К анализу результатов аналитического и численного решения задачи нерегулярного отражения ударных волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ulis -!0 ■

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Рис. 1. Зависимость амплитуды перемещения и от частоты

-2-'--1---'----

-20 -10 0 10 20

Рис. 2. Сравнение перемещения и в окрестности резонансной частоты с формой пленарной волны типа Стоунли

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каплунов Ю. Д., Вшьде М. В. Резонансы волн "рэлеевского" типа в упругой полубесконечной полосе // Акуст. журн. 2003. Т. 49, вып. 1. С. 38 - 42.

2. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твёрдых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1993. 144 с.

3. Stoneley R. The elastic waves at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1924. Vol. 106,№ 732. P. 416-429.

УДК 533. 6. 011: 532. 529

Е. Н. Гамаюнова

К АНАЛИЗУ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕРЕГУЛЯРНОГО ОТРАЖЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН

Рассматривается нерегулярное отражение относительно слабой ударной волны (УВ) интенсивности Р,0 = (р, - pQ)/В0 , В0 = р0Сд с углом падения а в газе или газожидкостной среде.

Анализ общей постановки задачи взаимодействия У В [1] сводится к построению во внутренних переменных X, Y (5, Y) решения краевой задачи для компонент скорости ц, v системы уравнений коротких волн (Р^ - давление)

2(^-S)h5+vy+h = 0, |aY=v6) ц = Р(|), (1)

удовлетворяющей fia фронтах УВ 5 = 5 * (Y ) (AS - Маха, qn = 0 ; А В -отражённого, qn = 1 ; ц, = qn; Vj = -qn(v + cxv)) условиям

OX-^^^V-V,, Ц = Р <» = // (2)

и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями линейного и квазиодномерного решения (за отражёнными фронтами), av, т| - параметры подобия задачи.

Для описания течений в области возмущения за фронтами ударных волн используется класс точных параметрических решений (q - параметр) системы ( 1 )

Ц = Фг(^2+Ф|(# + ФоЫ. b = qY2+yi\{q)Y + U{q),

V = уз (<7)Г3 + ф2 {q)Y2 + у, (q)Y + Vo(9), (3)

удовлетворяющий точно условиям (2) на фронтах при q = q* = const (q - <7o — Маха; q = = 1/6 отражённом).

Подставляя (3) в систему уравнений коротких волн (1), получим систему дифференциальных уравнений для определения коэффициентов ((>2 (як Х -У-ЛЯк )< которая после приведения к виду, разрешённому относительно производных, имеет вид (/0 = ф2 + 2q2 - q )

... _4Ф2<?-Ф2 -ЗУз ,„■ _ 2Х|ф2 + - Ф, -2ф2 _Xi9i ~Фо

ф2_ » Ф1- гт . Фо- J7-.

z/o z/o z/o

... _ -2Хо +ХГ +2Фо „., _-2Xig-Xi +ф| .,., _ 2ф2 -ф2с/ + Зу|/3д

Х0= 2/0 ' 2/, ' /Г '

,,, - ЗХ)Ф2 + 3Х|Уз + 6Ф1Ф2 + 4ф2<7 .„, _ - -Х0Ф1 + Х)Фо + Х1Ф1 + 2ф0ф|

, = - 4ХоФ2 - Х1Ф1 + 2Х]Ф2 + 4ф0ф2 + 2ф0<? + 2ф? + 2ylg ' 2/0

Начальные условия для интегрирования (4) получаются непосредственно из подстановки точного решения Заславского (3) в условия динамической совместности (2) на фронтах при q - q* = const : <?2{q*) = 2q*{\-2q*),4l{q*)=2{\-2q*)l]{q*), n(q*)=2Xo(q*)-xl(q*hq*,

ф3 (q*)=-4q*2(l-2q*), ф2 (q *) = -6q * (l - 2q *>¿, (q *), Ф, (<?*) = 2(3? * -l)/,2 (q*)- 4q * l0{q *)+ (4q * -\)q*, Уо(?*)=-2х0(?*Ы4*) + Х?(И + Н2х,(И+ау). (5)

На отражённом фронте AB:

Xi(<7i *)=-29l * Ya-a,, xofei *M/i + 4\ * + a\YA> a\ =V25^ "Mi >

=0,5(^ + //f), c?„=l. (6)

На фронте Маха AS:

X, {я 0 ) = "2^0 ^ + С,, Хо (<?0 ) = + <7о У А ~ С, Ya , с, = (lq„ + A2 )'"''2 / & ,

^ (7)

Исключая \(/з(<?) из (4), получим уравнение для ф2(<у):

Ф2 (ф2 + 2Ч2 - ч)+ Ф22 = (°>5 + 9) Ф2 - Ф2

с решением

Ф2 (<?) = + В\ - 2 Bq -4В2-В; А, В-const. (8)

Подставляя (8) в основную систему уравнений (4) и исключая неизвестные, получим выражения для искомых функций через Xi(<7)>

Хо(<?):

Фз =-1.5-[/0 -Ф2 +(0,5-29)ф2]; ф2 ■-/„ -ф', + х, ■ Ф2 + - 0.5>р, ;

Ф| =-2/о'Фо -Фо +Ф| 'Xi ; Ф] = /о + Xi -2?xi ;

Фо = /о ' Хо + Хо " 0,5х? ; Фо = °>5(2Фо Ф: + Xi + Xi Фо ~ 2Хо Ф| У /о •

Подставляя найденные функции и их производные в (4) (уравнения для \у'2, v[/q), получим 2 уравнения для функций Xi(<?)> Хо(?):

2/о3 ■ х7'- /о2 О Од - 3 - 2 ft) • xl ~ /о { (6? " 1 " 2/0 )/0' - 2/J2 +

+ [10 - 6?(2д - 1)1/0 - 4ф2 - (2q - l)2 } • x'i + [Зф3 + ЗФ2 - 8W2 -

- 2/о Ф2 - 4/о /о' + 3/0(29 - 1) + 2(29 -1 )q - 4(29 - 1 )q2 + 84/0 ] ■ Х| = 0 , 4/о3 "Хо + 2/02(б/J +3-29)хо+2/о[2/0/0" + 2/0'2 + 3/0' + 2ф2 - 2д/0' -

- 2q + 1] • хо ~ 8/02 X, XI - (б/о2 + 8? + 4/0)- X? -

- 2/0(3/о' + 3 - 4?) ■ х, Xi + (2/о2 + 4/о )• х? = 0 • (9)

Анализ решения вблизи фронта Маха показал, что уравнения имеют устранимую особенность /0 = О при q* = -В, В = corwi, которая

исключается введением новой переменной р (р2--S(q + В), 5 = «,gw(9 + 5)).

Для отражённых фронтов введение новой переменной не требуется. При отражениях с г) = 1, когда картина течений симметрична (Х\{я) = Ф1(<?)= Фз(<?)= Фо(?) = 0), задача сводится к интегрированию одного уравнения для Хо (?):

2/о2 ■ Хо + foi^fo + 3 - 2g)xo +

+ [2/0 /о" + 2/J2 + (3 - 2q)fi + 2ф2 -2q +11 ■ Хо = 0. (10)

Решение для Хо{р) строится с помощью метода малого параметра (е «1; е = -1 /А при 0,5 < аЛ < 2,0) или численно.

На рисунке построены поля скоростей У), р(Л\ У) (давлений

Р^1' =ц), а также ударные конфигурации по результатам интегрирования (10) вблизи фронта АБ и (9) вблизи фронта АВ при соответствующих условиях (7), (6) на фронтах ударных волн для случая г) = 1.0, а* = 1.0.

Решение в окрестности точки А системы коротких волн построено с помощью метода, описанного в работе [3], удовлетворяющего неклассическим условиям = ц ~, у+ Ф V-. Результаты расчётов полей давления, полученные указанным методом (рисунок, а), достаточно хорошо соответствуют результатам численных расчётов А.Д. Ковалева (рисунок, б) [4] с использованием адаптирующих криволинейных сеток к фронтам УВ, консервативной монотонной разностной схемы.

а б

Некоторые отличия приведённых данных вызваны расхождением в расчётах базисных констант (порядка 5 - 8%).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шиндяпин Г. Л., Гамаюнова Е. Н. Ан&питическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 193 - 196.

2. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изд. РАН. МГЖ. 1996. № 2. С. 183 - 190.

3. Шиндяпин Г. П. Течения за тройными точками при неклаесических условиях нерегулярных взаимодействий ударных волн // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 220 - 224.

4. Ковалев А. Д. Исследование структуры зон взаимодействия ударных волн: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 202 с.

УДК 539.3

Е. В. Гуреева, Н. С. Анофрикова

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ИЗГИБНЫЕ ВОЛНЫ В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ

Рассмотрим осесимметричную задачу о действии ударно приложенного изгибающего момента на торец наследственно-упругой цилиндрической оболочки, материал которой обладает свойством упругого объёмного расширения. Здесь основной вклад (по интенсивности напряжений и деформаций) вносит изгибная составляющая по теории Кирхгофа-Лява. Уравнения этой составляющей выводятся из трёхмерных уравнений наследственной теории упругости с помощью асимптотического интегрирования и в случае цилиндрической оболочки имеют вид

Г дЫ д2м> . _2+--2рЛ-т- = 0,

За дГ

дТ{

да

= 0,

2ЕИ{\ - Г* 2Еи(\ - Г - £/?3 (1 - Г*)

я

об', да ди да

-Л' =0,

= Т, -

V + -

1-2У

Г Т-,

2>

=Т,

(я* > д IV

1оа )

о = -

V +

(1)