Нестационарные изгибные волны в наследственно-упругих цилиндрических оболочках Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шиндяпин Г. Л., Гамаюнова Е. Н. Ан&питическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 193 - 196.

2. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изд. РАН. МГЖ. 1996. № 2. С. 183 - 190.

3. Шиндяпин Г. П. Течения за тройными точками при неклассических условиях нерегулярных взаимодействий ударных волн // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 220 - 224.

4. Ковалев А. Д. Исследование структуры зон взаимодействия ударных волн: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 202 с.

УДК 539.3

Е. В. Гуреева, Н. С. Анофрикова

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИЗГИБНЫЕ ВОЛНЫ В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ

Рассмотрим осесимметричную задачу о действии ударно приложенного изгибающего момента на торец наследственно-упругой цилиндрической оболочки, материал которой обладает свойством упругого объёмного расширения. Здесь основной вклад (по интенсивности напряжений и деформаций) вносит изгибная составляющая по теории Кирхгофа-Лява. Уравнения этой составляющей выводятся из трёхмерных уравнений наследственной теории упругости с помощью асимптотического интегрирования и в случае цилиндрической оболочки имеют вид

Г дЫ д2м> . _2+--2рЛ-т- = 0,

За дГ

дТ{

да

= 0,

2ЕИ{\ - Г* 2ЕИ(\ - Г - £/?3 (1 - Г*)

я

об', да ди да

-Л' =0,

= Т, -

V + -

1-2У

Г Т-,

2>

=Т,

(я* > д IV

1оа )

о = -

V +

(1)

где Tj - нормальные усилия, G, - изгибающие моменты, N - перерезывающее усилие, и — тангенциальное перемещение, w - прогиб срединной поверхности оболочки, а - координата вдоль образующей срединной поверхности цилиндра, t - время, R - радиус срединной поверхности цилиндра, h - полутолщина, Е, v - мгновенные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, р - плотность материала.

Рассмотрим случай, когда оператор Г определяется как интегральный оператор Вольтерра, ядром которого служит дробно-экспоненциальная функция 3_|/2Р>0 то есть

г'/(1)=к]э_и2(- ^t-t.)f{t.)dt., (2)

о

где к, р — параметры материала.

Граничные условия на торце а = 0, соответствующие рассматриваемому типу воздействия, возьмём в виде

G\ =IGH(t), w = 0, (3)

2

где IG = —h 1,1 - амплитуда, H(t) - функция Хевисайда. Начальные условия:

u = — =w = — = 0 при / = 0. (4)

8t dt

Перейдём в уравнениях (1), граничных условиях (3) и начальных условиях (4) к безразмерным переменным и к безразмерным параметрам

т = *•= Ь, р*= Ь, (5)

R R

з V L3

^ ¿Eh иг /-с-п аг* ^ ¿Eh П * п *

Т;=--jT, , N =-jN , G;=-2Gi , u-Ru , w = Rw (6)

где с = —-— - мгновенная скорость двумерной продольной волны. V Р(! -

Введём также безразмерные усилия, моменты и перемещения 2ЕИ . м 2ЕИ „ 2ЕИ2

2 ' ' _ 1 -V 1-У

Применим к решению системы уравнений, записанной в безразмерной форме, интегральное преобразование Лапласа по переменной х. В результате получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка для нахождения изображения прогиба у.'1

п 2\

-^(1-v.)

El

Л

к 1-2v к h

где Е, -1 —гт^-;, v, = v н----r-rz-г, Л =--малый параметр, j

j1/2+p 2 л|/2+р R

- параметр интегрального преобразования.

Решение (7) имеет экспоненциальный вид, определяемый биквадратным характеристическим уравнением. При построении моментного решения, затухающего с удалением от торца ^ = 0, выбираем корни, имеющие отрицательную действительную часть.

Удовлетворяя одному из граничных условий, находим

У V

V1 =Се"гЛ'/4 &т(уМ/А), (8)

где

V Г г

2/гц/7

1 + |-|. (9)

п

Изучим поведение изгибающего момента, изображение которого выражается через изображение прогиба следующим образом:

ь=_д Е 3 1

Учитывая (8) и второе граничное условие, получаем решение для изображения изгибающего момента

С'{ - ехр(~уМ % ) соэСуМ ^ ), (11)

1-у2

в котором величины у и М имеют вид (9), а /с = 1С-----у .

2 ЕИг

Решение в оригиналах будем искать с помощью разложения изображений в ряд по отрицательным степеням лАу , оставляя в показателе степени экспоненты нулевой член разложения: . ,1

= 1*с{-е~^у(со$(лЦ>у)(\ - аСх + а3С3) + в^Т^Х-яС, +а2С{ -а3С,3)) +

+ ~у)(-аС2 + 4а3С{С2) + вт{Лу)(-аС2 + 2а2С]С2 -$

- 4<з3С2С2 )) + (соз(-Лу)(-аС3 + я3(ЗС,С22 + ЗС,2С3)) +

+ 5т(^у)(-аС3 +а2(2С,С3 +С|)-а3(ЗС,С22 + ЗС,2С3)))+ ...}, (12) где а, С], С2, С} - функции, зависящие от параметров /с', Р*, V .

Обращение (12) сводится к отображению следующих типовых выражений, оригиналы которых обозначены в[2],П„с(ул), Оп 5 (у, т):

о у

Б„^ {у, т)Л = зш (Лу).

2

5

185

Выражения для функций с младшими номерами п находятся по таблицам преобразований, а функции со старшими номерами могут быть определены с помощью рекуррентных соотношений, найденных по теореме о дифференцировании изображений.

Окончательно имеем следующее решение для изгибающего момента: G¡ =Ic{Dlc(y,T)(\-aC\+a3Cl)+Dls(y,z)(-aC¡ + а2 С? - а3С3) + + D2c(y,x)(-aC2 + 4а3С2С2) + D2 s(y,i)(-aC2 + 2а2С,С2 - 4а3С2С2) + + D3c(y,x)(-aC3 + а3(ЗС,С22 + ЗС2С3)) + D3s{y,x)(-aC3 + + а2(2С]С3 + С2) - a3 (3C¡C2 + ЗС2С3 )) + ...}.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Работное Ю. И. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1974. 338 с.

2. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego, 1998. 226 p.

УДК 533.6.011:539.5

В. М. Гурьянов, М. В. Антонова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В ФЛЮИДОНАСЫЩЕННЫХ РЕЗЕРВУАРАХ

Введём следующие обозначения: а - тензор напряжений, 8 - тензор малых деформаций, Е - единичный тензор, Р - вектор плотности массовых сил, и - вектор смещений, X, ¡л - константы Ламе, с - плотность среды, х, у, г - декартовы координаты, к - волновое число, п - коэффициент поглощения, а, (г = 0,1,...,А/), Ь ■ (/' = 0,1,...Д) - реологические константы,

со - угловая частота, V - скорость волны в вязкоупругой среде, V, -скорость волны в упругой среде, т, - время релаксации деформации

л 52 52 52

(время запаздывания), т2 - время дисперсии волн, Д = —- Н--- н--— -

дх' ду дг

лапласиан.

Определяющее уравнение для общего случая упруго сжимаемой линейной вязкоупругой среды при условии постоянства температуры запишем следующим образом [1]:

Г 2 2

divuE. (1)

Здесь R - линейный дифференциальный оператор