Нестационарная динамическая задача для линейно-вязкоупругой цилиндрической оболочки конечной длины Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 63-79 Механика

УДК 539.3

Нестационарная динамическая задача для линейно-вязкоупругой цилиндрической оболочки конечной длины *

А. В. Нетребко, С. Г. Пшеничнов

Аннотация. В рамках теории Тимошенко рассмотрена задача о переходных волновых процессах в линейно-вязкоупругой круговой цилиндрической оболочке конечной длины при динамическом нагружении одного из ее торцов. Для получения решения применяется интегральное преобразование Лапласа по времени. Исследованы свойства решения в изображениях и даны различные формы представления решения в оригиналах. Приведены результаты динамических расчетов для вязкоупругой оболочки конечной длины при конкретных исходных данных.

Ключевые слова: динамика цилиндрических оболочек, вязкоупругие волны, преобразование Лапласа, ядра релаксации.

Изучение переходных волновых процессов в линейно-вязкоупругих оболочках является весьма актуальным, однако известные на сегодня результаты, частично отраженные, например, в работах [1-6], не являются исчерпывающими. Данная работа продолжает тему, затронутую в статье [6], посвященной исследованию нестационарной динамики полубесконечной вязкоупругой цилиндрической оболочки, подверженной осевому внешнему воздействию по торцу, методом интегрального преобразования Лапласа. Здесь рассматривается аналогичная задача для оболочки конечной длины, при этом установленные свойства ее решения в изображениях дают возможность распространить разработанную ранее эффективную методику вычисления оригиналов для случая упругой оболочки [7] на случай оболочки из линейно-вязкоупругого материала.

Постановка задачи

Рассмотрим динамическую задачу для круговой цилиндрической линейно-вязкоупругой оболочки в рамках теории Тимошенко при осевой

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ НШ-2029.2014.8.

симметрии и в отсутствии внешней нагрузки на боковые поверхности. С учетом гипотез теории оболочек [8] и определяющих соотношений линейной вязкоупругости [9] система уравнений динамики в перемещениях примет вид

^ д2и 1 ^ д-м д2и 1 дх2 К 2 дх р дЬ2 '

12^,д2м дф. 1 - ди 1 - д2м

к2((9ХГ2 + дХ) + К 2^ - К23 1м = рдё, (1)

Т д2ф 12к2 Тдм ,, д2ф

31 дХ-2 - "лТО(дХ + ф) = •

Здесь х — координата в осевом направлении; Ь — время; и(х, Ь) — продольное перемещение; м(х, Ь) — прогиб в направлении внутренней нормали к срединной поверхности; ф(х, Ь) — угол поворота нормали; К, Н — радиус срединной поверхности и толщина оболочки; р — плотность материала; к2 — поправочный коэффициент [8]. Операторы 31 и Т задаются выражениями

31 = И2 + 2(5, И2 = Ь(1 - (Ь + 2О)-1Ь),

Ь = В - 2О, О = (о(1 - Т3), В = Во(1 - Ту), 3

где (Ь + 2О)-1 — оператор, обратный к оператору (Ь + 2О), г г

Тэ№ = / Т(Ь - т)Ш(т) йт, Ту£(Ь) = ! Ту(Ь - т)Ш(т) йт, (2)

оо

Оо, Во — мгновенные значения модулей сдвига и объемного сжатия; Ту(Ь), Т3(Ь) — ядра объемной и сдвиговой релаксации материала оболочки. Для нормальных усилий в срединной поверхности оболочки в осевом и окружном направлениях N(х,Ь), N(х,Ь), изгибающего момента Мх(х,Ь) и перерезывающей силы Qx(х,Ь) выполняются соотношения

ди 1 1 ди

N = Н (31 — - К32М), Ку = Н (- К31М + 32 —), (3)

Мх = Н331 дф, Qx = к2Н0(^ + ф). 12 дх дх

Математическая постановка нестационарной задачи динамики для рассматриваемой оболочки конечной длины Ь включает в себя уравнения (1)—(3), а также начальные и граничные условия. Запишем их для случая, когда на первоначально покоящуюся оболочку в некоторый момент начинает

действовать зависящая от времени продольная нагрузка Р (г), равномерно распределенная по одному из торцов, а другой торец жестко заделан (рис. 1).

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка конечной длины Таким образом, начальные условия будем считать нулевыми: u(x, 0) = 0, w(x, 0) = 0, ф(х, 0) = 0,

du (х, 0) = 0, dw (х, 0) = 0, ^ (х, 0) = 0,

а граничные условия на торцах х = 0 и х = L примем следующими (P(t) заданная функция):

(4)

Nx(0,t) = P (t), w(0,t)=0, ф(0^) = 0,

(5)

п(ь,г) = о, т(ь,г) = о, ф(ь,г) = о, (г > о).

В частном случае, когда ядра сдвиговой и объемной релаксации материала оболочки одинаковы: Ту (г) = Т3(г) = Т (г), то есть Ту = Т3 = Т, система (1) принимает вид

( d2u _ vo dw) = 1

( )(дх2 R дх j = c2p dt2 '

/

E0

(1 - T) (l - T)

21 — vo d2w дф vo du w 2 (дх2 + ~дх ) + Едх — R2

P(1 — v02)' 1 2w

= C2 Iti2 '

д2ф х2

12k2 (1 — vo){ dw .

-w~—(жх+ф)

1 д2ф

c2p dt2

а определяющие соотношения (3) записываются в форме

(6)

ЛТ Eoh м du v0 Nx = --2(1 — Т) I ----rw

1 — v0 \дх

,

Ny =

Eoh ~ ( du 1 N

(1 — ТЧVo дх — Rwy

1 — vo2

Mx =

Eoh

12(1 — vo2)

(1 — T)fx, Qx = k2

Eoh 2(1 + Vo

i dw

(1—Г) TS+ф

(7)

Cp —

где сР — скорость распространения продольных упругих волн в оболочке, Ео, щ — мгновенные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона материала оболочки. Заметим, что из условия Ту(Ь) = Т3(Ь) = Т(Ь) следует постоянство коэффициента Пуассона: V({) = щ.

Задача в пространстве изображений

Рассмотрим задачу (1)—(5) в изображениях по Лапласу, отметив звездочкой трансформанты соответствующих функций (в — параметр преобразования). Детали процедуры преобразования с учетом структуры всех операторов изложены в статье [6], здесь же дадим лишь окончательную формулировку задачи с учетом нулевых начальных условий. Она включает в себя систему уравнений относительно изображений п*(х,в), ш*(х,в), ф*(х, в):

й2и* N (в) йш* в2 , . I Е (в)

К 7 -и*, Ср(в) = 1

йх2 Я йх С2(в) ' ' у р(1 - N2(в))'

21 - N (в) й2ш* йф*) N (в) йи* ш* = в2 *

к 2 (й2 + ) + - Я2 = Щв(8)

й2Ф* ,п121 - N (в) 1 гйш* в2 ,,

- 12к¥(йх + ф*) = СЩф*

и граничные условия на торцах х = 0 и х = Ь:

N2 (0,в) = Р*(в), ш* (0,в) = 0, ф* (0, в) = 0, (9)

и*(Ь, в) = 0, ш*(Ь, в) = 0, ф*(Ь, в) = 0, а также определяющие соотношения в изображениях

Е (в)Н (йи* N (в) Л Е (в)Н .йи* 1 Л

ъ = Т-Щ7){ йх я"ш) • = Т-ЩТ) Гв йх - яш) •

Е (в)И,3 йф* _ ;2 Е(в)Н ( йш* ,Л

М* =ЩТ. - N2(в)) -йх- « = к 2(1 + Nв)){ИХ + ф) ' (10)

где

9С*Б* 3В* - 2С*

Е (в) = ^GB^, N (в) =

3В* + С*' у ' 2(3В* + С*)' С*(в)= Со(1 - Т*(в)), В*(в) = Во(1 - Ц(в)), (11)

Т**(в), Т*(в) — изображения ядер Ту, Т3. Для отыскания и*, ш*, ф* из четырех соотношений (10) нужно только первое — для М**(х,в). Заметим, что функции Е(в) и N (в), вообще говоря, не являются изображениями переменных во времени модуля Юнга и коэффициента Пуассона материала оболочки. Если же материал линейно-упругий, то Е (в) = Ео, N (в) = щ, причем уравнения (8) и (10) отличаются от соответствующих уравнений в изображениях для линейно-упругой оболочки только тем, что вместо констант Ео, щ здесь стоят функции Е (в), N (в).

Общее решение системы (8) имеет вид

6 „а А2 - -4

ЕК^ Ап С

Ап ехр(Апх), ш* (х, в) = — ) --—- Ап ехр(Апх),

Ап

п=1 п=1

6 А 2 «2

1 _ N К Ап - О

ф*(х,в) = 12^2— де Е А2 ^2 Ап exP(АnX), (12)

2 п=1 Ап - с2 - 12к -Щ-

где А1(в), А2(в), ..., А6(в) — корни бикубического относительно А уравнения

А«-

1 - N \ в2 1 - N2

+ 1 +

су к2

А4+

/ ,2 1 - N\ в4 ( ,2 1 - N 2 - N2\ в2 ,2 1 - N 1 - N2

(^2 + к2^^) с^ + + ) С2 + 12Л2

р ч 2Н2 К2 ) С2 2Н2 К2

Л 2 в6 ( , 2 1 - N 1 ) в4 , 2 1 - N в2

- с,- (12к^ + к*) С44- 12к2ид С2 = 0 (13)

а коэффициенты Ап(в), п = 1,2,..., 6 определяются из шести граничных условий (9).

Ввиду громоздкости выражений для Ап(в) и Ап(в) их явный вид приводить не будем, однако, установим ряд свойств решения в изображениях (12), (13). Это позволит получить различные формы представления решения в оригиналах, а также распространить разработанную ранее методику вычисления оригиналов для случая упругой оболочки на случай оболочки из линейно-вязкоупругого материала. Для этого наряду с исходной нестационарной задачей (1)-(5) рассмотрим задачу о свободных колебаниях той же самой линейно-вязкоупругой оболочки.

2

к

Задача о свободных колебаниях

Пусть рассматриваемая оболочка в отсутствие внешнего воздействия совершает свободные колебания спустя такое время после их начала, когда характер колебаний уже не зависит от способа их возбуждения. Тогда

согласно подходу [10] в интегралах (2) нижний предел интегрирования можно взять равным -то, и в результате процесс колебаний опишется системой

» д2и 1 » дш д2и 1 дх2 Я 2 дх Р дЬ2 ,

к2с^ дш+дх >+2 ди - яо 1ш=(14)

— д2ф - 12к2_С(дШ + ф) = рд2ф

дх2 Н2 дх дЬ2

с однородными граничными условиями на торцах х = 0 и х = Ь:

N2 (0,Ь) = 0, ш(0,Ь) = 0, ф(0,Ь) = 0,

и(Ь, Ь) = 0, ш(Ь, Ь) = 0, ф(Ь, Ь) = 0 (15)

и определяющими соотношениями

ди 1 ° 1 ° ° ди

N2 = Н (»1 дх - я°2Ш), Щ = Н(- яБ1Ш + Б2 —), (16)

мх = Н2о 1 дх, = к2НС(^ + ф), 12 дх дх

где

Б1 = Б2 + 2С, Б2 = Ь(1 - (Ь + 2С)-1Ь),

-__' —__' 2 —__' —__' —__' —__' —__'

Ь = В - 3С, С = Со(1 - Т3), В = Во(1 - Ту), (17)

Т3№= I т(ь - тЖт) йт = I' Тк)£(г - 3 = У,в.

Представив нетривиальное решение задачи (14)—(17) в виде

и(х,Ь) = и(х,в)езЬ, ш(х,Ь) = Ш(х,в)езЬ, ф(х,Ь) = Ъ(х,в)езЬ, в € С, получим спектральную задачу, включающую в себя систему уравнений

й2и N (в) йШ _ в2 I Е(в)

^ПТ = п2(„\ и, Ср(в) =

йх2 я йх с2(в) 7 ру ; у р(1 - т(в))'

I

1 - N(s) dW + d^ + NM dU_W = W (18)

2 1 dx2 dx} R dx R2 C2(s) 1'

d2Ф ,21 - N(s) 1 ,dW T. s2 T

--12k2-— — (--Ь Ф) = -Ф

dx2 2 h?K dx ' Cp2(s)

и граничные условия

Nx(0,s) = 0, W(0,s)=0, Ф(0, s) = 0,

U(L, s) = 0, W(L, s) = 0, Ф(1, s) = 0 (19)

с учетом определяющих соотношений

E(s)h гdU NMW] N E(s)h [N(s) dU l!

1 - N2(s)[ dx - R W N =1 - N2(s)[N(s) dx - R

~ = Е (в)Н3 дф ~ = к2 Е (в)Ь (т) = 12(1 - ^(в)) dx, ^х = к 2(1 + N (в))( дх + П

где Е (в), N (в) выражаются по формулам (11). Собственное значение в этой задачи определяет частоту и коэффициент затухания свободных колебаний оболочки, при этом заметим, что задача (18)-(20) получается из задачи (8)-(11), если в последней принять Р* (в) = 0.

О свойствах решения в изображениях

Установим связь точек ветвления и полюсов функций и*, ш*, ф* — решения задачи (8)-(11) в изображениях, со спектром задачи (18)-(20). Пусть — множество собственных значений задачи (18)-(20), которое для рассматриваемой оболочки конечной длины является счетным. Обозначим Е^ — объединение множеств точек ветвления функций Т*(в), Т*(в), Р*(в), которое в частном случае может быть пустым.

Утверждение 1. Пусть множество Е^ конечно. Тогда при любом х € [0; Ь] точками ветвления функций и*(х,в), ш*(х,в), ф*(х,в), представляющих собой решение задачи в изображениях (8)-(11), могут быть только элементы Е^.

Доказательство можно провести, используя формулы (12) с учетом опущенных здесь представлений Ап и Ап, что весьма трудоемко. Однако это можно сделать иначе, основываясь на счетности множества Е8. Для утверждения подобного рода, относящегося к классической постановке нестационарной динамической задачи линейной вязкоупругости в случае конечной области распространения возмущений такое доказательство представлено в работе [11]. Приведем аналогичное доказательство для рассматриваемого случая линейно-вязкоупругой оболочки.

Пусть утверждение неверно, то есть существует хо € [0; Ь], такое, что хотя бы одна из функций и*(х,в), ш*(х,в), ф*(х,в) имеет точку ветвления в* € Еы-. Рассмотрим О3* — окрестность точки в*, не содержащую элементы множества Е^ (по условию оно конечно). При обходе вокруг в* по замкнутому контуру, целиком лежащему в О3*, начиная с любой точки в = £ этого контура и заканчивая ею же, соответствующая функция из множества {и*(х0,£), ш*(х0,£), ф*(х0,£)} получит новое значение, отличное от первоначального. Таким образом, при в = £ существуют, по крайней мере, два решения задачи (8)-(11): {и\(х,£), ш*(х,£), ф*(х,£)} и {и2(х,£), ш*(х,£), ф*(х,£)}, различающиеся при х = х0. Обозначим

{и3(х,£), ш*(х,£), ф*(х, £)} =

= {и2(х, £) - и1(х, £), Ш*(х, £) - Ш*(х, £), ф*(х, £) - ф*(х, £)}.

Задача (8)-(11) линейна, причем значения функций Ту(£), Т*(£), Р*(£) при полном обходе по рассматриваемому замкнутому контуру вокруг в* не изменятся, следовательно, {и3(х,£), ш**(х,£) , ф**(х,£)} является решением спектральной задачи (18)-(20). Это решение не является тривиальным, поскольку при х = х0 среди функций и3(х,£), ш*(х, £), ф*(х,£) не все нулевые, поэтому в = £ принадлежит множеству собственных значений задачи (18)-(20). Так как точка в = £ на замкнутом контуре вокруг в* была выбрана произвольно, то получается, что Е имеет мощность континуума. Противоречие доказывает утверждение

Следствие. Если Еы пусто, то у функций и*, ш*, ф* точки ветвления отсутствуют.

Утверждение 2. Пусть вл = 0 является полюсом функций и*(х,в), ш*(х, в), ф*(х, в) и их первой и второй производных по координате х для всех х € [0; Ь] и при этом не является особой точкой Ту (в), Т*(в), Р *(в). Тогда вл — собственное значение задачи (18)-(20).

Доказательство аналогично представленному в работе [11] доказательству похожего утверждения в рамках классической постановки нестационарной динамической задачи линейной вязкоупругости в случае конечной области распространения возмущений.

Следствие. Если для вл = 0 выполнены условия утверждения 2 и при этом хотя бы одно из ядер Т^Ь), Т(Ь) не нулевое, то И.е(вл) < 0.

Заметим, что множества полюсов функций и*(х,в), ш*(х,в), ф*(х,в) могут иметь конечные предельные точки, соответствующие корням уравнений

1 - ТУ(в) = 0, 1 - Т*(в) = 0.

В работе [12] доказано, что эти корни не могут быть правее мнимой оси;

на самой же мнимой оси таким корнем может быть лишь s = 0, причем

только при неограниченной ползучести материала.

Рассмотрим связь исходной задачи (1)—(5) со статической задачей

для линейно-упругой оболочки, заметив, что при рассматриваемых

здесь граничных условиях перемещения оболочки как жесткого целого

исключены. Пусть хотя бы одно из ядер Tv(t), Ts(t) не нулевое, ползучесть

материала ограничена, а внешняя нагрузка такова, что существует предел

lim P(t) = Po. Тогда существуют пределы t^tt

lim u(x, t) = u0(x), lim w(x, t) = w0(x), lim ф(х, t) = ^0(x) t^tt t^tt t^tt

и согласно свойствам Лапласовых трансформант справедливы соотношения lim sP*(s) = P0, lim su*(x, s) = u0(x),

s^o s^0

lim sw*(x, s) = w0(x), lim s^*(x, s) = ^0(x).

Умножая уравнения (8) и граничные условия (9) в изображениях на s и устремляя s к нулю, обнаружим, что u0, w0, ф0 есть решение задачи статики для соответствующей упругой оболочки с длительными модулями Gtt = G* (0), Btt = B*(0). Эта задача включает в себя уравнения

d2u0(x) Vtt dw0(x) = о

dx2 R dx k2 1 - Vtt i d2w0(x) + dfa(x)\ + Vtt du0(x) _ w0(x) = о (21

"tt / и W0\^J + ) \ + "tt иUJ0V"1

2 \ dx2 dx J R dx R2

- 12k2 Ъ (dw0xx)+ ^0(x)) =0

и граничные условия на торцах x = 0 и x = L

Nx (0) = P0, w0 (0) = 0, ^0(0) = 0,

u0(L) = 0, w0(L) = 0, ^(L) = 0 (22)

с учетом соотношения

ЛТ , ч Etth (du0(x) Vtt , .

N0x(x) = T-V^ {- Rw0(x)

)

а также обозначений

9GooB ОО 3B^ — 2G с

=

ЗВоо + Goo ™ 2(3B ОО + Gm)' В частном случае, когда Tv(t) = Ts(t) = T(t), получим

TV(s) = T:(s) = T*(s), E(s) = Eo(l - T*(s)),

N(s) = vo, Cp(s) = cpj 1 - T:(s), тогда система (8) приобретает форму

d2u: v0 dw: s2

*

-u ,

dx2 R dx c2p(1 - T*)

k21 - v0 i d2w* с!ф*\ v0 du* w* = s2 * k 2 V ~dX2 + ~dXj + RIX - R2 = c2(1 - T *) W '

dx2 2 h2 V dx ' Y J ~ c2p(1 - T*)

- 1k1 (W + Г*) = ^r

и отличается от соответствующей системы для линейно-упругой оболочки лишь формальной заменой величины в2 на величину в2/(1 - Т*(в)). Определяющие уравнения (10) получают вид

(du* vo *) Eo(l - T*)h ( du* 1 *)

[ix - rw ), N = 1 - v20 pIx - Rw )

(dw* Л

Ы+r)

r*_ Eo(1 - T*)hi dr , 2 Eo(1 - T*)h ( dw

У 2 v0

Mx = 12(1 - v2) dx ' Qx = k 2(1 + vo) V dx + Г

Построение оригиналов и результаты расчетов

Будем считать, что изображения ядер TV*, T* не имеют особенностей при Re(s) > 0 (что физически обоснованно). При ограниченной ползучести материала и существовании предела lim P(t) = Po можно, учитывая

асимптотику изображений в окрестностях точек накопления полюсов, представить решение в оригиналах либо в виде рядов по вычетам в полюсах изображений (при отсутствии у них точек ветвления)

u(x,t) = u0x) + V^ Res [u*(x,s)est], w(x,t) = w0x) + V^ Res[w*(x,s)est],

0 —' s=sk —' s=sk

k k k k

Mx,t) = ф0x) + J^ Res W(x,s)est], t> 0, (23)

s=sk

либо (как при отсутствии, так и при наличии точек ветвления) в виде

те

1 1 [

и(х^) = - и0(х) +— Кв[и*(х,1ш)егшг^ш, 2 п )

о

оо

1 1 Г

w(x,t) = -wo(x) + - Re[w*(x,iw)eiwt]dw, (24)

2 п J о

о

1 1 г

^(x,t) = -фо(x) + - Re[^*(x, iw)eiut]dw, t > 0,

2 п J

о

причем подынтегральные выражения (24) при ш — 0 особенностей не имеют. Если выражения (23) или (24) записать для случая внешней нагрузки в виде функции Хевисайда: P (t) = PoH (t), то затем с помощью соответствующих сверток с этими выражениями можно построить решения и при других нагрузках P(t), не обязательно имеющих предел при t — то.

Алгоритм поиска оригиналов u, w, ф может быть основан на представлении (23) или (24). Кроме того, из установленных в предыдущем разделе свойств изображений u*, w*, ф* следует, что наличие линейной вязкоупругости не добавляет к этим изображениям новых особых точек в правой комплексной полуплоскости Re(s) > 0 по сравнению со случаем линейной упругости. Таким образом, разработанная ранее [7] для упругой оболочки эффективная методика нахождения оригиналов путем вычисления интеграла Меллина методом Филона [13] применима и для рассматриваемой линейно-вязкоупругой оболочки. С помощью именно этой методики в данной работе были проведены расчеты величин, характеризующих переходный волновой процесс в оболочке, при условии Tv(t) = Ts(t) = T(t) и значении поправочного коэффициента k2 = 0.87.

Введем безразмерные величины t = R, x = R, u(x, t) = ^Rt, w(x, t) = = - ^; N (xt = - NCh-, P(t) = Ph, = R T(t) и представим

некоторые характерные результаты вычислений при следующих исходных данных: h/R = 0.02, L/R = 8, v0 = 1/3. Рис. 2 и 3 относятся к случаю, когда изменение во времени внешней нагрузки имеет вид функции Хевисайда P(t) = H(t). На рис. 2 показана зависимость продольного усилия Nx от координаты x в различные моменты времени t = 8, 16, 64, 1024; на рис. 3 — та же зависимость для прогиба w. Всюду толстая сплошная линия 1 относится к результатам при сингулярном ядре T(t) = Ti(t) = = 0.1e_0'5t(i)_0'2, пунктирная линия 2 (близкая к линии 1 или совпадающая с ней) — к результатам при регулярном ядре T(t) = T2(t) = 0.15e_a75t, а тонкая сплошная линия 3 соответствует результатам при T(t) = 0, то есть

для линейно-упругой оболочки. На всех рисунках черта над безразмерными величинами Ь, х, N2, ш опущена.

Рис. 2. Зависимость продольного усилия от осевой координаты при различных ядрах релаксации. Нагрузка — функция Хевисайда

Всюду линии 1 и 2 близки, поскольку ядро Т2(т) (далее для удобства обозначим т = Ь) найдено в классе двухпараметрических функций

ф(а,в,т)= ае-вт, 0 <а<в

по заданному сингулярному ядру Т 1(т) = 0.1е-°-Ътт-0'2 из трехпараметри-ческого класса

£(А,Ь,р,т) = Ае-Ьт т-А> 0, Ь> 0, ^ < 1, 0 < ц < 0.5,

где Г — гамма-функция, в результате выполнения двух условий: равенства длительных модулей

Рис. 3. Зависимость продольного усилия от осевой координаты при различных ядрах релаксации. Нагрузка — функция Хевисайда

У ae-ßT dT = У A e-bT т-» dr (25)

о о

и минимизации по параметрам а, ß интеграла

о

У [ae-ßT - A e-bTт-^]2dt min, (26)

о

при этом условие 0 < ß < 0.5 (вместо 0 < ß < 1) принято для существования этого интеграла.

Из соотношений (25), (26) получается [14]:

T 2(т) = aoe-ß0 T, где ßo = b(yo - 1), ао = ßo ^¿—^ < ßo, Уо — корень уравнения

у2-^ - 4/у - 4(1 - /л) = 0,

причем для заданного значения / этот корень существует и единственный [14], что позволяет легко найти его численно. В нашем примере заданы величины А = 0.1, Ь = 0.5, / = 0.2, в результате чего получено а0 & 0.15, (30 & 0.75.

Аналогичные результаты для случая, когда функция внешней нагрузки Р(Ь) имеет вид одиночного импульса в форме прямоугольника с высотой, равной 1, и длиной основания, равной 2, представлены на рис. 4, 5. Все прочие исходные данные здесь те же, что и ранее (рис. 2, 3).

Рис. 4. Зависимость продольного усилия от осевой координаты при различных ядрах релаксации. Нагрузка — прямоугольный импульс

Рис. 5. Зависимость прогиба от осевой координаты при различных ядрах релаксации. Нагрузка — прямоугольный импульс

Обсуждение вопроса о том, как изменится переходный волновой процесс в линейно-вязкоупругом теле, если заменить изначально заданное ядро релаксации Т\(Ь) общего вида на другое ядро Т2{Ь) из некоторого выбранного класса функций с помощью двух соотношений типа (25), (26) при сохранении прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий) содержится в статьях [6, 11, 14]. Здесь же продемонстрирована возможность с помощью указанных соотношений найти среди ядер релаксации, состоящих всего из одной экспоненты, те, которые окажут на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругой оболочке практически такое же влияние, что и сингулярные ядра рассмотренного вида.

Список литературы

1. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. механика. 1990. Т. 26. № 2. С. 63-71.

2. Кудайназаров К. Продольный удар по круговой цилиндрической вязкоупругой оболочке // Изв. АН УзССР. Сер. Техн. науки. 1990. № 3. С. 31-37.

3. Егорычев О.А., Поддаева О.И. Продольный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Фундаментальные науки в современном строительстве: сб. докл. III научно-практической и учебно-методической конф. Москва: МГСУ, 2003. С. 20-24.

4. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. 2000. № 2. С. 17-24.

5. Абросимов Н.А., Куликова Н.А. Расчетно-экспериментальный метод идентификации вязкоупругих характеристик композитных материалов в динамически нагруженных оболочках вращения // Механика композитных материалов. 2007. Т. 43. № 4. С. 449-464.

6. Нетребко А.В., Пшеничнов С.Г. Проявление вязкоупругих свойств материала в нестационарных задачах динамики цилиндрических оболочек // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 80-95.

7. Нетребко А.В., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. О решении уравнений динамики цилиндрических оболочек методом интегральных преобразований // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 147-157.

8. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

10. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

11. Пшеничнов С.Г. Нестационарные динамические задачи линейной вязкоупру-гости // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 1. С. 84-96.

12. Пшеничнов С.Г. К вопросу об исследовании нестационарных процессов в линейно-вязкоупругих телах при переменном коэффициенте Пуассона // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С.116-126.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

14. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Об условиях эквивалентности для наследственных ядер в нестационарных задачах линейной вязкоупругости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 2. С. 177-189.

Нетребко Алексей Васильевич (alexnetrebko@rambler.ru), д.ф.-м.н., вед. научн. сотр., Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Пшеничнов Сергей Геннадиевич (serp56@yandex.ru), д.ф.-м.н., вед. научн. сотр., Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Nonstationary dynamic problem for visco-elastic cylindrical

finite length shell

A.V. Netrebko, S.G. Pshenichnov

Abstract. The problem describes the wave transient processes in linearly visco-elastic circular cylindrical finite length shell under loading of its end is considered within the bounds of Timoshenko theory. Integral Laplace transformation is used for solution obtaining. The transform solution properties are researched and the different forms of original are represented. The results of dynamic calculation for linearly visco-elastic finite length shell under concrete data are demonstrated.

Keywords: dynamics of cylindrical shells, visco-elastic waves, Laplace transformation, relaxation kernels.

Netrebko Alexei (alexnetrebko@rambler.ru), doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher, Institute of Mechanics of Moscow State University.

Pshenichnov Sergey (serp56@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher, Institute of Mechanics of Moscow State University.

Поступила 04-10-2014