Проявление вязкоупругих свойств материала в нестационарных задачах динамики цилиндрических оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 80-95 Механика

УДК 539.3

Проявление вязкоупругих свойств материала в нестационарных задачах динамики цилиндрических оболочек

А. В. Нетребко, С. Г. Пшеничнов

Аннотация. Рассмотрены задачи о распространении нестационарных волн в линейно-вязкоупругой круговой цилиндрической оболочке. С помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и последующего вычисления оригиналов проведены динамические расчеты и получены результаты для полубесконечной вязкоупругой оболочки при конкретных исходных данных, иллюстрирующих влияние наследственных свойств материала на волновые процессы.

Ключевые слова: динамика цилиндрических оболочек,

вязкоупругие волны, преобразование Лапласа, ядра релаксации.

Исследование нестационарных волновых процессов в оболочках из линейно-вязкоупругого материала является весьма актуальным. Вместе с тем, известные на сегодня результаты (часть которых содержится, например, в работах [1-5]) не являются исчерпывающими. По-прежнему остается актуальным вопрос о том, как на переходные волновые процессы в оболочках влияет принадлежность вязкоупругих ядер тому или иному классу функций и какие параметры ядер проявляются при этом наиболее ярко. В работе [6] в качестве гипотезы были предложены (а затем нашли подтверждение в определенном диапазоне изменения исходных данных [7]) соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на переходные волновые процессы схожим образом. Однако, эти соотношения предлагались для случая конечной области распространения возмущений при классической постановке нестационарной динамической задачи линейной вязкоупругости, а не теории оболочек. Наряду с этим, в статье [8] была разработана эффективная методика динамических расчетов переходных волновых процессов в упругих цилиндрических оболочках на основе применения интегрального преобразования Лапласа с последующим вычислением оригиналов. Настоящая работа представляет собой естественное продолжение исследований, начатых в [6-8]. Во-первых,

разработанная ранее методика [8] здесь распространена на задачи

о переходных волновых процессах в цилиндрических оболочках из линейно-вязкоупругого материала, при этом представлены примеры расчетов, в которых проявляются волновые эффекты, связанные с вязкостью. Во-вторых, правомерность упомянутых соотношений, выражающих близость наследственных ядер, здесь проверена для нестационарной динамической задачи теории оболочек при бесконечной области распространения возмущений. Рассмотрен вопрос об отыскании среди ядер релаксации, состоящих всего из одной экспоненты, таких, которые окажут на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих оболочках практически такое же влияние, что и регулярные ядра в виде суммы нескольких экспонент.

Постановка задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу динамики круговой цилиндрической оболочки из линейно-вязкоупругого материала в рамках теории Тимошенко в случае осевой симметрии. При отсутствии внешних сил на боковых поверхностях система уравнений динамики имеет вид [9]

дЫх , д2и

дх Р д^2 ’

дЯх 1 Лт , д2ад , Л

тх + н"‘ = ■ (1)

дМх „ Ь3 д2ф

дх - ^х = Р12 ’

где Кх(х,Ь) и N(х,£) — нормальные усилия в срединной поверхности оболочки; Ых(х,Ь) — изгибающий момент; Ях(х,Ь) — перерезывающая сила; и(х, £) — продольное перемещение; и>(х, £) — прогиб в направлении внутренней нормали к срединной поверхности; ф(х, £) — угол поворота нормали; х — осевая координата, у — координата в окружном направлении;

£ — время; Я, Ь — радиус срединной поверхности и толщина оболочки; р — плотность материала оболочки.

Для линейно-вязкоупругой оболочки усилия в срединной поверхности, изгибающий момент и перерезывающую силу можно выразить через продольное перемещение, прогиб и угол поворота нормали следующим образом:

Здесь к2 — поправочный коэффициент [9], а операторы д1 и д2 задаются выражениями

д 1 = д2 + 2(5, д2 = Ь(1 - (Ь + 2С)-1ь),

при этом (Ь + 2С)-1 - оператор, обратный к (Ь + 20), а С и Ь определяются соотношениями

2

Ь = В - 3с, С = Со(1 - Тэ), В = Во(1 - Ту),

t t Тэ№ = !Тэ(г - т)£(г) (1т, Ту£(г) = ^Ту(г - т)£(т) йт, (3)

0 0

где Со, Во — мгновенные значения модулей сдвига и объемного сжатия; Ту (г), Т(г) — ядра объемной и сдвиговой релаксации материала оболочки. Формулы (2) получаются на основе материальных уравнений линейной вязкоупругости [10] и известных гипотез теории оболочек [9].

Подставив выражения (2) в уравнения (1), придем к уравнениям типа Тимошенко в перемещениях

Т д2и 1 т д'ш д2и

1 дх2 К 2 дх Р дг2 ,

. 2 т( д2гш дф \ 1 т ди 1 т д2-ю ,л ,

кС{ дх2 + л) + КТ дХ - К2 = Р-д? ■ (4)

д2ф 12к2 т (дw Д д2ф

д1 дХ2 - ~№~С\дХ + Ф) = Р д(2 ■

Далее будем считать оболочку полубесконечной. Математическая постановка осесимметричной нестационарной задачи динамики для такой оболочки включает в себя уравнения (2)-(4), начальные условия для функций и(х,г), w(x,t), ф(х,г), которые в дальнейшем будем считать нулевыми:

и(х, 0) = 0, w(x, 0) = 0, ф(х, 0) = 0, (5)

условия при х ^ ж:

Иш и(х,г) = 0, Иш w(x,t) = 0, Нш ф(х,г) = 0 (г > 0) (6)

х^-ж х^ж х^ж

и граничные условия на торце х = 0. Для дальнейшего изложения конкретный вариант этих условий не является принципиальным, поэтому запишем их в той форме, которой соответствуют результаты расчетов, приведенные ниже, а именно:

№х(0,Ь) = Р(Ь), -ш(0,Ь)=0, ф(0,Ь)=0 (Ь > 0), (7)

где Р(Ь) — заданная функция.

Рассмотрим частный случай, когда ядра сдвиговой и объемной релаксации материала оболочки одинаковы: Ту(Ь) = Т3(Ь) = Т(Ь), то есть Ту = Т3 = Т. Тогда система уравнений типа Тимошенко (4) принимает вид

Т) Ґ д2и щ дт\ 1 д2и

(1 - Т)

(1 - Т

к

\дх2 К дх 1 - щ ( д2т

(1 - Тт)

2

при этом

ср ді2

Ср

Ео

+ дф V дх2 дх

щ ди т + К дх К2

Р(1 — ^о2) ’

1 д2т ср ді2 '

д2ф 12к2 1 — щ Ґ дт /

дх2 Ь2 2 V дх +

с

1 д2ф 2 ді2

1 — \дх

К

Му =

ЕоЬ (Л т ( ди 1

(1 — г) щ дх: —

мх =

ЕоЬ

3

12(1 - „*){1 Т) д-’

дф

дх

Ях = к2

ЕоЬ

(1 - дх + ф

(9)

2(1 + и0

где ср — скорость распространения продольных упругих волн в оболочке, Ео, щ — мгновенные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона материала оболочки. Заметим, что совпадение ядер объемной и сдвиговой релаксации означает постоянство коэффициента Пуассона: V(Ь) = щ.

Задача в пространстве изображений

Запишем задачу (2)—(7) в изображениях по Лапласу, обозначая величинами со звездочкой трансформанты соответствующих функций, а буквой в — параметр преобразования. С этой целью ввиду сложности структуры операторов в уравнениях (2)—(4) применим для удобства интегральное преобразование Лапласа по времени не к ним, а к соотношениям линейной вязкоупругости между напряжениями ах, ау, ах, &гх и деформациями £х, еу, , егх — функциями х, г, Ь (с учетом осевой

симметрии), отсчитывая координату г от срединной поверхности оболочки по нормали к ней. Получим простые алгебраические равенства

ах

Ь*

+ є** + є**) + 2С*є*х’ а* = Ь*(є*х + є*у + є**) + 20*є

** єу ’

= Ь*(є*х + є* + є**)+20* є*’

а* = 20* є* а гх 20 єгх’

х

при этом

2

ь*(в) = в*(в) - 3а*(в), а*(в) = во(1 - т:(в)), в*(в) = Во(1 - ту(в)),

где Ту (в), Т*(в) — изображения ядер объемной и сдвиговой релаксации. Гипотеза теории оболочек а* = 0 приводит к соотношению

т *

^* ^ ( ^* \ -*\

= — т* + 2а* х + £у) ’

откуда

а*х = 1 - N2(в) [е*х + М(в)4]’ ау = 1 - ^2(в) К + М(в')£*х1]’

где

9а*в* зв* - 2а*

(в = зв* + а* ’ (в = 2(зв* + а*)' ( )

Заметим, что функции Е (в) и N (в) не являются соответствующими изображениями переменного во времени модуля Юнга и коэффициента Пуассона линейно-вязкоупругого материала оболочки. В случае же линейно-упругого материала, когда Т (Ь) = Ту(Ь) = 0, функции Е (в) и N (в) становятся константами: Е(в) = Ео, N (в) = vо.

Выполнив известные в теории оболочек процедуры [9] с учетом соотношений

йи* йх

получим изображения N*1 и Nyl усилий в срединной поверхности оболочки

£х йх’ £у Я’

= Е(ф (Ли* - Щз1 Л ^ = Е(в)Н (N (в) — - - и х 1 - ^(в)\ йх Яи )’ у 1 - №(в)\ (в’ йх Я

(11)

а также изображения М*, Ях момента и перерезывающей силы

..* Е(в)Н3 йф* * 2 Е(в)Н (йи* *\

Мх = ЩГ-ШЩ Их’ Ях = к2(1ТЩв)){ Их + ' (12)

Подставив выражения (11), (12) в преобразованные по Лапласу с учетом нулевых начальных условий уравнения (1), получим в пространстве изображений систему уравнений типа Тимошенко в перемещениях, в которой величина в рассматривается как комплексный параметр:

й2и* N йш* в2 * с ( ) Е(в)

йх2 К йх С2 4 , р в V р (1 — N2(в))

,2 1 — N ( 12т* 1ф* \ N йп* т * в2 *

* — { ххх + их) + них = С2т- (13)

12Ф* ,п,21 — N 1 11т* ,Л в2 ,*

IX2 — 12к ~~ ¥{ IX + ф ) = С2 ф ■

Преобразовав по Лапласу граничные условия (6) на бесконечности

Нш п* (х,в)=0, Нш т*(х,в)=0, Нш ф* (х,в) = 0 (14)

Х^Ж Х^Ж х^ж

и условия (7) на торце х = 0

N*(0,8) = Р * (в), т * (0,в) = 0, ф * (0,в) = 0, (15)

получаем математическую постановку задачи в изображениях (11)—(15).

Заметим, что уравнения (11)—(13) отличаются от соответствующих уравнений в изображениях для оболочки из линейно-упругого материала только тем, что вместо констант Ео, ио здесь стоят функции Е(в) и N (в), которые определяются через изображения ядер сдвиговой и объемной релаксации соотношениями (10).

В частном случае, когда Ту(Ь) = Т3(Ь) = Т(Ь), то есть Т^(в) = Т*(в) =

= Т * (в), будем иметь

Е(в) = Ео(1 — Т* (в)), N (в) = щ, Ср(в) = ер^ 1 — Т * (в), и система (13) приобретает вид

12п* щ йт* в2

йх2 К йх с2(1 — Т*)

*

и ,

к~^{ ХЇХ2 + Хїх) + пхх — К = сЦ1 — т* )т'' (16)

— пЄі-щ і (лш* + ф*^ ф*

йх2 2 Н2 у йх ) с2(1 — Т*)

причем

ы * Е0(1 — Т*)Н ( йи* щ *\ * Ео(1 — Т*)Н ( йи* 1 *

^ = 1 — V2 ( — Еш)’ ^ = 1 — V2 Р —

„,* Ео(1 — Т*)Н3 йф* _ ;2 Ео(1 — Т*)Н ((Ы* (Д

м* = —^-----к----т-, Я*т = к2—,-^ —-+ ф * . (17)

12(1 — V0) йх 2(1 + v0) \ йх )

Система (16) получается из соответствующей системы для линейноупругой оболочки формальной заменой величины в2 на величину в2/(1 —

— Т*(в)).

Данная работа представляет собой лишь начальный этап исследований влияния вязкоупругих свойств материала на нестационарные волновые процессы в оболочках, поэтому далее будем предполагать выполнение условия Ту (і) = Т3(і) = Т(і), то есть исследовать динамическую задачу

(5)—(9) и соответствующую ей задачу в изображениях (14)—(17).

Вычисление оригиналов

Рассмотрим уравнение

1 — Т * (в)=0■ (18)

В работе [11] доказано, что уравнение (18) заведомо не может иметь корни правее мнимой оси; на самой же мнимой оси таким корнем может быть лишь в = 0, причем, только при неограниченной ползучести материала. Будем считать, что изображение ядра Т* (в) не имеет особенностей при Яв(в) > 0 (что вполне физически обоснованно). Таким образом, по крайней мере, в случае, когда выполняется условие Ту(Ь) = Т3(Ь) = Т(Ь), можно сделать вывод о том, что наличие у материала оболочки свойства линейной вязкоупругости не добавляет изображениям продольного перемещения п , прогиба т и угла поворота нормали ф особых точек в правой

полуплоскости комплексной плоскости С (Яв(в) > 0) по сравнению

со случаем линейной упругости. В связи с этим методика построения решения в изображениях и последующего нахождения оригиналов путем вычисления интеграла Меллина методом Филона [12] остается такой же, как и для упругой оболочки. С помощью этой методики, изложенной в работе [8], были проведены расчеты величин, характеризующих

динамическое напряженно-деформированное состояние оболочки из линейно-вязкоупругого материала, при условии Т-у(Ь) = Т3(Ь) = Т(Ь). При всех вычислениях для поправочного коэффициента выбиралось значение

к2 = 0.87.

Прежде чем привести некоторые характерные результаты, введем безразмерные величины

- ср Ь _ х _ п _ т

= ~й; х = в; п = в; т = — и;

ж* =— ^; Р = тртн ; ТV = ВТ^

где Р(Ь) — заданная функция внешней нагрузки, входящая в граничные условия (7).

На рис. 1 изображены графики зависимости усилия Жх(ж, I) от координаты х в различные моменты времени I (5, 10, 25, 50 —

соответственно). При этом Н/К = 0.1, Ро = 1/3, а зависимость от времени функции внешней нагрузки Р(I), действующей на торец оболочки, имеет вид одиночного импульса в форме равнобедренного треугольника с высотой 1 и длиной основания, равной 2. Безразмерное вязкоупругое ядро выбрано в виде Т(I) = ае-*, (0 ^ а < 1). На всех графиках сплошная кривая без маркировки относится к результатам при а = 0 (линейно-упругий материал), кривая, отмеченная звездочками, — при а = 0.1, кривая, отмеченная кружками, — при а = 0.5.

Рис. 1. Зависимость продольного усилия от осевой координаты. Нагрузка

— треугольный импульс

На рис. 2 представлены результаты для случая, когда безразмерная функция нагрузки Р(I) представляет собой одиночный импульс в виде

прямоугольника с высотой, равной 1, и основанием,ццццццццццццццццццццццццццццццццццццццц равным 5. Прочие исходные данные те же, что и в предыдущем случае.

Рис. 2. Зависимость продольного усилия от осевой координаты. Нагрузка

— прямоугольный импульс

Графики иллюстрируют усиление влияния на волновой процесс наследственных свойств материала с ростом параметра а.

Условия соответствия между ядрами релаксации разных

видов

В ходе исследований нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости возникает вопрос о возможности замены в соотношениях (3) изначально заданных вязкоупругих ядер Т3(Ь) или Ту(1), принадлежащих некоторому классу функций, на соответствующие ядра другого класса при сохранении прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных

и начальных условий) так, чтобы это не оказало значительного влияния на переходный волновой процесс. Этот вопрос интересен как с точки зрения упрощения определяющих соотношений вязкоупругости за счет замены сложных ядер на более простые, так и с точки зрения более глубокого понимания того, какие именно параметры наследственных ядер проявляют себя в нестационарных процессах наиболее ярко. В работе [6] были представлены соотношения, выражающие близость (соответствие) между ядрами релаксации разных типов, с помощью которых предлагается производить указанную замену. Однако при этом рассматривались нестационарные задачи динамики не в рамках теории пластин или оболочек, а в рамках классических постановок задач механики деформированного твердого тела, причем только в случае конечной области распространения возмущений. В данной же работе правомерность предложенных соотношений

[6], выражающих близость наследственных ядер, будет проверена для нестационарной динамической задачи теории оболочек при бесконечной области распространения возмущений. Приведем здесь эти соотношения.

Пусть задано ядро Т\(Ь) объемной или сдвиговой релаксации (Т = Ту или Т1 = Т3) и выбран класс ядер Я, определяющийся некоторой известной функцией Т($1, §2,..., §т, £), зависящей от т числовых параметров (§1 , §2,...,§т) € О и времени £. Будем искать такое ядро Т2(Ь) = Т(§0, §0,..., §т, £) € Я, что при замене в (3) ядра Т1 на Т2 € Я решение нестационарной динамической задачи при сохранении прочих условий изменится несущественно. Предлагается гипотеза, состоящая в том, что значения §°,§°,...,§т можно найти из условия равенства длительных модулей

^ те

I Т (§1,§2,. ..,§т,£)^ = /Т^)^ (19)

О о

и минимизации по параметрам §^ интеграла (при его существовании):

СО

I [Т (§1, §2,..., §т ,*) - Т1(Щ2(И шш . (20)

о

Заметим, что здесь пока не рассматриваются математические критерии близости волновых процессов, и фраза «изменится несущественно» подразумевает визуальное сравнение графиков изменения соответствующих величин. Подчеркнем, что речь идет именно о переходных волновых процессах, и рассмотрим крайнюю ситуацию, когда ядру Т1 (£) общего вида, ставится в соответствие, согласно (19), (20), ядро Тз(£) из одной экспоненты. В работе [7] доказано, что если Т1(£) — интегрируемая с квадратом на (0, то) гладкая функция, для которой выполняется:

Нш £Т!(£) = 0; Иш Щ(1) = 0; ИТ^)/^ < 0 (I > 0),

4^+те 4^0+

то существует и притом единственное ядро Т2(£) в классе функций

Т(а, в, I) = ае-в4, 0 < а < в,

определяемое условиями (19), (20) (а = 51, в = ^2). При этом

То(*) = Т (ао,во,^) = аое-во 4, ао = во Т*(0), (21)

где во — единственный положительный корень алгебраического уравнения

И

Т*(0) - 4- [вТ1*(в)1 |в=в =0 (в> 0), (22)

Т*(5) — Лапласова трансформанта Т1(£).

В частном случае, когда исходное ядро задано в виде конечной суммы экспонент:

П

' а,:е-А*

г=1

Т*(0) = ^ аг/вг, вг > 0, 0 < Т*(0) < 1,

а

г=1

уравнение (22) принимает вид

П / /Э'

^аг ( в

/ 7Т 1 - 4------ —о =0, (24)

г=1 вг V (вг + в) /

а параметр ао искомого ядра Т2(£) находится из соотношения

п

ао = во ^ аг/вг.

г=1

Именно для этого частного случая в данной работе и проверялась правомерность соотношений (19), (20) как условий соответствия между ядрами релаксации. Методика была следующей. Выбиралось ядро Т1(£) в виде суммы нескольких экспонент (более одной) и при этом ядре проводились вычисления прогиба, продольного перемещения, угла поворота нормали, усилий, момента, перерезывающее силы как функций координаты в разные моменты времени. Далее строилось ядро Т2(£) в виде (21) путем вычисления корня уравнения (24) и находились те же величины при тех же геометрических и физических условиях, но уже с ядром Т2(£); затем результаты расчетов при разных ядрах сравнивались между собой.

Представим на рис. 3 некоторые характерные результаты расчетов в виде графиков зависимости от координаты х значения усилия Nх(Х, I) в разные

фиксированные моменты времени I = 5, 10, 25, 50 при трех различных ядрах релаксации Т(I) = Т 1,Т2,Т3.

Рис. 3. Продольное усилие при различных ядрах релаксации. Нагрузка

треугольный импульс

Все графики на рис. 3 соответствуют граничным условиям (7), когда функция нагрузки Р (I) имеет вид одиночного импульса в форме равнобедренного треугольника с высотой 1 и длиной основания равной 2. Здесь по-прежнему Л,/Л = 0.1, V) = 1/3. Для всех моментов времени сплошная кривая относится к результатам при исходном ядре Т1 вида

(23): Т 1(1) = 0.2 е-1'64 + 0.12 е-°'8* + 0.04 е-°'4*. Штриховая кривая, близкая к сплошной или сливающаяся с ней, относится к результатам при ядре Т2(1) = 0.34е-о'°* вида (21), где во — приближенное решение уравнения

(24). Кривая с маркерами дана для сравнения и иллюстрирует результаты при ядре Т3(1) = 0.68е-1'84, для которого из условий (19), (20) выполнено

только первое, то есть во не является корнем уравнения (24). Прочие исходные данные для всех трех кривых остаются одинаковыми. Как видно из рисунков, волновые процессы при ядре Т2, построенном по ядру Т1 с помощью соотношений (19), (20), несущественно отличаются от волновых процессов при исходном ядре Т1 .

На рис. 4 изображены результаты для случая, когда функция нагрузки Р(I) имеет вид «единичной ступеньки» (функции Хевисайда), а прочие исходные данные остались прежними (рис. 3). Сплошные кривые, штриховые (практически совпадающие со сплошными) и кривые с маркерами относятся к результатам соответственно при Т(I) = Т 1,Т2,Тз; штрих-пунктирными кривыми отмечены результаты для той же оболочки в отсутствии вязкости (Т (I) = 0).

Рис. 4. Продольное усилие при различных ядрах релаксации. Нагрузка —

функция Хевисайда

В случае нагрузки в виде ступеньки волновые процессы при ядрах Т1 и Т2 практически одинаковы. Различие графиков при ядрах Т1 и Т3 наблюдается для времен, не слишком больших по сравнению с временем пробега упругой волной характерного размера Л, однако, с течением времени оно все менее существенно. Для относительно больших времен основным параметром, характеризующим влияние наследственных свойств материала на динамический процесс, становится величина Т* (0), характеризующая длительные модули (здесь Т*(0) Т|(0) = Т*(0) « 0.38). Это согласуется с результатами [13] для одномерной продольной волны в полубесконечном линейно-вязкоупругом стержне, вызванной воздействием на его торец нормального осевого напряжения в виде функции Хевисайда по времени; аналогичный эффект будет и при движении одномерной плоской волны в линейно-вязкоупругом полупространстве.

Представленные результаты показывают принципиальную возможность найти среди ядер релаксации, состоящих всего из одной экспоненты, те, которые окажут на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих оболочках практически такое же влияние, что и регулярные ядра в виде суммы нескольких экспонент. Условия соответствия между вязкоупругими ядрами, предложенные для задач о переходных волновых процессах в рамках классических постановок задач механики деформированного твердого тела при ограниченной области распространения возмущений, оказались правомерными и для цилиндрической оболочки бесконечной длины, подверженной воздействию нагрузки в виде одиночного импульса или функции Хевисайда. Заметим, что в данной работе приведены лишь отдельные характерные результаты выполненных расчетов. Их следует расценивать как предварительный этап дальнейших исследований влияния наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в твердых деформируемых телах, рассматриваемые в рамках теории вырожденных систем — пластин и оболочек.

Список литературы

1. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикладная механика. 1990. Т. 26. № 2. С. 63-71.

2. Кудайназаров К. Продольный удар по круговой цилиндрической вязкоупругой оболочке // Изв. АН УзССР. Сер. Техн. науки. 1990. № 3. С. 31-37.

3. Егорычев О.А., Поддаева О.И. Продольный удар по торцу круговой

цилиндрической вязкоупругой оболочки // Фундаментальные науки в современном строительстве: сб. докл. III научно-практической и

учебно-методической конф., М.: МГСУ, 2003. С. 20-24.

4. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. 2000. № 2. С. 17-24.

5. Абросимов Н. А., Куликова Н. А. Расчетно-экспериментальный метод идентификации вязкоупругих характеристик композитных материалов в

динамически нагруженных оболочках вращения // Механика композитных материалов. 2007. Т. 43. № 4. С. 449-464.

6. Пшеничнов С.Г. О влиянии параметров ядер релаксации на волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах // Искусственный интеллект в технических системах: сб. науч. тр. М.: Гос.ИФТП, 2002. С. 60-73.

7. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Об условиях эквивалентности для наследственных ядер в нестационарных задачах линейной вязкоупругости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 2. С. 177-189.

8. Нетребко А.В., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. О решении уравнений динамики цилиндрических оболочек методом интегральных преобразований // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 147-157.

9. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

10. Колтунов М.А . Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

11. Пшеничнов С.Г. К вопросу об исследовании нестационарных процессов в линейно-вязкоупругих телах при переменном коэффициенте Пуассона // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 2. С. 116-126.

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

13. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

Нетребко Алексей Васильевич (alexnetrebko@rambler.ru), д.ф.-м.н., вед. научн. сотр., Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Пшеничнов Сергей Геннадиевич (serp56@yandex.ru), д.ф.-м.н., вед. научн. сотр., Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Visco-elastic material properties manifestation in the nonstationary dynamic problems for cylindrical shells

A.V. Netrebko, S.G. Pshenichnov

Abstract. The problems describe the wave transient in linearly visco-elastic circular cylindrical shell are considered. The dynamic analysis is complete by the instrumentality of integral Laplace transformation and following original functions construction. The results from half-infinite visco-elastic shell under concrete data are obtained. These results illustrate the effect of visco-elastic material properties on the wave transient.

Keywords: dynamics of cylindrical shells, visco-elastic waves, Laplace transformation, relaxation kernels.

Netrebko Alexei (alexnetrebko@rambler.ru), doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.

Pshenichnov Sergey (serp56@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher, Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University.

Поступила 12.02.2013