CC BY
14
УДК 533. 6. Oil: 532. 529
Г. П. Шиндмпин
ТЕЧЕНИЯ ЗА ТРОЙНЫМИ ТОЧКАМИ ПРИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ УДАРНЫХ ВОЛН
1. Аналитические модели нерегулярных взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах [1] описывают как вырожденные режимы (В, В" с вырождением отражённых ударных волн), так и невырожденные режимы (С, С"), когда отражённые волны ударные. Для невырожденных режимов характерны неклассические условия за тройной точкой А (для частиц, прошедших через падающий AN и отражённый АВ фронты и через фронт Маха ЛЬ'): при равенстве давлений или продольных скоростей =ц имеет место непараллельность потока, характеризуемая углом А5 (рис. 1). Этот разрыв в направлении потока связан с разрывом поперечной составляю-
^ А5
Л3о/2*О3/2(у)
теоретически [2] и подтверждается экспериментальными измерениями [3].
щей скорости v в тройной точке A5s ° = v+ - v , вычисляется
-)J/ l nil I
Рис. 1
Целью настоящей статьи является построение в некоторой малой окрестности тройной точки А (в области ABDESA) аналитического решения системы уравнений коротких волн (ц, v - компоненты скорости; 5, Y - полярные координаты)
2(ц-5)ц5 + vY +ц = 0, Цу = vg, (1) содержащего неклассическую особенность в точке A: Ava =0.
Дтя построения решения (1) используется класс точных параметрических решений Заславского - Гриба [4] (q - параметр)
ц = Ф 2{q)Y2 +<р|(д>)У + ф0(9),
v = v)/3(9)Г3 + y2{q)Y2 + у, (q)y + ч>о(?), (2)
который позволяет точно удовлетворить условиям динамической совместности на фронтах ударных волн [2]: Маха AS при q - q0 = const; отражённом АВ при q = q\ =1/6. В дальнейшем эти два решения вблизи фронтов AS, АВ считаются известными.
2. Идея построения решения с особенностью в точке А состоит в построении семейства кривых АК, характеризуемых параметром qk=qk(5,Y), содержащего фронты Маха (qk = Я о) и отражённый (Яk ~ Ч\ =1/6) и переходе от переменных 5, Y к переменным qk, Y для анализа решений системы уравнений (1) коротких волн. Семейство кривых AK(qk =const), содержащее фронты AS ( qk = q0), АВ (qk =1/6), имеет вид
* Y2-Y2A+(Y-YA)dx' ' l/6-ío
Здесь в общем случае нерегулярных взаимодействий 2-х ударных волн av, г) - параметры подобия задачи [1]. Анализ (3) показывает, что параметр qk имеет особенность при подходе АК к оси О А (для области BAO: 1/6 >qk > —со; для области SAO: q0 <qk <<ю). Эта особенность исключается введением нового параметра
р-_(g0-l/6)-(l-6F(S, У))_
(7 - 6F{8, Y)) ■ (q0 -1 / 6) +1 - 6F(5, Y)' принимающего значение 0 на АВ; 1 - на AS; р = р0 на АО.
Решая (4) относительно F(5, Y), получим
т2р- rn0 та + 1
т0 - q0 -1/6; ml=6q0+m0; т2=6т0+6. (5)
Окончательно семейство кривых АК в плоскости 5, Y получим из (2), (3) в виде
b-&A=k^Y-YA)+[Y2-YX-k,{Y-YA)\F{p), Q<p<\;
2
k,=q0k3; k3 = —; F{P) = -^~ + Po+- (6)
Щ P~Po 6
3. Перейдём в системе уравнений (1) коротких волн от переменных ô, Y к переменным р, Y, используя (4) (М(р, Y) - регулярная, ограниченная функция)
2(^-5)^/78 +vy +vppy + ц = 0; vpP& = \xY+\xppY;
D (P-Pof 1 . (p-p0fM(p.Y) 1
Рб Po(Y + YA-k3) Y~Ya' PY pî{Y + YA-k3)2 Y-Ya Анализ (7) показывает, что вблизи точки А на фронтах AS (р = 1), АВ 1
(р = 0) P8,Pr~0¡ условия
Y-YaJ
, и на фронтах AS, АВ в точке А имеются
Ц„(1,ГЛ = 0, уД1,К4) = 0, цр(0,Г<)=0, ур(0,Г,)=0. (8) В средней части течения при \р- р0\« \, вблизи ОА
имеем согласно (7) для старших членов уравнения
ук+Ц = 0; = 0. (9)
4. Решение для области ОАВ (0 < р < р0) ищем в виде
V(р, Г) = о0 (Г) + а, (У)р, /и(р, У) = Ьа (У) + й, (Г)р. (10)
На фронте АВ (р = 0) имеем согласно (2), (8)
в0(г) = у(1/б,У); ¿>0(Г)=ц(1/6,Г); (11)
ах{УА) = 0; 6,(7^ = 0. (12)
На ОА (р = р0, У = УА) имеем
Чро.^ЛЬ^, ДСРО.^ЬНЛ- (13)
Решения уравнений (9) вида (10), удовлетворяющие условиям (12), имеют вид
Ь|(Г)=— к7)]; = —(14) Ро Ро
Здесь у(1/6, У), ц(1/6, У) известны согласно (2).
5. Решение для области БАО (рп < р < 1) ищем в виде
у(р,у) = сй(у) + ф)р+с1{г)р\ (15)
На фронте &4 (р = 1) имеем согласно (2), (8)
с0{У)+с^У) + с2(У)=у(д0,У), ¿0(г)+£*1(г)=ц(<70,К), (16)
С,(Г,)+ 2с2(Г,)=0, ¿,(Га)=0. (17)
На ОА (р = р0, К = У,) имеем
Со^^ + с.^К+с^У^ро^у^, d0{YA)+dx{YA)p^VíA. (18) Совместный анализ (16) при У = УА, (17), (18) даёт значения ¿0(УА)=цА;Л,(УА) = 0;
Решения уравнений (9) вида (15), удовлетворяющие условиям (19) и условиям (16), позволяют получить выражения
¿о(г)=—— к-РоЖоЛ
Р-Ро Р-Ро
0-Ро) 1~Ро
и-Ро) (1-Ро) (1-Ро)
Здесь у(<70, У), м.(д0, У) известны согласно (2).
-1,1
1.3<
v(X.Y)
■0.20 -0.10
r-Y=VA 1.0\ rY=YA
-0,10 1.4 -0,10
"OjPS 1.407 * i -o.as-^X-X
-0,05 -0,10 1,5_ 1j6_1 -0,05 -0,10
zZZA.b -РЧ.Э
-0,15 -0,20 / i •1 Ц(ХУ) 1 1 --0,15 --0,20
-0.20 -0.10
Рис. 2
6. Анализ решения. Линии равных значений скорости (давления, ц = />('*) v(jr,y)=const; = const (5 = X + 0,5Г2) удобно строить
параметрически, решая совместно (10), (11), (14), (6) и (15), (20), (6). Можно, однако, построить изолинии v, ц явно, выражая р из (6) и подставляя в (10), (15).
На рис 2 (я, б) построены поля скоростей v(X, Y) = const, [i(X,Y) = const при невырожденном нерегулярном отражении (г| = 1) при av = 1,0. Обращает внимание горизонтальное поведение линий вблизи оси Y = Ya . Эта особенность вблизи точки А отмечалась ранее при численном решении задачи. Все линии v(Z,F) = const в диапазоне v^ < v<v+ образуют пучок кривых, выходящих из точки А в нижней области SAO и заканчивающихся на фронте Маха SA. Решение (15), (20) для нижней области SAO при подходе к точке А имеет особенность (р0 < р < 1)
V =
Av
i-Р 1-
Р о
2Av(l - р) " (1-Ро)2 '
(21)
На рис. 3 изображено предельное распределение (21) приведённой скорости v в тройной точке А при подходе по различным кривым семейства АК (р~ const) для невырожденного нерегулярного отражения (т| = 1) при av =1,0. При изменении параметра подобия av (av = /get/e|q2/J0'2 ) в диапазоне 0,5 < av <2,0 [1] величина Pq изменяется в диапазоне ^у>1-/70>0. При av —>0,5 разрыв поперечной скорости исчезает (Av —> 0).
V
f\ a.= 1.0
P J\
0.5
JR, 0.5 Рис. 3
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МГЖ. 1996. №2. С. 183 - 190.
2. Шиндяпин Г. П., Гамаюнова Е. И. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 225 - 229.
3. Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach Reflection of a Weak shock wave // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1994. Vol. 60, № 575. P. 2281 - 2296.
4. Заславский Б. И. Некоторые частные решения уравнений коротких волн // ПМТФ. 1962. № 1. С. 63 - 69.
