Ударно-волновые структуры и потоки при нелинейных взаимодействиях ударных волн Текст научной статьи по специальности «Математика»

//„,.,=<). 11 м. Тогда из (2) найдём, что уменьшение слоя с высоты 0.12 м до 0.11 м произойдёт за время /,мч=0.78 с при этом из (6) получим скорость уна,,=0.77 м/с и перемещение хнач=0.31 м. Используя эти данные как начальные условия, интегрируем систему (6), (7) численно до момента исчезновения слоя. Получаем, что перемещение пятна составит 32.4 м за время 71 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Палубаринова-Кочина ПЛ. Теория движения фунтовых вод. М.: Г'ос.ичд-во тех.-теорет. лит., 1952.

УДК 533.6.011:532.529

Е. Н. Гамаюнова

УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ И ПОТОКИ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ УДАРНЫХ ВОЛН

Проблема аналитического исследования ударно-волновых структур и потоков за ни,ми при различных режимах нерегулярных и регулярных взаимодействий относительно слабых (интенсивности Р10 = {р1 - р0)/В0,

^20 = (Р2 ~ РЬ)/В0, В0 = р0Со) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в 1изе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром Я0(у), вызывает неизменный интерес исследователей.

Анализ общей постановки задачи взаимодействия У В [1] сводится к построению во внутренних переменных X, У (б, У) решения краевой задачи для компонент скорости |д, V системы уравнений коротких волн

2(ц-5)Ц5+Уу+Ц = 0, Цу=У6, ц-Р« «//&>, Я/с0г=1 + РюЯ0(у)5, в = Р^2Л^2(у)У, 5 = Х + ^У2, (1)

со со ио Ро

удовлетворяющей на фронтах УВ (рис. 1) 5 = 5*(У) (А^А2 - Маха, с]п =0; А1В1 - отражённого, qn — \ \ А2В2 - отражённого, = Л ) условиям

Л = ^ (2) по ко ш 20

и асимптотическим условиям сращивания на границах с областями линейного (акустического) и квазиодномерного решения (за отражёнными фронтами). аУ, Г| - параметры подобия задачи.

- —УА, 6аАЛ (О)

\Н'4 X

Рис. I

Для описания течений в области возмущения за фронтами ударных волн используется класс точных параметрических решений (</ - параметр) системы (1)

Ц = Ф 2{яУ2 + Ф| (q)Y + Фо(9), 5 = qY2 + х, (дУ + Хо(<?)

v = M/3(9)y3 +y2{q)Y2 + Vifey + Vofe). (3)

удовлетворяющий точно условиям (2) при q = q* = const (<?* = <7о на фронте Маха; q* - , q* — q2 на отражённых фронтах).

Для построения полей давления и скоростей будем рассматривать условия динамической совместимости (2) на фронтах ударных волн А{А2, А2В2 и решения системы коротких волн, точно удовлетворяющие условиям ударного перехода, предложенные Б. И. Заславским (3). Подставляя (3) в систему уравнений коротких волн, переходя от переменных (5,У) к и приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях У, получим систему дифференциальных уравнений для определения коэффициентов ф2(д* )> которая после приведения к

виду, разрешённому относительно производных, и решения с помощью программы аналитических вычислений "REDUS", имеет вид

, 4ф2дг-ф2 -Зф3 2х1ф2 + 2ф1<?-ф1 -2Ц12 Х1Ф1 Ф{) М71

ф2 = ~ 2fo 'Ф1= 2/о ' Ф°= 2fo 1

v' -2Хо+Х?+2ф0 -2Х1<?~Х1+Ф1 .„. 2ф|-ф2? + 3\|i3g

l0= 'Xl" То ' ( )

, -ЗХ1Ф2+3Х1^з+6Ф1Ф2 +4v(/2g _ -2ХоФ1 + Х|Фо + X1V1 + 2ф(1ф1 Уо = V, "

, _ - 4у.оФ2 - Х1Ф1 + + 4ФоФг + 2ФоЗ + 2Ф? + 2ц/1<? V]= _ •

где /о =ф2 +2<72 -q.

Начальные условия для интегрирования получаются непосредственно из подстановки точного решения Заславского (3) в условия динамической совместности (2) на фронте, предполагая, что фронтам ударных волн соответствуют значения q-q* = const. После преобразований окончательно получим

<р 2{q *)=2q*(l-2q *), ф, {q *) = 2(l - 2 q {q *),

Фо(<7*)=2Хо(</*)-Х?(<Г)-9*.

W3{q*)=-4q*2{l-2q*), v1/2(g*) = -69*(l-29*)x1(9*),

Vo(<7 *) = -bob *Ыч *)+ Xi (? *) + q * foifa *)+ «V )• Анализ решения вблизи фронта Маха показал, что уравнения имеют устранимую особенность /о=0 ПРИ <7* = В - const, которая исключается введением новой переменной р

pz=S{q + B),S = sign{q + B). Для отражённых фронтов введение новой переменной не требуется. На рис. 2, 3 построены поля давлений (плотностей и продольной составляющей скорости) и ударные конфигурации по результатам интегрирования системы (4) при соответствующих условиях (5) на фронтах ударных волн для случаев г| = 0.5, av=l (см. рис.2) и Т1 = 0.5, av = 1.5 (см. рис. 3).

Рис. 2

Т] = 0,5 а" = 1,5 Рис. 3

Картины течений характеризуют области больших градиентов параметров за фронтами УВ, отражают особенности развития ударно-волновых структур.

УДК 519.63:533

М. М. Карташов, В. В. Ридель

СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ МЕТОДА ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК

В настоящее время широко используются численные методы для нахождения решения краевых задач с системами нелинейных уравнений в частных производных. К ним относятся многие задачи математической физики и механики сплошной среды. Необходимость применения численных методов обусловлена нелинейностью систем дифференциальных уравнений, большими градиентами полей, характеризующих решения.

Для решения этих задач можно использовать разные варианты метода взвешенных невязок [1], в том числе: 1) метод конечных разностей; 2) спектральный метод; 3) метод конечных объёмов; 4) метод конечных элементов.

В статье рассматриваются некоторые особенности применения этих методов в случае решения задач обтекания тел конечных размеров и возможный способ обеспечения необходимых для численных методов качеств.

1. Постановка задачи. Пусть имеется определённый в области О (замкнутое подмножество пространства Г}) с границей О и гранич-