Задача о действии ударной нагрузки изгибающего типа на торец упругой двухслойной цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00 165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1, Найфэ А. Введение в методы возмущений, М, : Мир, 1984, 535 е,

УДК 539.3

Я. А. Парфенова

ЗАДАЧА О ДЕЙСТВИИ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ ИЗГИБАЮЩЕГО ТИПА НА ТОРЕЦ УПРУГОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Слоистые композиционные материалы находят широкое применение в инженерной практике, так как позволяют создавать конструкции с уникальными прочностными и весовыми характеристиками. Поэтому является актуальным исследование поведения многослойных, в частности двухслойных, упругих тонкостенных оболочек при динамических воздействиях.

Постановка задачи. Рассмотрим полубесконечную двухслойную цилиндрическую оболочку толщины 2Н и радиуса Я. Каждый слой является изотропным, имеет полутолщину Н^, плотноеть р , модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона здесь и да лее г = 1, 2. Со срединной поверхностью оболочки свяжем ортогональную систему координат (а?,а2,аз), причем а1 - расстояние от торца оболочки вдоль образующей, а2 - угол в окружном направлении, а3 - расстояние от срединной поверхности по нормали. Уравнения движения и соотношения, выражающие закон Гука для упругой тонкостенной многослойной оболочки произвольной формы, были получены в работе [1]. Уравнения движения совпадают с соответствующими уравнениями для однослойной цилиндрической оболочки [2, 3]. Соотношения, выражающие закон Гука, получены в форме

Т = р дщ + В (1 дщ + _ г л _ г д^ Т = В да1 + , Я да + я) 1 да? 3 Я2 да2 ,

с = сди 1 + г-(1 дщ + п] \ пд2™ п 1 ^ т

с = гда? + Яд02 + я) - пда? - пЯ2 да|, (1) я, = Вз (4 ди? + ди? ^ - 2Г 1 ^

\Яда2 + да?) 3Яда?да2} (1 ди? ди2\ 1 д 2п)

3 яда2 + да?) 3 Яда?да21

132

где T¿ - продольные усилия, N - перерезывающие силы, G¡ - изгибающие моменты, Sj - сдвиговое усилие, Hij - скручивающий момент, ui -тангенциальные перемещения точек срединной поверхности, w - прогиб. Коэффициенты, входящие в соотношения (1), имеют вид

2 2 2 B — 2 hi Ei B — 2 hi Vi E B — hi E

1 _ tí W' 2 _ i=í~t-w' 3 _

C — 2 g ^P„ C2 — 2 g ^Pi' C3 — g T+EPi,

1 - V2 tí1 - v2 T + V

2 2 2

^ 2 v—> hi Ei ^ ^ 2 x—> hi Vi Е^ ^ 1 x—> hi Ei ^

d1 — 2 5 T"^Qi' D — 2 g T-V"Qi' D — T g ^Qi'

Pi — h - hi, P2 — h2 - h, Qi — h2 + 3h2' i — j.

Считая, что к торцу оболочки приложена ударная нагрузка изгибающего типа, моделируемая единичной функцией ХевисайдаН(t), запишем граничные условия на торце оболочки

Gi — IH(t), w — 0 при ai — 0. (2)

В начальный момент времени оболочка находится в состоянии покоя.

Пусть внешняя нагрузка является осесимметричной, тогда компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) не зависят от угловой координаты а2, и можно получить разрешающее уравнение относительно прогиба

2 (B2C1 - B1C2) д2^ + (в? - B22) w д2^ — 0 (3)

да4 + R (D1B1 - Ci2) да2 + R2 (D1B1 - C¡) + c3 dt2 0 (3)

Введем в рассмотрение безразмерные переменныет и безразмерные компоненты НДС w* и G\ по формулам

а = П^А, г = Щгт, ег = у ■ <4) и, = с = с1—Ё1£1 г, = А

В\п В

Разрешающее уравнение (3) и граничные условия относительно прогиба с учетом (1) и (4) примут вид

д2и)* 2 „ д2и)* ^ /гЧ

Ж + Ж + + = 0' (5)

133

д 2и*

и* = 0, ^о + Ои* = 1\И(т) при £ = 0, (6)

дС 2

гттр О = и В2С1-В1С2 , 2 = Ь °_В1-В2_ и I. = п_В1_ I

где о = и (^1В1-С12р ^ = и я2(БВ,-с2) И 11 = п(С12-^1В1)

Решение задачи. Применим к краевой задаче (5), (6) интегральное преобразование Лапласа по временной переменной т с параметром з.

Запишем задачу в изображениях по Лапласу для прогиба ит

ж++2+^ = 0 (7)

ит = 0, 7-ио + 0ит = — при £ = 0. (8)

2 з

Характеристическое уравнение для обыкновенного дифференциального уравнения (7) имеет две пары комплексно-сопряженных корней. Учитывая условие затухания решения на бесконечности, выбираем корни имеющие отрицательную действительную часть. С учетом граничных условий (8) решение задачи в изображениях (7) примет вид

ит = 11 ехр(—а£) 8ш(0<е), Ст{ = — ехр(—а£) ео8(0^), (9)

20/03 3

где а = ^0 = ^

В работах [2, 3] разработан метод обращения изображений по Лапласу, основанный на первой теореме о разложении в [4]. Применим его для нахождения оригинала изгибающего момента С\. Разложим изображение От в ряд по отрицательным степеням параметра преобразования з и обратим полученный ряд почленно. Сохраняя в разложении слагаемые порядка 0(з-4), получим решение для изгибающего момента в виде

С**(у,т ) = Ii

ЯхЛУ, Т) + у №,С(У, Т) - Д2>в(у, Т)) -

О2у2 ^ (02у ,2у

4 Dзs(y, Т) + - ) (^4>е(у, Т) + АДу, Т)) + (10)

+ (^б>в(у, т) - £6>с(у,Т)) +

+ (О4у2 , 20,202у2 + ,4у2 \ _ ( 1 £

здесь Ощсж - функции-оригиналы (см. [2, 3]) для изображений вида

з(п+1)/2 гар^у^Н^ вт}(уЛ/3) Лп>|с>5|(у,т).

134

Рекуррентная формула для нахождения Dn,c и Dn,s функций получена в [2], там же исследованы их свойства.

Формула (10) это аналитическое решение краевой задачи (5), (6). Полученный результат справедлив для малых значений времени т. Корректность вывода подтверждается тем, что при 6 = 0, когда один из слоев оболочки имеет нулевую толщину, решение (10) совпадает с решением соответствующей задачи для однослойной оболочки (см. [3]).

Численный анализ результатов решения задачи показал, что существенное влияние на поведение изгибающего момента оказывает отношение жесткостей слоев оболочки. Чем оно больше, тем быстрее решение для изгибающего момента стремится к решению соответствующей стационарной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вильде М. В., Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая многослойной тонкой оболочки// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 56-64.

2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1986. -176 с.

3. Kossovich L. Yu., Parfenova Ya. Л-Flexural transient waves in shells of revolution : an asymptotic approach // ZAMP. 2000. № 4. P. 611-628.

4. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и оперционное исчисление. М. : Физматгиз, 1961. -524 с.

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ С ПОМОЩЬЮ ТЯГИ, ОРТОГОНАЛЬНОЙ ВЕКТОРУ СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

С использованием переменных КустиинхеГшо Штмфеля [1, 2] в статье решена задача об оптимальной переориентации орбиты космического аппарата (КА) для трех вариантов условий, наложенных на тягу двигателя аппарата. В первом случае тяга полагается ограниченной (двигатель малой тяги) и вектор тяги ортогонален вектору скорости аппарата. Во втором случае сохраняется лишь условие ограниченности тяги. В третьем случае тяга полагается импульсной (двигатель большой тяги). Для решения задач об оптимальной переориентации орбиты КА использовался принцип максимума Понтрягина.

1. Постановка задачи. Как известно, орбита КА определяется с помощью пяти классических элементов: а - большая полуось эллипса,