CC BY
40
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Приведенные граничные условия для упругой полуплоскости с
тонким вязкоупругим покрытием
# 11, ноябрь 2012
Б01: 10.7463/1112.0496367
Анофрикова Н. С., Приказчиков Д. А.
УДК 539.3
Россия, Саратов, СГУ им. Н.Г. Чернышевского Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected] [email protected]
Введение
Исследование динамики покрытий является актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения в современной науке и технике [1, 2]. Несмотря на то, что аналитическое решение может быть сравнительно легко записано, его дальнейший анализ существенно затруднен, оставляя возможность лишь для численного исследования. В этой связи одним из основных подходов к задаче остается получение приближенных граничных условий на границе основы и покрытия, в результате чего исследование сводится к более простой задаче для упругого полупространства, с приведенными граничными условиями, учитывающими свойства материала покрытия.
В классической работе [3] приведенные граничные условия были получены на основе физических гипотез. Более строго они могут быть выведены на основе метода прямого асимптотического интегрирования, разработанного А.Л. Гольденвейзером, см. [4-7]. Следует также отметить, что отсутствие должной математической строгости может привести к неточностям, см. например, [8], которые отразились и в последующих работах [9], [10]. В то же время в [11] показано, что слагаемые, за счет которых «уточняются» граничные условия [3], относятся к более высокому порядку малости, чем порядок предлагаемой в [8] приближенной теории.
Целью настоящей работы является вывод на основе метода асимптотического интегрирования приведенных граничных условий на поверхности контакта упругой полуплоскости и вязкоупругого покрытия. Следует отметить, что метод асимптотического интегрирования успешно применялся ранее для вязкоупругих тонкостенных конструкций [12, 13]. В данной работе получено длинноволновое приближение для неоднородных граничных условий на поверхности покрытия. Это позволит в дальнейшем не только использовать их для построения эффективного приближения дисперсионного соотношения, но и построить на их базе асимптотическую модель для волны Рэлея, расширяя подход, ориентированный на выделение вклада поверхностных волн в общую
динамическую картину [11, 14, 15], на случай упругого полупространства с вязкоупругим покрытием.
1. Постановка задачи
Рассмотрим упругую изотропную полуплоскость с тонким вязкоупругим покрытием постоянной толщины И . Введем прямоугольную декартову систему координат следующим образом: предположим, что ось Ох1 лежит на поверхности покрытия, а ось Ох3 направлена вниз, так, что граница раздела между основанием и покрытием задается уравнением х3 = И .
Уравнения движения в выбранной системе координат имеют вид:
где и п - компоненты вектора перемещения, ст - компоненты тензора напряжений, р -плотность материала. Уравнения состояния для упругой полуплоскости примем в виде:
где / и Л - постоянные Ламе. Скорости волн расширения и сдвига определяются выражениями
Уравнения состояния для вязкоупругого изотропного материала возьмем в интегрально-операторной форме
(11)
(1.2)
(13)
(14)
где /Л и Л - интегральные операторы, задаваемые формулами
V
У
(15)
Л/«) = Л0(/(() -}Гл(* -г)/(т)йт
\
V
У
Здесь ¡и0 и Л0 - постоянные материала покрытия, Г^ ((У) и Гл (У) - ядра релаксации.
Предположим, что на поверхности Х3 = 0 действует нормальная нагрузка Р = Р(Х1, У), тогда граничные условия запишутся следующим образом:
С13 = 0, с33 = -Р при Х3 = 0. (1.6) Кроме того, мы будем принимать во внимание условие непрерывности перемещений и напряжений при Х3 = к .
2. Приведенные граничные условия
Рассмотрим задачу для вязкоупругого покрытия, задавая на границе Х3 = к условия:
ип = , (2Л)
где Уп = Уп (Х1, У) - заданные перемещения, п = 1,3.
Применим к задаче (1.1), (1.2), (1.4) стандартную схему асимптотического интегрирования, см. например, [4-7, 11]. В случае покрытия (0 < Х3 < к), все параметры материала обозначим индексом '0'. Введем малый геометрический параметр
к л
Б = — << 1, (2.2)
Ь
соответствующий предположению о длинноволновом приближении, где Ь - характерная длина волны. Введем безразмерные переменные
4 = Т, П = Х3, т 2 = % (2.3)
Ь к Ь
где с.
20
м0
—, р0 - плотность материала покрытия. Также введем безразмерные
Р
величины
* ип * Уп * Ь * Ь * Ь
и* = , V* = —, сс =-сс, с =-сп3, р =-Р, (2.4)
п V п V 11 М0У М0кУ п3 м0кУ
где V - максимальная амплитуда перемещений и предполагается, что величины со звездочкой одного асимптотического порядка.
Уравнения движения и состояния в безразмерных переменных принимают вид
-л * -л * -л 2 *
дс11 + дс13 д и1
д4 дп дт
2
а* л * -л 2 *
с33 + _ дс13 _ д и3 п- О
дп д4 дт
2
* ( 2 Лдщ ,
дп
бк
- Б
\ Т2 ди "2 ди
К02 - У^'ЛТ ^О^ТТ йТ* + 2 1^2 ЛТ*
V -» дд 4 дд
ди*
ад
ди*
(\' 2 ди,
к2 - -т*)—^ ¿т*
» дп
*
** 2 * ди, ди
Б С1з = 1 ' -
дп дд
** ди диз
1 + Б
дп дд
Б °33 = К0
2 ди3*
+ Б(ко2 - 2)ди^ - (ко2 - 2)|г,* (т2 - т*)
дп дд дп
' 2 ди / \ '2 ди
- 2 {^2 -Т*)^±йТ* -Б(к02 - 2)|Г^(Т2 ^НТ"
ди*
дп
Ь Ь с где Г^ =-Г1(т2), г^(т2) =-ГД^Х К = —> С10 =
дд
Л + 2 А,
Л)
'20 20 20 Граничные условия в безразмерной форме имеют вид:
ст* = 0, ст3*3 = - р * при п = 0, и*п = V* при п = 1. Разложим перемещения и напряжения в ряды по малому параметру Б :
(2.5)
(2.6)
С * ч Г иГ ] (1) к
* ^11 * ^13 = < и 13 + Б и 11 и 13
* ^33 V0 33 V0 33 )
+....
(2.7)
Подставляя эти ряды в уравнения (2.5) и граничные условия (2.6), и приравнивая коэффициенты при Б°, получаем систему для определения компонент ведущего порядка
д< + д^(30) _ д 2и;0)
дд дп дт'2
2„(0)
д^3з д 2и3
дп дт'2
0 = (к2 - 2^ - (к2 - 2)!Г*(Г2 - т)йт
-» дп
(0)
ди
(0)
0
дп
ди10)
дп
{^2 -Т*)
ди*
(0)
дп
(2.8)
*
—со
—со
ди (°) 0 = К ди3
/ \т2 ди (0) т2 ди (0) 0 дп К -2)1Г^(т2 -т*^~дП~йт*- 2 ^Г^*(т2
иТ = К при п = 1, с3(30) = -р* при п = 0,
с|30) = 0 при п = 0.
Интегрируя уравнения (2.8)4 и (2.8)5 совместно с граничными условиями (2.8)6, а также уравнение (2.8)2 совместно с граничным условием (2.8)7, найдем
(0) * и ' = V ,
пп
г\2 * (0) д V3 * с3(3) =п^т - р
дт
(2.9)
Последняя формула дает главный член искомого значения нормального напряжения с33. Из уравнения (2.5)4 получим:
ди<(1) ди
0 =
(0)
-Кт -т*)
^ди« ди30) ^
дп д4
+
дп д4
(2.10)
откуда,
Л ди1(1) ди30 0 = —— + 3
дп д4
Из граничных условий (2.6) имеем
(2.11)
и{1 = 0 при п = 1,
(2.12)
следовательно,
и
(1)
(1 -п)
д4
Аналогично, из (2.5)5, с учетом граничного условия (2.12)
и
(1)
(1 - п)(1 - 2к-2 )(/ - (1 - 2к-2 )г; - 2к-2г; )-1 (/ - г; )
д4
где / - тождественный оператор и
(2.13)
(2.14)
"2 "2 К/(Т2 ) = ¡Г1(т2 -т*)1 (т*)dт*, Г;/(т2 ) = |Г;(т2 -Т*)/ (т*)йт*. (2.15)
Используя формулы (2.5)3, (2.9) и (2.14), находим
1
3
-да
-да
(0) 11
К (1 - 2К )2 (1-П )(1 - (1 - 2*-- )г; - )-1 (I - г**) +
+К (1-(1 -2к-2 )г; -2ко-2г;)'
ду*
(2.16)
Подставляя (2.16) в (2.8)1, учитывая (2.8)8, получим выражение для - главного члена
в разложении ст13:
д^
+
К (1-2*- )2 (1-Г. )(1-(1-2к0"2 )г*. -2к„-2г;)-1 (1-г; )-
к (1-(1-2к-2 )г;-2к-2г;)'
^2 * д у
д^
(2.17)
Возвращаясь к исходным переменным, запишем приведенные граничные условия на поверхности контакта х3 = И :
= РоИ
д и 2 -1 + с
д2 С20 д 2и
{(Ко -2Ко-1 )2 (1-Г;) Я (1-Г;)-Ко2 Я^
0 д2щ
д
(2.18)
стзз =РоИ^Т - Р
где
I I
г;) = |Г;(Г-т)/(т)1т, г м№ = (-г)/(гУг, Я = (1-(1-2к02)Г;-2к02
\-1
*
-те
-те
Заключение
В данной работе в рамках длинноволнового приближения получены эффективные граничные условия для системы «упругая основа - вязкоупругое покрытие» для случая заданных на поверхности покрытия нормальных усилий. В дальнейшем результаты (2.18) могут быть использованы для анализа поля волны Рэлея в случае заданного типа нагрузки на поверхности, см. [11], а также исследования распространения поверхностной волны в зависимости от параметров материала вязкоупругого покрытия. При этом возможность рассмотрения динамической задачи обеспечивается тонкостью покрытия.
Авторы выражают свою искреннюю благодарность д.ф.-м.н., проф. Каплунову Ю.Д. за плодотворные обсуждения. Исследования Анофриковой Н.С. поддержаны грантом РФФИ № 11-01-00545-а. Исследования Приказчикова Д.А. выполнены при поддержке РФФИ, грант № 12-01-33049.
Список литературы
1. Shuvalov A.L., Every A.G. On the long-wave onset of dispersion of the surface-wave velocity in coated solids // Wave Motion. 2008. Vol. 45, no. 6. P. 857-863. DOI: http://dx .doi .org/ 10.1016/j .wavemoti.2007.12.002
2. Захаров Д.Д. Эффективные аппроксимации высокого порядка для слоистых покрытий и прослоек из анизотропных упругих, вязкоупругих и нематических материалов // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 3. С. 403-418.
3. Tiersten H.F. Elastic surface waves guided by thin films // J. Appl. Phys. 1969. Vol. 40. P. 770-789.
4. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26, № 4. С. 662-686.
5. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 510 с.
6. Goldenveiser A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates and shells // Int. J. Solids Struct. 1993. Vol. 30. P. 675-694.
7. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. N.-Y.: Academic Press, 1998. 226 p.
8. Bovik P. A comparison between the Tiersten model and O(h) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers // ASME J. Appl.Mech. 1996. Vol. 63. P. 162-167.
9. Niklasson J., Datta S.K., Dunn M.L. On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coating by means of effective boundary conditions // J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 108. P. 924-933.
10. Vinha P.C., Linhb N.T.K. An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer // Wave Motion. 2012. Vol. 49, № 7. P. 681-689. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.wavemoti.2012.04.005
11. Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A long-wave model for the surface elastic wave in a coated half-space // Proc. Roy. Soc. A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.
12. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu., Kirillova I.V., Shevtsova Yu.V. Non-stationary waves in thin walled bodies at shock loading: asymptotic approach // Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics. Elite Publishing House Ltd., 2011. P. 318-330. ISBN 8188901-43-1.
13. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. ВУЗов Сев.-Кавк. региона. Естественные науки. 2000. № 2. С. 17-24.
14. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D.A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA J. Appl. Math. 2006. Vol. 71. P. 768-782.
15. Приказчиков Д.А. Развитие асимптотических моделей для поверхностных и интерфейсных волн // Вестник НГУ им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 4. С. 1713-1715.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE RAIJMAN MS TU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Reduced boundary conditions for an elastic half-plane coated with a thin viscoelastic layer # 11, November 2012 DOI: 10.7463/1112.0496367 Anofrikova N.S., Prikazchikov D.A.
Russia, Saratov State University named after N.G. Chernishevskiy Russia, Bauman Moscow State Technical University
[email protected] [email protected]
The paper describes reduced boundary conditions for an elastic half-plane covered with a thin viscoelastic coating in case of normal force applied to the surface. A long-wave approximation was constructed with the use of the method of asymptotic integration for motion equations and constitutive relations of the viscoelastic coating.
Publications with keywords: effective boundary conditions, asymptotic integration, viscoelastic coating
Publications with words: effective boundary conditions, asymptotic integration, viscoelastic coating
References
1. Shuvalov A.L., Every A.G. On the long-wave onset of dispersion of the surface-wave velocity in coated solids. Wave Motion, 2008, vol. 45, no. 6, pp. 857-863. DOI: http://dx .doi .org/ 10.1016/j .wavemoti.2007.12.002
2. Zakharov D.D. Effektivnye approksimatsii vysokogo poriadka dlia sloistykh pokrytii i prosloek iz anizotropnykh uprugikh, viazkouprugikh i nematicheskikh materialov [Effective high-order approximations of layered coatings and linings of anisotropic elastic, viscoelastic and nematic materials]. Prikladnaia matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 2010, vol. 74, no. 3, pp. 403-418. (Trans. version: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2010, vol. 74, no. 3, pp. 286-296. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2010.07.004 ).
3. Tiersten H.F. Elastic surface waves guided by thin films. J. Appl. Phys, 1969, vol. 40, pp. 770-789.
4. Gol'denveizer A. L. Postroenie priblizhennoi teorii izgiba plastinki metodom asimptoticheskogo integrirovaniia uravnenii teorii uprugosti [Construction of the approximate
theory of bending the plate by the method of asymptotic integration of equations of the theory of elasticity]. Prikladnaia matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 1962, vol. 26, no. 4, pp. 662-686.
5. Gol'denveizer A.L. Teoriia uprugikh tonkikh obolochek [Theory of elastic thin shells]. Moscow, Nauka, 1976. 510 p.
6. Goldenveiser A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates and shells. Int. J. Solids Struct, 1993, vol. 30, pp. 675-694.
7. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. N.-Y., Academic Press, 1998. 226 p.
8. Bovik P. A comparison between the Tiersten model and O(h) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers. ASME J. Appl.Mech., 1996, vol. 63, pp. 162-167.
9. Niklasson J., Datta S.K., Dunn M.L. On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coating by means of effective boundary conditions. J. Acoust. Soc. Am., 2000, vol. 108, pp. 924-933.
10. Vinha P.C., Linhb N.T.K. An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer. Wave Motion, 2012, vol. 49, no. 7, pp. 681-689. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.wavemoti.2012.04.005
11. Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. A long-wave model for the surface elastic wave in a coated half-space. Proc. Roy. Soc. A., 2010, vol. 466, pp. 3097-3116.
12. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu., Kirillova I.V., Shevtsova Yu.V. Non-stationary waves in thin walled bodies at shock loading: asymptotic approach. In: Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics. Elite Publishing House Ltd., 2011, pp. 318-330. ISBN 81-88901-43-1.
13. Bazhanova N.S., Kossovich L.Iu., Sukholovskaia M.S. Nestatsionarnye volny v viazkouprugikh obolochkakh: model' Maksvella [Unsteady waves in viscoelastic shells: the Maxwell model]. Izv. VUZov Sev.-Kavk. regiona. Estestvennye nauki [Proc. of the Universities of the North-Caucasian region. Natural sciences], 2000, no. 2, pp. 17-24.
14. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D.A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves. IMA J. Appl. Math., 2006, vol. 71, pp. 768-782.
15. Prikazchikov D.A. Razvitie asimptoticheskikh model ei dlia poverkhnostnykh i interfeisnykh voln [Development of asymptotic models for surface and interface waves]. Vestnik NGU im. N.I. Lobachevskogo [Herald of the Lobachevsky NSU], 2011, vol. 4, no. 4, pp. 17131715.
