Решение задачи о распространении изгибных волн в трансверсально-изотропных составных цилиндрических оболочках Текст научной статьи по специальности «Физика»

На рис. 3 изображены границы следую- о щих областей в плоскос ти (а,е): нерегулярной В,

регулярной А, "

регулярной с ударной волной, «

замыкающей зону разряжения А', при различных газосодержаниях смеси у" в о области С в случаях вырождения преломленной ударной волны, то есть когда у+=0.

у — I о' ■*■ 1 а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1 .Шиндяпин Г.П., Ковалев А Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Саратов, 1990. Ч. 2.

УДК 539.3

Я. А. Парфёнова

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СОСТАВНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ'

Рассматривается задача о распространении изгибных волн, возникающих в составных цилиндрических оболочках при ударном осесиммет-ричном воздействии на торец. Составная оболочка представляет собой конструкцию, состоящую из двух упругих тонкостенных цилиндров различной толщины с общей срединной поверхностью. Второй цилиндр считается полубесконечным (рисунок).

Элементы оболочки выполнены из трансверсально-иЗотропных материалов, причём направление трансверсальной изотропии совпадает с осью конструкции и перпендикулярно торцу, к которому приложена нагрузка.

После попадания фронта падающей волны, порождённой приложением нагрузки на торец, на стык элементов оболочки возникает отражённая волна в первой части конструкции и прошедшая во второй. В

Схема составной цилиндрической оболочки

* Работа выполнена при финансовой поддержке ИчГГЛЙ (грант У8Р 01/1-19).

165

статье для рассматриваемого нестационарного напряжённо-деформированного состояния (НДС) в рамках моментиой составляющей теории Кирхго-фа-Лява поставлена краевая задача и изложен ход её решения.

Для элементов оболочки введём координатные линии а^, где а(,) - длина образующей (здесь и далее /=1,2). Левому торцу конструкции соответствует а^ = 0, стыку её элементов а^ =£ (а(2) =0). Для геометрических и механических параметров приняты следующие обозначения: уМ и у'(0 это _ коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в плоскости изотропии при растяжении в перпендикулярном ей направлении и сокращение в этом направлении при растяжении в плоскости изотропии, и Е'^ - модули Юнга для направлений в плоскости изотропии и направлений, перпендикулярных к ней, р^ — плотности материалов, 2/1(,) -толщина каждой части оболочки, Я - радиус срединной поверхности. Для определенности считаем

Изучим случай, когда падающая на стык волна вызывает отражённую волну, не дошедшую ещё до торца а(1,=0. Введём в рассмотрение безразмерные переменные:

^ =Атт. О

Яг|,2 я

где r\i = /Я - относительные параметры тонкостенности элементов оболочки, с3(,) = р(,)(1 - у(,)у'(<)) . Кроме того, используем безраз-

мерные величины для прогибов углов поворота Ч'*^, изгибающих

моментов

и перерезывающих сил (обозначим их символом *):

»V1

„> 2Е'^2 ,(■) (1)_ 2/Г<'У> |/а .0) ~ 1 _ У(')у'(0 1 ' ^ Л< ' Система разрешающих уравнений для прогибов срединной поверхности элементов оболочки и^ имеет вид

1 э4 •(') „ а2

3

а)2 E(i)(l-v(iK'(i)) где =-£,(0

Ударное воздействие на торец моделируется граничными условиями

„♦(1)=0, ОГ0) = /Я( т(1)) при $«=0. (4)

Здесь / - амплитуда нагрузки, Н(1) - единичная функция Хсвисайда.

На стыке частей оболочки задаётся равенство прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и перерезывающих сил. С учётом связи между прогибом и компонентами НДС [1], граничные условия на стыке имеют вид

,(1) .(2) 9и> _1/2 9и-

И> = IV ----------

яу) " 9^2) '

,2 .0) 2 а2 .(2) дЗ .(Ч 3/2 а3 Л2) д - и 9 и/ 3 » ц ' 9 ^ ш , ... --=- = -----5-, -з~=—--Г- при (5)

Здесь ц = -ттг— малый параметр, 1) = —^-——тг—. Задача решается

Л(1) £"<2)(1-у(1)У'(1))

при начальных условиях покоя.

Безразмерная краевая задача (3) — (5) аналогична задаче о распространении нестационарных изгибных волн в изотропной составной цилиндрической оболочке [2] (отличаются только коэффициенты со(,)"). Поэтому далее изложен лишь ход решения задачи. Решения для падающей, отражённой и прошедшей волн имеют тот же вид, что и соответствующие решения в случае составной оболочки из изотропных материалов, полученные в [2], и здесь не приводятся.

Для того чтобы решить поставленную задачу, использовался метод интегрального преобразования Лапласа по временной переменной. В изображениях но Лапласу система разрешающих уравнений (3) становится системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с постоянными коэффициентами. Решение в изображениях для падающей волны найдено с помощью граничных условий на торце. Удовлетворяя граничным условиям на стыке, при условии малости параметра отношения толщин частей оболочки (ц «1), получаем решения в изображениях для отражённой и прошедшей волн. Следует отметить, что решение для

*(2) 2

изгибающего момента для прошедшей волны С!

=001').

Обращение решений в изображениях выполняется асимптотическими методами. Для начального временного интервала т^ =0(1) оригиналы решений были получены методом разложения изображения в ряд по отрицательным степеням корня квадратного из параметра преобразования. В результате оригиналы решений представляются в виде линейных комбинаций известных функций [1,2] А,,с(>,1')>т(1))> Д^Су}'*,!^),

яя-.дуМ'Л и м^оМ',*®) (у?=у<-;\^), у=1,2).

С ростом времени эти решения становятся неэффективными. Поэтому при т"> » 1 решения строятся как суперпозиции соответствующих статических решений и интегралов Меллина для изображений. Оценка инте-

фалов проводится методом перевала (в качестве большого параметра выбрано т<'>).

Были проведены расчёты для составной оболочки, элементы которой выполнены из фибро-эпоксидного композита: ш2 =0.031, ц=0.1, е=1, D= 1. Они показали, что, как и в случае изотропной составной оболочки, существуют области согласования между полученными асимптотиками решений. Для падающей волны это временной интервал 7.0<т(1)<12.0, для отраженной - 11.0<т(,)<12.0. В этих интервалах асимптотики совпадают с точностью 0.03.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Киссович Л.Ю. Нестационарные задачи в теории упругих тонких оболочек. Саратов, 1986.

2. Малинский ИТ., Парфёнова Я.А. Изгибные волны в составных цилиндрических оболочках // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002. Вып. 14. С. 116 - 122.

УДК 629

Т. В. Пимкина, Ю. Н. Челноков

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Рассматривается задача об оптимальном управлении орбитальным движением космического аппарата (КА) в ньютоновском гравитационном поле. Дзя построения оптимальных управлений и траекторий движения управляемого КА (УКА) используются уравнения движения центра масс КА, записанные во вращающейся системе координат (с.к.), и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала используется интегральный квадратичный функционал качества. Управление (вектор ускорения от тяги реактивного двигателя) полагается ограниченным по модулю. Предложены нелинейные преобразования координат, понижающие размерность краевой задачи оптимизации.

1. Постановка задачи управления. Требуется определить ограниченное по модулю управление р:

0^</>тах <оо, р=\р\, (1)

переводящее КА, движение которого описывается уравнениями [1]

V,=с21г* - Щ ¡г2 + р1, г = у,, с = гр2, (2)

2Х = Хоюп, а^=(гр3/с)11+(с/г2)Тъ, ф* =с*(1 + е*со8ср*)2//?*2, (3)