крива, ло^стична крива, лiсoвe господарство, мисливство.
Постановка проблеми. Вивчення диферен^альних рiвнянь у Kypci вищо''' математики в основному орieнтуeться на формальне розв'язування стандартних титв рiвнянь. При цьому значну частину складають систематичн методи пошуку розв'язку. Студенти концентруються на запам'ятовуванн та застосуванн цих методiв для знайомих титв рiвнянь. Новi вимоги до вищо''' освти вимагають впровадження розвиваючих технологш навчання, перегляду змкту математично''' освти з точки зору '¡i' професшного спрямування.
Там потужн системи комп'ютерно!' алгебри, як Maple, Mathematica, MATLAB, а також навчальн середевища, як MathCAD, Derive, GRAN, змшюють уявлення про диферен^альы рiвняння, !'х роль та можливост застосувань у науц та шженерый справк Нова технолопя мотивуе i дозволяе використовувати як обчислення, так i засоби графiчноí вiзуалiзацN для поглибленого розумЫня концепцш, сутност задач, трактовки моделей i розв'яз^в.
Матерiал, представлений у даних напрацюваннях, дозволить викладачам розширити дiапазон реальних застосувань вищо! математики, а студентам - поглибити теоретичн знання та на початковому етат навчання в уыверситет отримати певн навички математичного моделювання у лковщновлювальый, лкоачнш справ^ у задачах мисливського менеджменту, що е необхщним для вивчення спещальних дисциплш, сприяе пщвищенню рiвня пiдготовки майбутых фахiвuiв, а саме iнженерiв у галузi лiсового господарства, !х конкурентоспроможност на ринку праui.
Аналiз актуальних дослiджень. Питання профеайно oрiентoванoгo тдходу у методичнiй системi навчання вищо! математики, його впровадження у практику профеайно''' пщготовки студенев економiчних та техычних спеuiальностей пiдiймаються у багатьох роботах автора [3-21 та ш.]. Майбутнiм фахiвuям необхiдно мати чпже уявлення про практичнi можливостi використання математичних методiв та комп'ютерних технологш у сферi свое' професiйноí дiяльностi. Такий пiдхiд сприяе iнтегративностi та цЫсносп пiдготовки студентiв, формуванню особистосп, '¡i' моральних якостей, професiйноí компетентности та мобiльностi у прийняттi ефективних ршень, розвитку системно-аналiтичного мислення та креативности у вирiшеннi професiйних завдань.
Мета статп: запропонувати методику доволi раннього вступу до математичного моделювання на заняттях з вищо'' математики за допомогою побудови i дослщження реальних диферен^альних моделей у задачах менеджменту лкового та мисливського господарства.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Виклад основного матерiалу. Для фунтовного аналiзу i планування лiсогосподарськоí та мисливськоТ дiяльностi поряд з традицмними методами, якi базуються на вихщних статистичних даних, ефективним й перспективним напрямом виступае математичне моделювання природних процеав. Лiнiйна статистична модель достатньою мiрою не забезпечуе вимоги лкових екосистем. Побудова i дослiдження нелшмних, динамiчних моделей давно i устшно впроваджуеться у зарубiжнiй практицi ведення господарства - для прогнозування та знаходження оптимальних методiв i стратепй лiсокористування та мисливства.
В окремих випадках математичне моделювання лiсiвничих процеав е едино можливим та оптимальним методом дослщження i управлiння. Динамта лiсового фонду, процеси зростання деревостаыв або íхнього руйнування природним шляхом чи внаслщок антропогенних, зовнiшнiх впливiв, вироблення пiдходiв щодо якiсноí оцЫки i прогнозування життевостi лiсових екосистем у разi дм на них чинниюв живо!' та неживоí природи, а також людськоТ дiяльностi, е типовими прикладами тих питань, коли не можна обмтись без застосування математичних моделей [2].
Шсля конспективного ознайомлення студенев з диференцiальними рiвняннями першого порядку та невеликим охопленням деяких традицшних методiв Тх розв'язання студентам можна запропонувати диференцiальнi модел'1 процесу природного руйнування деревостаыв.
Модель 1: руйнування деревостанв внасл'док бурев'ю. Побудуемо диферен^альну модель впливу бурев^ на дтянку лку. Вiтер, проходячи ^зь л^с, зазнае опору дерев, внаслщок чого втрачае частину своТ швидкостi. На дуже короткому промiжку шляху ця втрачена швидкiсть пропорцшна довжинi цього промiжку й швидкост на початку шляху. Нехай на вщстаж х в^д початку лкових насаджень швидкiсть вiтру становитиме V. Тодi (-dV) - втрачена швидюсть на дiлянцi лiсу dx (процес спадання швидкосп). Вважаючи, що втрачена швидккть (-dV) пропорцiйна dх й V, таку залежнкть можна подати у виглядi диференцiального рiвняння:
-(IV = кУйх,
де к - певний безрозмiрний коефщент.
Знаходимо загальний штеграл цього рiвняння:
= — 1п\У\=кх + С, V = ±е-кх-с = ±е-с • е-кх.
Отже, загальний розв'язок рiвняння:
V = Ве-кх ( В = ±е-с).
Припускаючи, що за початкових умов х = 0, V = V), отримаемо:
V = Ве0, V = V) = В.
Звщси частинний розв'язок:
V V е-кх.
Коефщент пропорцмносп к знайдемо з додатковоТ умови задачГ
Нехай для х = 1м, швидюсть вiтру була VI, тобто VI = V0е-к.
Тодi к = —Ы — i закон змiни швидкостi матиме вигляд: V = У0е1п"°х .
Уо
Унаочнення змiни швидкостi вiтру при V0 = 30 м/с i VI = 29,5 м/с представлено на рисунку 1, який створено у середовиш^ СКД1\11.
Рис. 1. Динам'!ка швидкост'1 в'!тру Зауважимо, що диференщальне рiвняння вигляду у' = ку (або ^ = ку) називають рiвнянням показникового
зростання або математичною моделлю природного приросту.
У = У ое
Розв'язком цього рiвняння е експоненцiальна (показникова) функцiя у = у еь, де Уо - початкова кiлькiсть
1 Ду
об'екту дослщження, к - коефщент приросту i к ~ —, коли вщносний прирiст досить малий (Ду - прирiст за достатньо
малу одиницю часу Д) . Якщо прирiст задано у вщсотках — р% , то к ~ р . При к > 0 кшьмсть збiльшуеться, при к < 0 -
~ 100
зменшуеться.
Криву, рiвняння якоТ у() = а • е називають показниковою кривою. Позначивши Ь = ек, рiвняння цiеí криво!' можна записати як у(') = а • Ь . При Ь >1 у() зростае, а при 0 < Ь < 1 - спадае iз зростанням t (рис. 1). Параметр а характеризуе початковi умови, а параметр Ь - сталий темп зростання.
Рiвняння та кривi такого вигляду описують процеси радюактивного розпаду, зростання чисельност народонаселення, динамту зростання цЫ в умовах iнфляцiï тощо.
Модель 2: природне в'дмирання дерев. Нехай на певый дiлянцi лкового масиву маемо m(t) - середню кiлькiсть дерев у момент часу t i в станах А та В. До стану А зараховуемо дерева здоров^ а до стану В - ослаблi та сильно ослаблГ Очевидно, швидксть змши стану дерев m(t) у час можна задати диференцiальним рiвнянням
dm
— = А — В. dt
Припускаючи, що А = am, В = bm, отримаемо
dm
Ж = т(а-Ы
де a, b - коефщенти росту вщповщно здорових та вщмираючих дерев за одиницю часу.
Вважаючи, що у момент часу t = t0, ктьккть здорових дерев m = m0, маемо показникову модель вигляду:
m(t) = m0e(a-b)(t-to).
З цього розв'язку випливае, якщо а > b i t ^ œ, то кiлькiсть здорових дерев т ^ œ. Якщо ж a < b i t ^ œ, то кiлькiсть здорових дерев m ^ 0, тобто буде вщмирати весь масив.
Тут наведено достатньо просту модель, яка, насправд^ дуже наближено вiдображае дiйснiсть. Практично ус моделi, якi описують реальш явища i процеси, за своею будовою е нелiнiйними.
Модель 3. Розглянемо, наприклад, нелЫшну модель процесу вщмирання дерев у виглядi диференщального
dm ^•-•ea(t-to)
рiвняння — = am — bm2, розв'язок якого mit) =-rb ^ ,„-г подаеться так званою логктичною кривою.
dt m„ea(t-t0> + (^-m0)
За ^ею моделлю при t ^ ~ масив m ^ Природно, що а > b, i така модель може бтьш реально вщображати картину дослiджуваного процесу.
Математичне моделювання рiзних аспектiв функцюнування деревостанiв та лiсових екосистем дае змогу дост^рнше прогнозувати |'х продуктившсть та захист. Пiд час виршення лiсовпорядкувальних задач побудова математичних моделей, у бтьшосп випадкiв, мае наближений характер: дерево, як i будь-яка рослина, е бюлопчним об'ектом. Але ц моделi е необхiдними задля рацюнального ведення лiсового господарства та оптимiзацiï заходiв керування процесом експлуатацп лiсiв.
Елементарний об'ект мисливського господарства - популяци тварин. Управлiння популя^ями - це система взаемопов'язаних заходiв, спрямованих на охорону, вiдтворення i рацюнальне використання ресурсiв тварин i отримання максимуму продукци при мiнiмiзацiï нанесення шкоди навколишньому середовищу i самим популящям. Розглянемо модель популяци, наприклад косуль, для яко!' мае проводитись промисловий вщстрт. Модель 4: модель експлуатованоÏ популяцп. Нехай динамта чисельностi косуль у лiсi за вiдсутностi антропогенного втручання описуеться лог/'стичним р/'внянням:
% = кх(М — х), (1)
dt
де х = x(t) - чисельысть популяци у лiсi в момент часу t. Причому чисельысть вимiрюеться у сотнях, а час у роках.
Знайти залежысть x(t), якщо початкова чисельысть х(0) = 0,8 (соты), к = 2 (к - коефщент, який враховуе показники народжуваност та смертност у межах популяци), гранична чисельысть популяци M = 4 (соты).
Розв'язання. — = 2x(4 - x) ^ dX , = 2dt ^ f_—_= -2[dt ^
dt 4x - x2 J (x - 2)2 - 22 J
x - 4
^ Iln
■2t + Q ^ — = Ce -st, де С = ±e4C'
_-з 9 ¿i
Оскiльки Q(0) = 0,8, то С = 3,2 =-4, тодi i - _ = _4e-8' ^
0,8 Q
Q = — .
Q i + 4e-8'
Графiк отримано!' функци побудовано у GRAN1 (рис. 2).
4
x
Рис. 2. Логктична крива Ця 5-подiбна крива називаеться ло^стичною кривою (або кривою Перла-Pida).
Лог'!стична крива - це график функцп, яка мае вигляд _ m , де a i b - додатнi параметри, m - граничне
1 + be
значення функцп при t ^ +œ. Ця крива мае точку симетрп, що ствпадае з точкою перегину.
Зауважимо, що у рiвняннi (1) значення M iнодi називають потен^альною емшстю еколог'1чно1 системи, припускаючи, що вона дорiвнюе максимальнiй чисельностi популяцй, яку середовище може пiдтримувати тривалий час.
Лопстичы моделi також описують процес розповсюдження рекламних повiдомлень, динамiку епiдемiй, процес розмножування бактерш в обмеженому середовиш^ тощо.
Продовжуючи постановку задачi, припускаемо, що проводиться промисловий вщстрш косуль. За умови, що швидмсть вщстршу постiйна i дорiвнюе h, необхщно записати рiвняння вiдстрiлу та виконати аналiз динамiки популяцй в залежност вiд швидкостi вiдстрiлу.
Отримаемо диферен^альне рiвняння, яке описуе логiстичну популя^ю «з/ збором врожаю»:
— = 2(4 -x)x-h, dt
розв'язуючи яке можна знайти i дати обфунтування обсягу квоти на вщстрт для дано! популяцй'.
Зрозумто, що безмежне нарощування чисельностi, особливо при мiзерних запасах зимового корму, також шмдливе i неприпустиме, як i необмежений видобуток звiрiв. «Основний принцип ведення мисливського господарства -запаси основних видiв повинн доводитися до оптимального рiвня i пiдтримуватися на ньому» [1, с. 228]. Такий пщхщ вимагае невпинно!' працi, наявнiсть реальних статистичних даних, Грунтовы знання та впроваджень методiв математичного моделювання.
Не зайвими та цтавими для розвитку й виховання студенев, а також для пiдвищення мотивацп навчання будуть вiдомостi про те, що лопстична модель була запропонована у 1798 роц вiдомим англшським демографом та економiстом Мальтусом у його класичнш працi «Про закон зростання народонаселення» [3, с. 7]. Томас Роберт Мальтус (1766-1834) звернув увагу на той факт, що чисельысть популяцй' зростае за експонентою (у геометричнш прогреси), у той час, як виробництво продук^в харчування зростае з часом лшшно (у арифметичнш прогреси). Вщповщно до цього вш зробив справедливий висновок про те, що рано чи тзно експонента обов'язково «випередить» лiнiйну функщю i настане голод. На пiдставi цих висновкiв Мальтус говорив про необхщысть введення обмежень на народжуваысть, особливо для найбiднiших верств сусптьства.
Дарвiн, аналiзуючи важливiсть вiдкриття Мальтуса для популяцшно!' динамiки, наголосив: осктьки жодна популяцiя не розмножуеться до нескшченносп, повиннi iснувати чинники, ям перешкоджають такому необмеженому розмножуванню.
Висновки. Демонстра^я широти тематики i застосувань диференщальних рiвнянь спонукае студентiв до самостшно!' роботи, до поглибленого вивчення математичних методiв, до побудови i дослщжень моделей у самих рiзних галузях знань - як природничо-наукових (механта, фiзика, хiмiя, бiологiя), так i гуманггарних (соцiологiя, статистика).
Працюючи за навчальними експрес-планами, iз щорiчним зменшенням до критичного мiнiмуму аудиторних занять з математичних дисциплш, викладачам все ж необхщно ознайомлювати студентiв з тими концептуальними перспективами, ям Ум стануть у нагодi для використання диференщальних рiвнянь у подальшiй професшнш дiяльностi та навчаннi.
Список використаних джерел
1. Данилкин А. А. Косули (биологические основы управления ресурсами) / А. А. Данилкин. - М.: Товарищество научных изданий КМК, 2014. - 316 с.
2. Думанський О. I. Диференцшы моделi у задачах лкового господарства / О. I. Думанський, Ю. М. Дебринюк // Науковi прац Лiсiвничоï академп наук Украши : збiрник наук. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Украши, 2008. - Вип. 6. - С. 170-174.
3. Корншчук О. Е. Етичн аспекти економiчного мислення / О. Е. Корншчук // Актуальнi проблеми економти. - 2005. -№ 6 (48). - С. 3-14.
4. Корншчук О. Е. Математика як складова в розвитку мислення сучасного економкта / О. Е. Корншчук // Педагопка i психолопя. - Кив : Нац. акад пед. наук Украши, 2007. - № 1. - С. 70-78.
5. Корншчук О. Е. СКА1\Нлюстращя та прогнозы обчислення еколого-економiчноï моделi / О. Е. Корншчук // Науковий часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Сер. № 2. Комп'ютерно орiентованi системи навчання. - Ки'|'в : НПУ iм. М. П. Драгоманова, 2007. - Вип. 5 (12). - С. 131-136.
6. Михалш Г. О. Компетентысний пщхщ та треншг в процес навчання вищо!' математики / Г. О. Михалш, О. Е. Корншчук // Вкник Кж'вського iнституту бiзнесу i технологiй. - Ки'|'в : К1Б^, 2007. - № 2. - С. 122-127.
7. Корншчук О. Е. Мотивацшы детермшанти в структурi методично! системи навчання математики для економк^в / О. Е. Корншчук // Теорiя та методика навчання математики, фiзики, iнформатики : зб. наук. пр. - Кривий Р^ : Нацюнальна металургiйна академiя Украши, 2008. - Вип. 7, т. 1. : Теорiя та методика навчання математики. - С. 61-66.
8. Корншчук О. Е. Комп'ютерно орiентована методична система навчання вищо!' математики студенев економiчних спещальностей коледжiв : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук : спец. 13.00.02 «Теорiя та методика навчання (математика)» / О. Е. Корншчук. - Ки!'в : Нацюнальний педагопчний унiверситет iм. М. П. Драгоманова, 2010.
- 21 с.
9. Застосування вищо! математики до розв'язання актуальних питань з проблеми еколопзацп економти / О. Е. Корншчук // Проблеми та перспективи наук в умовах глобалiзацiï : матерiали VI Всеукр. наук. конф., 15 груд. 2010 р. - Тернопть : Терноптьський нац. пед. ун-т iм. В. Гнатюка, 2010. - Ч. I. : Педагопка, психолопя, сусптьствознавство, мовознавство.
- С. 24-30.
10. Корншчук О. Е. Iерархiя особиспсних результат у математичнш освт майбутнiх економiстiв / О. Е. Корншчук // Горизонти освiти. - Севастополь : Севастопольський мкький гумаытарний унiверситет; Унiверситет менеджменту освти Нацiональноï академп педагогiчних наук Украши, 2012. - № 2 (35). - С. 151-156.
11. Корншчук О. Е. Математичний фактор в ^pacrpyKTypi економнноТ теорп / О. Е. Корншчук // Педагогiка та психологiя: минуле, сучасне, майбутне : мaтеpiaли мiжнap. наук.-практ. конф., 24-25 лютого 2012 р. - Одеса: ГО «Швденна фунда^я педагопки», 2012. - С. 46-48.
12. Корншчук О. Система Maple в процеа навчання методам диферен^ального числення / О. Корншчук // 1нформацшы технологи в професшнш дiяльноcтi : мaтеpiaли VI Всеукр. наук.-практ. конф., 28 берез. 2012 р. - Рiвне : Рiвненcький держ. гумаытарний yнiвеpcитет, 2012. - С. 28-30.
13. Корншчук О. Е. Новiтнi методи i прийоми навчання математичного моделювання та дослщження оpгaнiзauiТ виробництва / О. Е. Корншчук // Освта та педагопчна наука. - Луганськ : Луганський нацюнальний педaгогiчний yнiвеpcитет iменi Тараса Шевченка, 2012. - № 3 (152). - С. 54-61.
14. Корншчук О. Е. Особистюний та компетентысний тдходи у фоpмyвaннi математичноТ культури фaхiвuiв економiчного пpофiлю / О. Е. Корншчук // Проблеми гумаызаци навчання та виховання у вищому зaклaдi оcвiти : мaтеpiaли Х lpпiнcьких мiжнap. наук.-пед. читань. - 1рпшь : Нauiонaльний уыверситет державноТ податковоТ служби УкраТни, 2012. - Ч. 2. - С. 168-180.
15. Корншчук О. Мотиващя в cиcтемi навчання математичних дисциплш / О. Корншчук // Витоки педагопчноТ майстерносп. Сер. Педaгогiчнi науки. - Полтава : Полтавський нацюнальний педагопчний уыверситет iм.
B. Г. Короленка, 2012. - Вип. 10. - С. 144-148.
16. Корншчук О. Е. Взaемодiя мiж дисциплшами фундаментальноТ i пpофеciйноТ пiдготовки в процеа вивчення компонент штелектуальноТ системи / О. Е. Корншчук, £. Ю. Тiмченко // Комп'ютер у школi та ciм'Т. - КиТв : 1нститут педaгогiки НauiонaльноТ академп педaгогiчних наук УкраТни; 1нститут шформацшних технологiй i зacобiв навчання НацюнальноТ академп педaгогiчних наук УкраТни, 2012. - № 7 (103). - С. 15-19.
17. Корншчук О. Е. Методи штегрального числення та GRAN-застосування для розв'язування задач економiчного змюту / О. Е. Корншчук // Комп'ютер у школi та ам'Т. - КиТв : 1нститут педагопки НauiонaльноТ академп педaгогiчних наук УкраТни; 1нститут iнфоpмauiйних технологiй i зacобiв навчання НauiонaльноТ академп педагопчних наук УкраТни, 2012. - № 8 (104). - С. 12-16.
18. Корншчук О. Е. Професшно оpiентовaний треншг у фоpмyвaннi математичних компетентностей iнженеpiв еколого-природознавчого напряму / О. Е. Корншчук // Гумаытарний вкник державного вищого навчального закладу «Переяслав-Хмельницький держ. пед. уыверситет iм. Г. Сковороди». Сер. Педагопка. Пcихологiя. Фiлоcофiя. - 2013. -Вип. 28, т. 2. - С. 439-445.
19. Корншчук О. Е. Формування професшного штелекту в процеа моделювання систем штучного штелекту / О. Е. Корншчук // Зб. наук. праць Кам'янець-Подтьського нац. ун-ту iм. I. Опенка. Сер. педадопчна. - Кам'янець-Подiльcький : Кам'янець-Подтьський нauiонaльний yнiвеpcитет iм. 1вана Огiенкa, 2014. - Вип. 20. - С. 90-93.
20. Корншчук О. Е. Пропедевтика математичного моделювання в кура вищоТ математики / О. Е. Корншчук // Сборник научных трудов межд. конференции «Современные инновационные технологии подготовки инженерных кадров для горной промышленности и транспорта 2016». - Днепропетровск, ГВУЗ «Национальный горный университет», 2016. -
C. 431-440.
21. Корншчук О. Е. Вивчення похщноТ разом iз Maple / О. Е. Корншчук // Фiзико-мaтемaтичнa освп^а. - Суми : Сумський держ. пед. уыверситет iм. А. С. Макаренка, 2016. - № 3(9). - С. 61-69.
References
1. Danilkin A. A. Kosuli (biologicheskie osnovy upravlenija resursami) / A. A. Danilkin. - M.: Tovarishhestvo nauchnyh izdanij KMK, 2014. - 316 s. (in Russian)
2. Dumanskyi O. I. Dyferentsiini modeli u zadachakh lisovoho hospodarstva / O. I. Dumanskyi, lu. M. Debryniuk // Naukovi pratsi Lisivnychoi akademii nauk Ukrainy : zbirnyk nauk. prats. - Lviv : RVV NLTU Ukrainy, 2008. - Vyp. 6. - S. 170-174. (in Ukrainian)
3. Korniichuk O. E. Etychni aspekty ekonomichnoho myslennia / O. E. Korniichuk // Aktualni problemy ekonomiky. - 2005. - № 6 (48). - S. 3-14. (in Ukrainian)
4. Korniichuk O. E. Matematyka yak skladova v rozvytku myslennia suchasnoho ekonomista / O. E. Korniichuk // Pedahohika i psykholohiia. - Kyiv : Nats. akad ped. nauk Ukrainy, 2007. - № 1. - S. 70-78. (in Ukrainian)
5. Korniichuk O. E. GRAN-iliustratsiia ta prohnozni obchyslennia ekoloho-ekonomichnoi modeli / O. E. Korniichuk // Naukovyi chasopys NPU im. M. P. Drahomanova. Ser. № 2. Komp'iuterno oriientovani systemy navchannia. - Kyiv : NPU im. M. P. Drahomanova, 2007. - Vyp. 5 (12). - S. 131-136. (in Ukrainian)
6. Mykhalin H. O. Kompetentnisnyi pidkhid ta treninh v protsesi navchannia vyshchoi matematyky / H. O. Mykhalin, O. E. Korniichuk // Visnyk Kyivskoho instytutu biznesu i tekhnolohii. - Kyiv : KIBiT, 2007. - № 2. - S. 122-127. (in Ukrainian)
7. Korniichuk O. E. Motyvatsiini determinanty v strukturi metodychnoi systemy navchannia matematyky dlia ekonomistiv / O. E. Korniichuk // Teoriia ta metodyka navchannia matematyky, fizyky, informatyky : zb. nauk. pr. - Kryvyi Rih : Natsionalna metalurhiina akademiia Ukrainy, 2008. - Vyp. 7, t. 1. : Teoriia ta metodyka navchannia matematyky. - S. 61-66. (in Ukrainian)
8. Korniichuk O. E. Komp'iuterno oriientovana metodychna systema navchannia vyshchoi matematyky studentiv ekonomichnykh spetsialnostei koledzhiv : avtoref. dys. na zdobuttia nauk. stupenia kand. ped. nauk : spets. 13.00.02 «Teoriia ta metodyka navchannia (matematyka)» / O. E. Korniichuk. - Kyiv : Natsionalnyi pedahohichnyi universytet im. M. P. Drahomanova, 2010. - 21 s. (in Ukrainian)
9. Zastosuvannia vyshchoi matematyky do rozv'iazannia aktualnykh pytan z problemy ekolohizatsii ekonomiky / O. E. Korniichuk // Problemy ta perspektyvy nauk v umovakh hlobalizatsii : materialy VI Vseukr. nauk. konf., 15 hrud. 2010 r. - Ternopil : Ternopilskyi nats. ped. un-t im. V. Hnatiuka, 2010. - Ch. I. : Pedahohika, psykholohiia, suspilstvoznavstvo, movoznavstvo. -S. 24-30. (in Ukrainian)
10. Korniichuk O. E. Iierarkhiia osobystisnykh rezultativ u matematychnii osviti maibutnikh ekonomistiv / O. E. Korniichuk // Horyzonty osvity. - Sevastopol : Sevastopolskyi miskyi humanitarnyi universytet; Universytet menedzhmentu osvity Natsionalnoi akademii pedahohichnykh nauk Ukrainy, 2012. - № 2 (35). - S. 151-156.
11. Korniichuk O. E. Matematychnyi faktor v infrastrukturi ekonomichnoi teorii / O. E. Korniichuk // Pedahohika ta psykholohiia: mynule, suchasne, maibutnie : materialy mizhnar. nauk.-prakt. konf., 24-25 liutoho 2012 r. - Odesa: HO «Pivdenna fundatsiia pedahohiky», 2012. - S. 46-48. (in Ukrainian)
12. Korniichuk O. Systema Maple v protsesi navchannia metodam dyferentsialnoho chyslennia / O. Korniichuk // Informatsiini tekhnolohii v profesiinii diialnosti : materialy VI Vseukr. nauk.-prakt. konf., 28 berez. 2012 r. - Rivne : Rivnenskyi derzh. humanitarnyi universytet, 2012. - S. 28-30. (in Ukrainian)
13. Korniichuk O. E. Novitni metody i pryiomy navchannia matematychnoho modeliuvannia ta doslidzhennia orhanizatsii vyrobnytstva / O. E. Korniichuk // Osvita ta pedahohichna nauka. - Luhansk : Luhanskyi natsionalnyi pedahohichnyi universytet imeni Tarasa Shevchenka, 2012. - № 3 (152). - S. 54-61. (in Ukrainian)
14. Korniichuk O. E. Osobystisnyi ta kompetentnisnyi pidkhody u formuvanni matematychnoi kultury fakhivtsiv ekonomichnoho profiliu / O. E. Korniichuk // Problemy humanizatsii navchannia ta vykhovannia u vyshchomu zakladi osvity : materialy Kh Irpinskykh mizhnar. nauk.-ped. chytan. - Irpin : Natsionalnyi universytet derzhavnoi podatkovoi sluzhby Ukrainy, 2012. -Ch. 2. - S. 168-180. (in Ukrainian)
15. Korniichuk O. Motyvatsiia v systemi navchannia matematychnykh dystsyplin / O. Korniichuk // Vytoky pedahohichnoi maisternosti. Ser. Pedahohichni nauky. - Poltava : Poltavskyi natsionalnyi pedahohichnyi universytet im. V. H. Korolenka, 2012. - Vyp. 10. - S. 144-148. (in Ukrainian)
16. Korniichuk O. E. Vzaiemodiia mizh dystsyplinamy fundamentalnoi i profesiinoi pidhotovky v protsesi vyvchennia komponent intelektualnoi systemy / O. E. Korniichuk, le. lu. Timchenko // Komp'iuter u shkoli ta sim'i. - Kyiv : Instytut pedahohiky Natsionalnoi akademii pedahohichnykh nauk Ukrainy; Instytut informatsiinykh tekhnolohii i zasobiv navchannia Natsionalnoi akademii pedahohichnykh nauk Ukrainy, 2012. - № 7 (103). - S. 15-19. (in Ukrainian)
17. Korniichuk O. E. Metody intehralnoho chyslennia ta GRAN-zastosuvannia dlia rozv'iazuvannia zadach ekonomichnoho zmistu / O. E. Korniichuk // Komp'iuter u shkoli ta sim'i. - Kyiv : Instytut pedahohiky Natsionalnoi akademii pedahohichnykh nauk Ukrainy; Instytut informatsiinykh tekhnolohii i zasobiv navchannia Natsionalnoi akademii pedahohichnykh nauk Ukrainy, 2012. - № 8 (104). - S. 12-16. (in Ukrainian)
18. Korniichuk O. E. Profesiino oriientovanyi treninh u formuvanni matematychnykh kompetentnostei inzheneriv ekoloho-pryrodoznavchoho napriamu / O. E. Korniichuk // Humanitarnyi visnyk derzhavnoho vyshchoho navchalnoho zakladu «Pereiaslav-Khmelnytskyi derzh. ped. universytet im. H. Skovorody». Cer. Pedahohika. Psykholohiia. Filosofiia. - 2013. -Vyp. 28, t. 2. - S. 439-445. (in Ukrainian)
19. Korniichuk O. E. Formuvannia profesiinoho intelektu v protsesi modeliuvannia system shtuchnoho intelektu / O. E. Korniichuk // Zb. nauk. prats Kam'ianets-Podilskoho nats. un-tu im. I. Ohiienka. Ser. pedadohichna. - Kam'ianets-Podilskyi : Kam'ianets-Podilskyi natsionalnyi universytet im. Ivana Ohiienka, 2014. - Vyp. 20. - S. 90-93. (in Ukrainian)
20. Korniichuk O. E. Propedevtyka matematychnoho modeliuvannia v kursi vyshchoi matematyky / O. E. Korniichuk // Sbornyk nauchnbikh trudov mezhd. konferentsyy «Sovremennbie ynnovatsyonnbie tekhnolohyy podhotovky ynzhenernbikh kadrov dlia hornoi prombishlennosty y transporta 2016». - Dnepropetrovsk, HVUZ «Natsyonalnbii hornbii unyversytet», 2016. -S. 431-440. (in Ukrainian)
21. Korniichuk O. E. Vyvchennia pokhidnoi razom iz Maple / O. E. Korniichuk // Fizyko-matematychna osvita. - Sumy : Sumskyi derzh. ped. universytet im. A. S. Makarenka, 2016. - № 3(9). - S. 61-69. (in Ukrainian)
DYNAMIC MODELS FOR SOLVING PROBLEMS IN THE MANAGEMENT OF FORESTRY AND HUNTING
Olena Korniichuk
Zhytomyr National Agroecological University, Ukraine Abstract. The theory of ordinary differential equations is one of basic tools of mathematical natural science. Differential equations are widely used to build a variety of models - physical, economic, biological, geographical, ecological, geological and many others. Therefore, mathematical education for a specialist in any natural science activity can not do without an introduction to the course differential equations. Mathematical modeling is the goal of studying this course. The study of methods for solving and overview of applications of differential equations it is propaedeutics in modeling and forecasting of the state of the environment, for optimization methods and the like.
The article presents methodological recommendations for studying real mathematical models during the training of higher mathematics for the students of specialty "Forestry". Differential models are considered for the process of natural destruction of trees, models of the exploited animal population and industrial slaughter. Made by their generalization with the exponential growth equation, its solution, that is an exponential function, with the logistic equation and the Malthus model. Construction of solutions of equations - exponential and logistic curves - done using GRAN.
Key words: differential equations, mathematical modeling, exponential curve, logistic curve, forestry, hunting.
