CC BY
13
ХоЫ=Хо(ро) + ||с2|И2/3-^22|^"1/3+с23 1-е2 +...,
_ 4 1/3- 4/3 — с21~~х0 с12+х0 с22 >
Г --1г4/3Р _Г7/3Г 22 ~~ с12 -*0 622>
- _ 9 2-с23 - -->*0С12 ~ 2Х°С22 '
с12 = 256/^Хо ,
с22 = 256р5Хо
Остальные функции <р0(<7)> фД?)» уД«?). М^гС?) решения (2) вычисляются согласно (5), (6) через Х0О7) в явном виде.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин ГЛ. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
2. Кпейнер Б.Г., Шиндяпин ГЛ. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн // Г1ММ. 1970. Т. 34, вып. 6, С. 1150-1158.
3. Заславский И.И. Некоторые частные решения уравнений коротких волн // Г1МТФ. 1962. №1. С. 63-69.
УДК 533.6.011:532.529 Р. М. Шульдяков, Г. П. Шиндяпин
АНАЛИЗ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЙ
ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ ОТРАЖЕНИИ УДАРНЫХ ВОЛН
1. Рассматривается задача нерегулярного отражения ударной волны относительно слабой интенсивности (р10 «1) от жёсткой непроницаемой стенки, наклонённой под углом а к набегающему потоку (рис. 1), которая является одной из актуальных и сложных проблем современной газовой динамики. Используется оригинальная схема течения, допускающая как классическое условие (равенство углов поворота выше и ниже тройных точек), так и неклассическое, когда отбрасывается это условие и Рис. 1 в потоке за тройными точками постулируется разрыв в поперечной составляющей скорости.
Анализ общей постановки задачи согласно методу асимптотических разложений [1] основан на выделении области II значительных градиентов
193
параметров - области коротких волн в окрестности точки взаимодействия ударных волн, области I - линейного решения, области III - квазиодномерного решения.
Постановка задачи отражения УВ сводится к построению во внутренних переменных X,Y (5,У) области II решения краевой задачи для компонент скорости |i,v системы уравнений коротких волн
2(ц-5)ц6 + Уу=ц = 0, Hy=v5> ц=Р(1) = Я(1>, (1)
которое удовлетворяет на фаницах области коротких волн условиям:
- на линии слабого разрыва условиям непрерывности потока;
- на фронтах У В 5 = S'(Y) условиям динамической совместности
^)2=28-(ц + Ц1), + (v-vi) = 0, ц-рЧО. (2)
^ = + у^™ -I1£Цг; (3)
dY dY dY R^)P,r
- асимптотическим условиям сращивания на границе с областью линейного решения и с областью квазиодномерного решения [1], здесь а" параметр подобия задачи.
Решение задачи осложняется нелинейностью системы уравнений коротких волн, неизвестным положением фронта Маха и фронта отражённой волны.
В общем случае постулируется сохранение продольной и разрыв поперечной составляющей скорости в точке взаимодействия
2. Для построения нолей давлений и скоростей используется класс точных частных решений системы уравнений коротких волн, предложенный Б. И. Заславским [2].
Эти решения удовлетворяют точно условиям динамической совместимости на фронтах УВ при q=q"= const (q*=q„ на фронте Маха, ц = ql на фронте отражённой волны) и имеют вид
М=Ф2(<7)У2 + ср1(<7)К + сри(<?), 5 = qY2 +xAlY + Xo{q), v = vt/3(i)K3+v1/2(«?y2+v2(i7)K + Vo(4 (4)
Они позволяют учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры. Подставляя это решение в систему уравнений коротких волн, получим систему девяти уравнений для определения параметров представления решения (/0(<?) = <pz{q) + 2q2 -q):
_4</Ф2-Ф2-Зу1/3. ,„■ _2х1ф2+2<7ф1-ф1-2у2 ■ Х1Ф1 ~Фо . ф2" Wo ' Pl" 2/0 ф0=- 2}о '
..• 4^1-2x1+291. _ ~ 2Хр + X? + 2ф0 ,„• _ 4ф| - 2<?ф2 + 6<7у3 Xl= 2/. ' Х°= 2/0 ' = '
■ _ 3y3Xi - ЗХ1Ф2 + 6Ф1Ф2 + 4<7Ф2 ■ ,„• _ - 2х0Ф1 + Х1Ф0 + Х1Ф2 + 2ф0ф1. W2=- —. Фо —.
. -4ХоФг -Х1Ф1 + 2Х)Ф2 +4ф0ф2 + 2<№о + 2ф2,+ 2^1
-----Wo--(5)
и систему начальных условий на фронтах (qk = 0 на АС, qk = 1 на АВ):
ф2(«?•)= 2q'[l - 2q\ ф,(</')= 2(1 - 2(<?*), Фо(<7*)= 2Xn(q')~xlW\ Фз(<7*)= -2q'\ у2(д*)=-3ф2(<7*)*, (<?*), Vi(<7*)=2(3<7* -l))ciV)-4<?*Xo(.4*)> Vo(<?')=Xil(''/*)-Xi(9*)xo('?")) Х\(я')=-2я'УЛ ~№A-v.A-qk, Xo(<7*)=S,t -я'Ул -Xi^'Va-
Для фронта Маха в силу симметрии течения
Ф1(</) = Х1(<7)=Ф2(<7) = Фо(<7) = 0. ХО(<7О)=&Л + <7ОуА ~CYa.
Значения q' = qa на фронте Маха и q' = 1/6 на фронте отражённой волны находятся из анализа постановки краевой задачи [3].
Анализ системы дифференциальных уравнений (5) показывает [3], что при q = -B система имеет особенность /0(9) = 0, которая устраняется введением новой переменной
p = -Syj\q + B\, q = sp2-B, s = sigrt{q + В). (7)
Последнее замечание касается только фронта Маха. При расчёте полей давлений и скоростей за фронтом отражённой волны используется исходная система (5).
Для построения нолей давлений использовалась программа, реализующая метод Рунге-Кутта IV порядка точности.
На рис.2 приведены полученные поля давлений P(X,Y)= p(X,Y) и скоростей v(X,Y).
Сравнение полученных результатов для полей давлений и скоростей с результатами численного решения [3J и экспериментальными данными [2], показывает их достаточно хорошее соответствие как в вырожденном случае (рис 2, а, Ь), гак и в невырожденном (рис 2, с, d).
av=0.3 av= 0.5 av=1.0 av=1.5
a b cd
Рис. 2
Облает перекрытия (рис. 2, с, d) решений вблизи фронта Маха и фронта отражённой волны требуют дополнительного анализа с помощью локального разложения в окрестности точки взаимодействия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г.П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАИ. Сер. Механика жидкостей и газа. 1996. № 2. С. 183- 190.
2. Заславский Б. И., Сафаров РА. О маховском отражении слабых ударных волн от жёсткой стенки // ПМТФ. 1973. № 5. С. 26 - 33.
3. Шиндяпин Г.П. Численной решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жёсткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. 'Г. 20, №1. С. 249-254.
