CC BY
48
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
1
УДК 539.374
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В ВЯЗКОУПРУГОМ ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Курбанов Наби Тапдыг оглы
к.ф.-м.н., доц., зав. кафедрой «Общая математика»
Вусала Назим кызы Юсифли соискатель
Сумгаитский государственный университет, Азербайджан
В данной работе исследуется распространение нестационарных волн в слоистом вязкоупругом полупространстве для произвольных наследственных функций при малой вязкости при различных граничных условиях с помощью интегрального преобразования Лапласа и экспоненциального преобразования Фурье. Полученное решение анализировано в частном случае, когда свойства среды описываются ядром Ржаницына
Ключевые слова: ВЯЗКОУПРУГОСТЬ, СЛОИСТОСТЬ, РЕОЛОГИЧЕСКИЙ, НЕСТАЦИОНАРНЫЙ, ИЗОБРАЖЕНИЕ, ОРИГИНАЛ, СВЕРТКА, ДИНАМИЧЕСКИЙ, НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ, ЯДРО, ПОЛЗУЧЕСТЬ, НЕОДНОРОДНОСТЬ
UDC 539.374
PROPAGATION OF THE UNSTEADY-STATE LONGITUDIONAL WAVES IN VISCOELASTIC TWO-LAYER SEMI-SPACE
Kurbanov Nabi T apdig oglu
Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor, head of the Chair of Common mathematics
Vusala Nazim kizi Yusifli applicant
Sumgait State University, Azerbaijan
In this work it is investigated the propagation of unsteady-state waves in a vicoelastic semi space for the arbitary heterogeneous functions at the different boarded conditions with the help of Laplas transformation and exponentional Truriers conversion. The received solution has been analyzed in a private case when medium properties are describing by Rzhanitsin’s core
Keywords: VISCOELASTIC, FOLIATION, RHEOLOGICAL, UNSTEADY-STATE, DELINE-ATION, ORIGINAL, CONTRACTION, DYNAMIC, HEREDITY, NUCLEUS, AFTERFLOW, DISCON-TINUITY
Широкий круг задач, связанный как с решением проблем сейсмологии, сейсмостойкого строительства сложных технических систем, так и проблем современного приборостроения, связанных с
всевозрастающим применением композиционных материалов, приводит к необходимости исследования, как в прикладном, так и в теоретическом аспектах возможности наиболее эффективного управления волновых процессов на основе направленного выбора геометрической и физической структуры композиционных систем [1, 2, 3, 4, 5].
Одной из важных задач исследований является учет слоистости грунтового основания. В последние десятилетия в исследованиях авторов, посвященных проблемам сейсмостойкости, наблюдается тенденция учета все большего числа слоев при изучении взаимодействия сейсмических волн с конструкциями различного назначения [5-8]. Однако исследование
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
2
явлений, возникающих при взаимодействии сейсмических волн с достаточно большим числом слоев, приводит к значительным сложностям математического характера.
Для того чтобы получить и разработать какие-либо качественные выводы о закономерностях взаимодействия волновых полей с конструкциями сооружений различного назначения, необходимо на основе моделей слоистых сред методами математического и компьютерного моделирования провести исследование влияния структуры слоистых сред на волновые процессы различной физической природы.
При волновом воздействии на слоистую структуру возникает система отраженных и преломленных волн. Взаимодействуя с падающей волной, они образуют сложную интерференционную картину, в значительной степени, зависящую от геометрической и физической структуры слоистой среды: от физических свойств материалов слоев, геометрических размеров слоев, числа слоев, а также от порядка взаимного расположения слоев с различными физическими свойствами в конструкции [6, 11, 12, 13, 14].
Меняя физическую и геометрическую структуру слоистой среды, можно в значительной степени управлять интерференционной картиной волнового процесса и, в частности, амплитудными и фазовыми характеристиками. На этом основана работа многих устройств в различных областях физики, техники и других сооружений.
Распространение нестационарных волн напряжений в слоистых средах исследованы многими авторами, из которых отметим работы [17, 13, 14] и другие.
Распространение нестационарных волн в упругом полупространстве при некоторых видах неоднородностей также исследовано в работах [18, 19, 20]. В работе [6] исследуется задача о распространении
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
3
волн в периодически слоистых линейно упругих средах, которые реализуются с помощью теории Флоке.
Распространение нестационарных волн сдвига в слоистом упругом полупространстве исследовано в работах [14, 9] методом малого параметра.
Отметим, что при решении соответствующих вязкоупругих задач свойства материала либо описываются конкретными моделями, например, как модель Максвелла, Фойхта и другие, либо решение находится численными методами.
В статье исследуется аналогичная задача с учетом вязкости материала, и решение находится для произвольных наследственных функций.
Предположим, что к поверхности двухслойного вязкоупругого слоя при t = 0 приложена нагрузка
Sxx = S0 f (t) (1)
где S0 = const; f (t) - заданная функция.
Задача математически сводится к решению следующей системы уравнений:
dsXm) (x, t) Л d"U(m) (x, t) ( , 2) dx =pm dr (m = U) (2)
Um (x, t ) = dU^ = 0, t = 0 (3)
U1 (x, t)= U2 (x, t), t)=S)(x, t), x = h (4)
U 2 (x, t ) = 0, x = h1+ h2. (5)
Определяющие соотношения принимаем в следующем виде:
t Г
s<?) (x, t ) = }
0L
2
R(m)(t -t) +-R(m)(t -t)
d
J V
f dU(m)
dx
где s
напряжение; e =
dx
деформация;
(6)
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
4
Rm\t) и R (m)(t) - функции сдвиговой и объемной релаксации.
При m = 1 все соотношения относятся первому слою, при m = 2 - ко второму.
С помощью интегрального преобразования Лапласа изображение решения получаем в виде:
- px
Um (x, p) = Mme
_________Pm__________
pR1m) (p)+ 3pR (m)(p)
px
+ Nme
________Pm________
pRm) (p)+3 pR (m)(p )
(7)
Здесь Mm и Nm (m = 1,2) неопределенные коэффициенты; p - параметр преобразования.
Пусть коэффициент Пуассона nm является постоянным, тогда функции R1(m)(t) и R(m)(t) будут пропорциональными, т.е.
R(m)(t) = hmR ( m)(t),
где hm
1 + ym 3(1 - 2ym )
Рассмотрим следующие преобразования:
Pm pm 1 pm 1
2 pR\m )(p)+- pR(m )(p) ^ h + 2 pR (m)(p) , hm 3 \ 1 + Vm + 2 pR (m)(p) 3(1 - 2Vm ) 3
pm 1
1 +Vm ( E 2 E 3 mm pR(m)(p)
Em 1 t 3(1 - 2Vm ) 3 1 + Vm J
Учитывая
K
m
E
m
3(1 - 2Vm У
Gm
1
2(1 + Vm ) ’
в последнем выражении получаем:
pm 2Gm = 1 R(m) 1V0
Km + 2Gm pR(m)(p) Gm ^ pR(m )(p) ’
3
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
5
тогда решение (7) приводится к виду:
px \ R px I R
Um(x,p) = Mme cm\pr(m)(p) + Nmecm\pR(m)(p).
Здесь введено обозначение
C
v_-m
2
Rm)(0) + - R(m)(0)
Pm
R1(m)(0) = K (m); R(m) (0) = 2Gm.
Из граничных условий, определяя коэффициенты Mm
подставляя в (8), имеем:
U1( p, x) = -
spf (p У R(1)(0)
cp py/pR(1) (p)
e
x^1
- p—
C1
+ B^~ p
a\ (2h -x)
C1
2a1^1
1 - Bxe~ pGT
U2 (p,x)■
2U\(h, p) e C2 + e
a2 (x-h1 ) a2 (2h2 -h1 -x)
p-------- . “p-------------
(1 + B2 )(1 + a)
где B =
1 =
ax =
2a2 h2
B2 - e~pPP
1 - B2e
2a2 h2 ’
■p~
c,V R <!l(0)
CW R0
R (1)(0)
(p)
1 - e-
2 a 2 h 2
b.
1 -l 1+1
1 = 1
PR0’(p).
PR121 (p)
a2 =
R (2)(0)
(p)
Разлагая знаменатели в ряд, имеем:
2a1&1
1 - Be p C1 I = I Bne
2aihi«1
n=0
2a2 h2
1 - e"
=I
2a2 h2 n - p-------
e C2
n=0
Учитывая это в (9) соответственно, получаем:
(8)
и Nm
(9)
(10)
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
6
U i( x, p) = ■
gj R '"(0X7 (р)
c,p,p^pRm (p)
U 2 (x, p) = U 1(^, p)2
x
- p—^1
Cl
e C1 + 2 B1
f 2плК +x 2n,h-x \
- p-------a1 - p--------a1
e C1 + e C1
f 2nh2-h+x 2(n+1) h-h-x Л
----2—1—a2 - p------2—1— ^2
n=0
(11)
или
U1 (x, p) = -
g0 f ( p)
R (1)(0)
p\p "У pR }(p)
- p-
x R(1)(0)
c1^ pR(1) (p)
< e ' +
(12)
+1B,
- 2n1h1+x R(1)(0) - 2h7n r(2)(0) 2nh,-x I r(!)(0) 2h2n f R(2)(0)
e C1 PR(1) (p) C2 «pR(2) (p)+ e* C1 hR(1) (p )P C2 \ pR(2) (p)
U 2 (X, p) = U\(h\, p)Z
n=0
2nh2-h1+ x j R(2)(0) -p2(n+1)h2-h1-x I r(2)(0)
c2
PR(2) (p)
c2
PR(2) (p)
где
(- 44)'
1 -^1.
-------\ n+n -2l
“0)/ ' ' 1
pR (p)
— (2)
B, =
pR (p)J
f i \ n+ n L»(1) (эт) ^
1+ 4 •
К pR (p)
p^1 (p)
\pR (p)
J
—(1),
Предположим, что pR’ (p ) = k1 pRT> (p), k1 = const, тогда решения (12) принимают вид:
U1 (x, p) = -
g0 f (p)
R (1)(0)
A p \pR1 (p)
px R(1)(0) N pR(1)(p) j e +2 B5 • - pi - p^^^J 44 e cA pR1(p)+ e м pR (p)
n=1
4. - J.
(13)
f g I R(2)(0) g I R(2)(0) ^
U 2( x, p) = U 44, p) 2
pR(1) ( p )-/R pR(2) ( p )
n =1
c2
c2
e
c
n=1
e
e
c
n=0
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
7
где
П
(2nh1 + x)+
2h2nici R(2)(0) k
c2 (1)(0) 1
Г2
(2nh1
- x)+
2h2 ПС R (2)(0) k C 2 U (1)(0) 1
g = 2nh2 - h + x g2 = 2(n + 1)h2 - h1 - x,
тогда B5 принимает вид:
, i
(- 41 )l (1 -kkx f+n-2i • kf2
B5
(1 + Ik)'
П1+П3
который не зависит от времени.
Из уравнений (13) видно что, окончательное решение поставленной задачи приводится к вычислению оригиналов следующих выражений
j (п, Р)
f(p)
р V
R(1) (0) e pc^l pR 0) (p)
- Р-
п I R(1)(0)
pR (1) (p)
yj (g, p) = e
lL R(2)(0)
c2\ pR(2) (p)
(14)
(15)
p
Здесь i = 0,1,2, j = 1,2 причем r0 = x, пг,r2, gu g2 известны. Представляя экспоненциальную функцию в форме интеграла Фурье с учетом pR (p) = Е0 (1 - еГ (p)), получаем:
й (п, Р) = 2fp) J
тг J
cos(—)
1
dl
p 0 p2 +12 - el Г (p)'
1у,-
-<УМ \ ¥ 1sin(—L)
y (g p) = 2(1 -еГm(p)) f cR .
yL (gL,p) J 2 o2 ^ p(2W 1
РР l Р +12 ~e21Г(2) (p)
(16)
(17)
где ek - некоторый малый параметр (k = 1,2).
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
8
Оригиналы этих функций находятся по методу, изложенному в работах [2, 7, 9, 12], и имеют вид:
dP (1)(t)
j (r, t) = RIU(0) f (t) * —*\H
dt
f r Л
t--2-
V C1J
+... +
+
+
(-1)
f r2\
2
'J - £ J
V У j
r
(- 1)” f, 2 Г2 ^
22"n!
r —2
V c1 J
d2(t) *e2 K (>) +
1
d (t) *e”K g(t) +...
где
d(t)- дельта функция Дирака;
K”m) (t) = Kn (р) - итерированные ядра
t
K«)(() = K'-'(t) ... K”)(t) = /K<->(t-r)K«>(r)dt K”>m\t)=pmK
0
Вычислим оригинал второй функции y. (g,, p).
— (i )n
y
(g,, P ) =
2 (1 -гГы)? I 1
p p
A
~2 + A S
P + Л n=0
e г(р^+Т-Нчг = r(pl,)r
(p + A2 ) n=1
+
S-
n!
(- P2 У
(p ^ +A )3 "n=22!(n - 2)!
(- p2 )m ( г (2) )m
(p2 + x. )m+U2 (p4
+
— (2) m+1
0^ (2) A + A Г (p)
(p2 + A2 )m+1
-x-
1
p+| etUJ +A (’1 - 2 erj21
>A sin
. f Ag,
dA
V C2 J
(18)
( ^(2))" (- p2) m "! ( y(2))n
e Г| p,,+ +(pAFr nn=kkTon-k)!e rw) +"
(19)
Отсюда после вычисления интегралов получим:
0
2
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
9
У
ъ, р )=Е-(l ~Е г!Р))
рЕо
expl
РЪ
С2
ift e rfP)j+...+
1
C2
+ ^2-----1—expf- ^Ift (2k -i - 2) x f^ | (- Р2)k X
22k-1 k! p2k-1 У c2 j“0 i!(k -i - 2)! у c2
1
x
x
ft n! e Гм)+ • •• + ^^expf-£Ъ)у (2m -i -k)! (2pj x
ftk!(n-k )У P' 22m-1 m! У C2 jft i!(m - i - 2Д C2 j
1sinf 11 Idl
(20)
( ( f(2))" , 2 (lГ(Р
(- p2) e Г(p) +—em+1 M-— +
VjPM2 4 P 0 (p 2 + 1 )m+1
c2
Р + ^f2ri2)l| +1 ^1 - ^1^2 Гс(2) j
2 j У 2
Применяя обратные преобразования Лапласа к этому выражению, находим:
n=0
Wi (1, t):
Е (t).
Е0
* (Я! t-LL
1
m 1
+ ft£n jrn2\t)dT + ••• +
C2 j k=1 1
(- 1)k x-1 (2k - i - 2)! f g 22kk! i=0 i!(k - i - 2)! У C2 jy c2
C2
1 |11-1] *dk (t )* ftemrn2)(t)+... +
+2-^ 8m(t )*rm(2)(t )* ft Tj
22mm! 7=1 i!
2m - i - 2)! f 2ъ
(737-24 ft
n=k
\ i +1 1
. m-i-1
1 1 11-11 +
C2
+ — em+1 j j6m+1 (r)dT * expl -1 eGs^At j sin if1 -1 eGCft
Asinl 1
C2
1|1 -1 eft21
-dl
(21)
Учитывая решение (18) и (21) в (13), получаем оригинал решения поставленной задачи в виде: s ¥
U 1(х,t) =-------— (j(х,t) + ft B5 [ j(r,t) + (p3(r2,t)]I
C1A
(22)
U2 (x, t) = ЖА, t) * ft [w (g, t) - W2 (12, t)];
n=0
Пусть вместо условия (5) выполняется условие U2(х, t) = 0, при х ®¥
(23)
(24)
n =1
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
10
Тогда решения для каждого слоя в изображениях Лапласа принимают вид:
U 1( х, р) =
(
+ ^вк
к=1
U 2 (х, р) =
S f (P) _01) px e cA
crP ^ pR (p)
2kh\ -х _0^ 2kh\ + х j~ Р c \p_(1)(p) -eV c1 Ip
R (1)
_0____
г(1) ,
2^0 f (Р) \PiP(1 + Щ
R (i)
0
R<..( )
PR (P) k=
(2k+\)hlm1 x-\ c1 c2
r(2) _0____
—(2)
pRK (P)
(25)
(26)
где
P
1 =
P _02)
c>i pR2) (p)
p _01)
c<i PR) (p)
=const ;
e =
1 -1. 1+1’
m =
-/rS” pR<2 \ p)
т/_02Р_™’(Р)
= const
Отсюда видно, что решение поставленной задачи сводится к вычислению оригинала функции
1 -jpl^T
j (Zj, р) = — e c \pR(i)(p) (27)
P
Если считать, что вязкое сопротивление материала является малым, по сравнению с упругим сопротивлением, тогда оригинал функции j (Zj, p) совпадает с формулой (18).
В этом случае оригинал решений поставленной задачи получается в
виде:
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
11
Ui(x, t) U2 (x, t)
So
Cl Pi 2So
C1P1
jf (t)dT* t)+ Xqk
( 2kh - x
V с
t I- ji ■
( 2kh + x
tI
V C1
j f (t)dT* Y,qkj21
0 k=1 V
((2k + 1)hip1 x - h2
C1
C2
t
(28)
Теперь исследуем полученное решение, с этой целью предположим, что свойства среды описываются ядром Ржаницына
K (t) = At 1-1e-bt ,0 <1< 1, A > 0, J3> 0, тогда с учетом [4, 5, 9, 12]
K
m
n
-b
[АГ(Л)]-е £
m!
г=0 l!(m -1)!
(-b) "
t nl-l -1
Г(п1 -1)
Zj
из решений (27) при малых значениях t —- получаем:
Ci
gi (zj,t)■
42,
pa
2Ci
АГ(а)(1 - a)z
1
2a /
a-1
t - —12a
X
x e l
a Г (1-a)AY(a)zj 1-a\ 2ci
1-a
a
XI t-ZJ- I -bit-ZJ-
V Ci ) V Ci ,
1
C
Здесь Zj > 0 и все члены с целыми отрицательными значениями (na-1) не учитываются. Это формула исследована при следующих значениях параметров
0 2
А = —; a = 0.4, b
Ci
0.003
Ci
c = 3 • 103 м/с, Zj = 0.5м, Zj = 1м, z = 1.5м
и построены график зависимости gt (t) от времени t.
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
12
Г рафик зависимости gr (t) от времени t
Отсюда видно, что при фронтовой асимптотике параметры на характер решения влияют незначительно.
Список литературы
1. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный жур-нал. Санкт-Петербург. 2010. № 6. С. 38-47.
2. Ильясов М.Х., Курбанов Н.Т. О расспространении нестационарных волн в линейных вязкоупругих материалах / ВИНИТИ. М., 1984, № 464-84, 27 с.
3. Аршинов Г.А., Лаптев С.В., Могилевич Л.И. Асимптотический анализ продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих средах // Наука Кубани. Сер. Проблемы физико-математического моделирования. 1999. С. 5158.
4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: «Мир», 1982. 333 с.
5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд. МГУ, 1984. 364 с.
6. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 46-49.
7. Исмаилов Р.Ш., Курбанов Н.Т., Иманов Ф.А. Об одной динамической задаче линейной вязкоупругости // Уч. записи АГНА. Баку.1998 №2. С. 71-79.
8. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига.: Зинатне, 1989. 224 с.
9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: «Высшая школа», 1976. 276 с.
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
13
10. Филиппов И.Г., Бахрахмов Б.М. Некоторые двухмерные волны в двух компонентных средах // Изв. АН Уз ССР. 1977. № 2. С. 33-39.
11. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Изв. Орловского гос. техн. ун-та, сер. «Строительство, транспорт». 2007. № 4. С. 20-23.
12. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: «Мир», 1982. 333 с.
13. Кийко И. А. Ильясов М.Х., Распространение гармонических волн в двухкомпонентной двухслойной полосе // Вест. Моск. ун-та, Мат., мех. 1976. № 5. С. 103-106.
14. Косачевский Л.Я. О распространению упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. 1959. Т. 23. С. 1115-1123.
15. Онисько Н.И., Шемякин Е.И. Движение свободной поверхности однородного грунта при подземном взрыве // ПМТФ. 1961. № 4. С. 82-94.
16. Талбатов Ю.А. Свободные колебания сварной многослойной цилиндрической оболочки. Проблемы машиностроения. Киев, 1982, №17. С. 32-33.
17. Курбанов Н.Т. Исследование одномерных динамических задач линейной вязкоупругости / Астраханский государственный университет // «Прикаспийский журнал». Астрахань. 2008. № 2. С. 53-57.
18. Аленицын А.Г. О задаче Лэмба неоднородного упругого полупространства // «Проблемы матем. физики». Изд.-во Ленингр. ун-та, 1966. вып. 1. С. 5-32.
19. Горбачаев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неод-нородных полос // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. № 5. С. 111-118
20. Слепян Л.П. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.
References
1. Abdikarimov R.A., Zhgutov V.M. Matematicheskie modeli zadach nelinejnoj dinamiki vjazkouprugih ortotropnyh plastin i obolochek peremennoj tolshhiny //Inzhenerno-stroitel'nyj zhur-nal. Sankt-Peterburg, 2010, №6, s. 38-47.
2. Il'jasov M.H., Kurbanov N.T. O rassprostranenii nestacionarnyh voln v linejnyh vjazkouprugih materialah // VINITI, Moskva 1984, № 464-84, 27 s.
3. Arshinov G.A., Laptev S.V., Mogilevich L.I. Asimptoticheskij analiz prodol'nyh voln v fizicheski i geometricheski nelinejnyh vjazkouprugih sredah // Nauka Kubani. Ser. Problemy fiziko-matematicheskogo modeliro-vanija, 1999, s. 51-58.
4. Kristensen R. Vvedenie v mehaniku kompozitov. M.: «Mir», 1982, 333 s.
5. Pobedrja B.E. Mehanika kompozicionnyh materialov. M.: Izd. MGU, 1984, 364 s.
6. Ljahov G.M. Udarnye volny v mnogokomponentnyh sredah // Izv. AN SSSR, Mehanika i mashinostroenie. 1959. №1. s. 46-49.
7. Ismailov R.Sh., Kurbanov N.T., Imanov F.A. Ob odnoj dinami-cheskoj zadache linejnoj vjazkouprugosti. // Uch. zapisi AGNA. №2. Baku-1998 s. 71-79.
8. Romalis N.B., Tamuzh V.P. Razrushenie strukturno-neodnorodnyh tel. Riga. Zinatne.: 1989. 224 s.
9. Koltunov M.A. Polzuchest' i relaksacija. M.: «Vysshaja shkola» 1976, 276 s.
10. Filippov I.G., Bahrahmov B.M. Nekotorye dvuhmernye volny v dvuh komponentnyh sredah // Izv. AN Uz SSR, 1977, №2, s. 33-39.
11. Zhgutov V.M. Matematicheskie modeli i algoritmy issledovanija ustojchivosti pologih rebristyh obolochek pri uchete razlichnyh svojstv materiala // Izv. Orlovskogo gos. tehn. un-ta, ser. «Stroitel'stvo, transport», 2007, №4, s. 20-23.
12. Kristensen R. Vvedenie v mehaniku kompozitov. M.: «Mir», 1982, 333 s.
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
Научный журнал КубГАУ, №101(07), 2014 года
14
13. Kijko I.A. Il'jasov M.H., Rasprostranenie garmonicheskih voln v dvuhkomponentnoj dvuhslojnoj polose / Vest. Mosk. un-ta, Mat., meh., №5, 1976, s. 103-106.
14. Kosachevskij L.Ja. O rasprostraneniju uprugih voln v dvuhkom-ponentnyh sredah // PMM, 1959. t. 23. s. 1115-1123.
15.Onis'ko N.I., Shemjakin E.I. Dvizhenie svobodnoj poverhnosti odnorodnogo grunta pri podzemnom vzryve / PMTF, №4, 1961, s. 82-94.
16. Talbatov Ju.A. Svobodnye kolebanija svarnoj mnogoslojnoj cilindricheskoj obolochki. Problemy mashinostroenija // Kiev, 1982, №17, s. 32-33.
17. Kurbanov N.T. Issledovanie odnomernyh dinamicheskih zadach linejnoj vjazkouprugosti // Astrahanskij Gosudarstvennyj Universitet, «Prikaspijs-kij zhurnal», Astrahan', 2008, №2, s. 53-57.
18. Alenicyn A.G. O zadache Ljemba neodnorodnogo uprugogo polupro-stranstva // V. sb.: «Problemy matem. fiziki», Izd.- vo, Leningr. Un-ta, vyp 1, 1966, s.
5-32.
19. Gorbachaev V.I., Pobedrja B.E. Ob uprugom ravnovesii neod-norodnyh polos
// Izv. AN SSSR, MTT, 1979, №5, s.111-118
20.Slepjan L.P. Integral'nye preobrazovanija v nestacionarnyh zadachah mehaniki. L.: Sudostroenie, 1980, 343 s.
http://ej.kubagro.ru/2014/07/pdf/81.pdf
