Нестационарные безмоментные волны в наследственно-упругой цилиндрической оболочке Текст научной статьи по специальности «Физика»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 539.3

II. С. Анофрикова, Е. В. I уреева

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ВОЛНЫ В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

Рассмотрим осесимметричную задачу о действии ударно приложенного нормального усилия на торец наследственно-упругой цилиндрической оболочки, материал которой обладает свойством упругого объемного расширения Здесь основной вклад (по интенсивности напряжений и деформаций) вносит безмоментная составляющая по теории Кирхгофа-Лява Уравнения этой составляющей выводятся из трехмерных уравнений наследственной теории упругости с помощью асимптотического интегрирования и, в случае цилиндрической оболочки, имеют вид

где 'I] - нормальные усилия, и - тангенциальное перемещение, уу - прогиб срединной поверхности оболочки, а - координата вдоль образующей срединной поверхности цилиндра, / - время, Н - радиус срединной поверхности цилиндра, И - полутолщина, Е, V - мгновенные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, р - плотность материала

Рассмотрим случай, когда оператор Г* определяется как интегральный оператор Вольтерра, ядром которого служит дробно-экспоненциальная функция Э_1/2(-р,0 [1], то есть

(1)

Г'ДО = *j3_1/2(-p,t -u)f(t.)di,, (2)

о

где /с, Р параметры материала

Граничные условия на торце а = 0, соответствующие рассматриваемому типу воздействия, возьмем в виде

1\ = 2hl/i (t), w = 0, (3)

где / - амплитуда, //(?) функция Хевисайда. Начальные условия

дм 5w „ г/ = — - w = — = 0 при / = 0. dt dt V

(4)

Перейдем в уравнениях (I), граничных условиях (3) и начальных условиях (4) к безразмерным неременным

К R

и к безразмерным параметрам

к =

'/; =

(5)

(6)

где с3 = J-j- мгновенная скорость двумерной продольной волны

(7)

Ip(i-v')

Также введем безразмерные усилия и перемещения

2Eh т' ,, •

, и = Ни , w = Rw .

В результате система (1) примет вид

ет; аУ

Эх2

з2.

= 0,

w

(l-v)|

д£, о

(8)

71

ч 2 о

>

\

(l-v)^w*-ikVj3_I/2(-l,p*2(x-T,))H'*(T*)A*J = (V71* + Гэ_1/2(-1,р*2(т-х* ))'/;* (т*)А*

1 о

Граничные условия на торце £ = 0 запишутся в виде

х)У=0, (9)

/(1-У2) где / ——.

Начальные условия:

. ди* . ды'

и =-= \м =--= 0прит = 0. (10)

Зт Эт

Применим к решению уравнений (8) интегральное преобразование Лапласа по переменной т. В результате получим следующее уравнение для нахождения изображения перемещения и ' :

-Г— к2и1=0, (11)

<*е

где Х= I— - , , = 1 —гг5-•• = у + --7п-»>

V +52) 5 + р 2 51/2+р

- параметр интегрального преобразования.

Тогда решение для изображения продольного усилия Т*1' с учетом (9) запишется в форме

Т^ъ'-е-*. (12)

л

Оригинал изображения (12) будем искать аналитически, раскладывая его в ряд по отрицательным степеням параметра преобразования, оставляя в степени экспоненты слагаемые с множителями Воспользуем-

ся теоремой запаздывания и формулой обратного перехода [2]

Л^е-'Я^у* Г'2 ¡"е^с (л = 0,1,2,...,/ £0), (13)

5

где 1пег[сг - кратные интегралы вероятностей.

Окончательное решение в оригиналах имеет вид

тГ = /У^

1°еф - - 4Ыс+..

2-у/т - £,

Я(т-$),(14)

где А = к - , В = — [*а{к' 4к'Ь-к'а2\

2 8

С = y^Im** - Р*)(2(Аг* - р*) - /c'a)- 4k'b(2(k* - 2р') - к*а)+ к'2 а3 ],

(1-v + v2) , (1 - 2v)2

а = --2 , b = ^-.

1-v2 4(1-v2)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Работное Ю Н Элементы наследственной механики твердых тел M , 1974

2 Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами M , 1979

УДК 539.3

А. А. Барышев

ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ВИБРАЦИОННОМ ИЗГИБЕ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ

Полная система разрешающих уравнений для определения напря-жённо-деформированного состояния (НДС) и температурного поля вязко-упругой прямоугольной пластины при вибрационном изгибе, учитывающая поперечные сдвиги и инерцию вращения, получена авторами статьи [1]. В этой статье приводятся численные значения максимумов основных характеристик НДС и температуры саморазогрева для различных способов закрепления краев пластины.

Интенсивность нагрузки, распределенной по грани ¿¡ = -1/2, полагается следующая:

g,(^,ri,i)=^0sin7t^sin îiticoscoî (1)

В силу малости толщины пластинки теплообменом через ее края

пренебрегаем, то есть считаем, что края теплоизолированы:

дТ дТ

при £=0, — = 0; при /7=0, 77= 1 — = 0, dÇ дг)

а на лицевых поверхностях выполняются следующие граничные условия: при Ç = Т 1/2 /,^ = ±Г(* = 1,2).

оС,

С помощью методики, основанной на использовании метода сплайн-коллокаций [2, 3], поиск решения двумерной краевой задачи для определе-