CC BY
19
= g2(r, с, Рз,Л), tl, t2, t3), Лз(3,(1з)соя[(1/2)(фо + cr"2t3)] + A0(3)(t3)sm[(l/2)(cp0 + cr%)] =
= g3(r, с, рз, hh t,, t2, t3), (9)
Для нахождения двух моментов времени t] и 12 переключения и конечного момента времени t3 = tk можно использовать три любые уравнения системы (9). Одно оставшееся уравнение может быть использовано для проверки правильности найденного решения.
Таким образом, построены алгебраические уравнения (9), позволяющие решать краевую задачу для нахождения моментов двух переключений управления и времени управляемого движения.
Следует отметить, что из соотношений (9) также можно получить условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. I // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 502 - 517.
УДК 539.3
А. А. Барышев, М. И. Брюшко, О. А. Мыльцина
ВИБРАЦИОННЫЙ ИЗГИБ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ СВЯЗНОСТИ ТЕПЛОВОГО И МЕХАНИЧЕСКОГО ПОЛЕЙ
В статье рассматривается вязкоупругая изотропная цилиндрическая оболочка [1], малой толщины И, испытывающая малые деформации под действием распределенной по поверхности у = — /з/2 осесимметричной нагрузки <у(а,?) = <70 собшг.
Принимаем справедливыми гипотезы классической теории изгиба оболочек Киргоффа - Лява и считаем, что способы закрепления концевых сечений и условия теплообмена остаются неизменными во времени.
В этом случае разрешающая система уравнений в гауссовской системе координат, описывающая напряженно-деформированное состояние (НДС), может быть записана в виде = а/Ь, Ь - длина ий- радиус оболочки)
¿И*—*^, у [и тО) —а И М^А
ас, К 1 - атЬт , л
£. -м", -¿к,,«" - ьгк,,^),
1 - атЪт м
" К у = 1
В выражениях (1) введены обозначения: Ьк{0)= Вк ¡[в^ + В^), ¿к (©) = о*/(А2 + Я?)> «г(©)=ВД + 62С2, Ът (©)=+ ¿2С2,
Я* (®) = 7-4- \Ек (©(«'УХ©)^, Сл(©)= Г У Ч (©(а, у), ,
-Л/2 1-У -к/2
, А/2 «е
£>*(©) =----- |у2£*(©(а,у),со)^, ЕХ+1Е2<= /к(©,ш,®)е",Л1
-л/2 о
0 = (т - Т0)/Т5, Т5 = Г0 - Тх; £,, £2 - составляющие комплексного модуля, - безразмерная установившаяся температура саморазогрева цилиндра.
Поскольку система уравнений (1) содержит неизвестную функцию ©(Е,,^), то к ней необходимо добавить уравнение теплопроводности:
к2 а2© ас2 + я дС ]} эс2 +
£2(©)е(^С) = 0,С = у/А, (2)
где функция пропорциональна работе внешних сил. Для определе-
ния максимально возможной температуры предполагается, что вся работа внешних сил переходит в тепло.
Таким образом, система уравнений (1), (2) является замкнутой. Она описывает установившиеся изгибные гармоничес. сие колебания и диссипа-тивный разогрев вязкоупругих изотропных щ линдрических оболочек в классической постановке с учетом связности \ еханических и тепловых полей.
Для численного решения полученных краевых задач применим известный метод установления.
Согласно этому методу введем в рассмотрение следующие системы:
^ = + — = + — + +£2(©)е(С,г). (3)
дг ВС, дС, д^2
Здесь = а сомпоненты 4^,©),
записываются в соответствии с (1).
Во втором уравнении системы (3) заменим — = ——, а к по-
Эг т
лученному уравнению применим метод сплай! 1-коллокаций [2]. Тогда краевые задачи для системы (3) можно записать в виде
= + ^ я,у(о)=о, Н2Г{ 1)=0,
(4)
—^ = В(фп+1+ск,в„,Гп1 аг(-0,5)=0, 02К(-О.5) = О. (5)
вектор-функция, состоящая из составляющих искомой температуры. Компоненты матриц Н1,Н2^\>(?2 записываются в соответствии с условиями закрепления или загружения краев и с условиями теплообмена оболочки с окружающей средой на лицевых поверхностях.
Условие на окончание итерационного процесса примем следующее: шах| (©я+1 - ©„)/©л| < е (е- некоторое малое число).
Решение полученных краевых задач (4), (5) проводилось численно методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [3].
Численные расчеты по описанной методике выполнены для оболочки (Ь = Я = 1 м, И = 0,0.2м) из типичного вязкоупругого материала, физико-механические характеристики которого приведены в работе [4] и имеют
значения: £,(©)= £0а)Р(1 + 0)у, Е2=Е^8, £0=0,21014 Н/м2, |3 = 0,214, у = -3,21, Т\ - -87,2°С, р = 1214 кг/м3, Хд = 0,15 Вт/м-град, у = 0,4, 1ё5 = 0,352, Т0 = -20 °С.
Результаты численных расчетов для жесткозакрепденного контура оболочки приведены на рис. 1, 2, где изображены графики зависимости наибольших значений безразмерной амплитуды прогиба \vjb- и безразмерной температуры 0 от частоты внешнего возбуждения. Кривая / получена при значениях Т0 = -20 °С и <?0 =3000 Н/м2, а кривая 2 показывает соответствующие изменения для случая, когда свойства материала от температуры не зависят (у = 0), при этом для рис. 1 д0 = 200 Н/м2, а для рис. 2
неизвестная
q0 = 3000 Н/м2.
0,004 0,002
СО
160
130
200
240
260
280
300
320
Рис. 1
0,75 -i©
ГТТ ;
0,15 -
0,45 ■
0,3 -
0,6
о
-1(0
320
1 80
200
220
240
260
280
300
Рис. 2
Сравнительный анализ представленных кривых показывает, что учет связности механических и тепловых полей существенно влияет на зависимость амплитуд характеристик НДС и температуры саморазогрева от частоты внешнего возбуждения. Так, при увеличении частоты изменение величин идет по участкам 1-Й, III-IV, а при уменьшении ю - по участкам IV-V, VI-I. Переход из состояний И, V в состояния III, VI соответственно осуществляется скачкообразно.
Следует отметить, что значения амплитуд характеристик НДС, вычисленные в несвязной постановке, значительно выше результатов, полученных в связной задаче, а для значений температуры наблюдается обратное явление.
1. Барышев А. А. Об учете поперечных сдвигов при изгибе тонких вязкоупругих оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 15. С. 3-7.
2. Григоренко Я. М., Крюков И. Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) // Прикл. механика. 1995. Т. 31, № 6. С. 3 - 27.
3. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем однородных линейных дифференциальных уравнений//УМН. 1961. Т. 16,№3. С. 171 - 174.
4. Карнаухов В Г. Связанные задачи термовязкоупругосги. Киев. Наук, думка,
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1982.260 с.
