CC BY
27
Выражения для функций с младшими номерами п находятся по таблицам преобразований, а функции со старшими номерами могут быть определены с помощью рекуррентных соотношений, найденных по теореме о дифференцировании изображений.
Окончательно имеем следующее решение для изгибающего момента: G¡ =Ic{Dlc(y,T)(\-aC\+a3Cl)+Dls(y,z)(-aC¡ + а2 С? - а3С3) + + D2c(y,x)(-aC2 + 4а3С2С2) + D2s(y,i)(-aC2 + 2а2С,С2 - 4а3С2С2) + + D3c(y,x)(-aC3 + а3(ЗС,С22 + ЗС2С3)) + D3s{y,x)(-aC3 + + а2(2С]С3 + С2) - a3 (3C¡C2 + ЗС2С3 )) + ...}.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Работное Ю. И. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1974. 338 с.
2. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego, 1998. 226 p.
УДК 533.6.011:539.5
В. М. Гурьянов, М. В. Антонова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В ФЛЮИДОНАСЫЩЕННЫХ РЕЗЕРВУАРАХ
Введём следующие обозначения: а - тензор напряжений, 8 - тензор малых деформаций, Е - единичный тензор, Р - вектор плотности массовых сил, и - вектор смещений, X, ¡л - константы Ламе, с - плотность среды, х, у, г - декартовы координаты, к - волновое число, п - коэффициент поглощения, а, (г = 0,1,...,А/), Ь ■ (/' = 0,1,...Д) - реологические константы,
со - угловая частота, V - скорость волны в вязкоупругой среде, V, -скорость волны в упругой среде, т, - время релаксации деформации
л 52 52 52
(время запаздывания), т2 - время дисперсии волн, Д = —- Н--- н--— -
дх' ду дх
лапласиан.
Определяющее уравнение для общего случая упруго сжимаемой линейной вязкоупругой среды при условии постоянства температуры запишем следующим образом [1]:
Г 2 2
divuE. (1)
Здесь R - линейный дифференциальный оператор
51 "" " дг
'V - N
2 4
Далее будет полезен оператор £> = (А. + — ц) + — цЛ
Уравнение движения деформируемой изотропной сплошной среды с определяющим уравнением (1) при отсутствии массовых сил для скалярного потенциала (Ф) Ламе имеет вид
Э2Ф
0ДФ-С — =0. (3)
дг
Применим к уравнению (3) метод разделения переменных, представляя потенциал в виде произведения Ф = ф(х,_у,г)7'(0 • В результате получим
Аф +Аг2ф = О, ГЧ —0Г=О. (4)
с
Из уравнений (4) следует, что все особенности вязкоупругой среды сосредоточены в уравнении для функции времени (7"(/)) и не зависят от пространственных переменных и от размерности пространства. Поэтому на данном этапе исследований ограничимся рассмотрением плоских продольных волн. Для них уравнение движения для смещения и(х,€) = Х(х)Т(0 принимает вид
Х"()Г-сХТ" = 0. (5)
Из уравнения (5) получаем
Х" + к2Х= 0, (6)
к2
ГЧ—£?Г=0. (7)
с
Положим Ь0 = 1, ¿>! = Ь2 = . Остальные константы Ь1 (/ = 3,4,...) выберем такими, чтобы уравнение (7) приняло вид
I
Т = 0. (8)
Гд2 д + 2п — + а
—<2Т =
с
\д'2 д< У
Здесь
с( 1 + 2утз) 1 + 2ухг Зс
При следующих соотношениях:
со = ^1а2-п2 = кУ, а1 -п2 > 0, (10)
общее решение уравнения (7), описывающее колебательный процесс, имеет вид
Т(0 = £ ехр(-«г ± ко/) (я = 0,1,2,...), (11)
у=о
которое можно рассматривать как обобщение импульса Берлаге.
На основе представления смещения в разделённых переменных известного решения уравнения (6) и уравнения (8) запишем смещение и(;с,/) в виде бегущих простых волн:
и(х,г) = 5ш(со(/±^))+ О. яп(т(г ± ~ ---))). (12)
у=о У ' V 2ю
Здесь /У,, - произвольные константы. Верхний знак «+» в (12) определяет волну, бегущую против направления оси Ох, а нижний знак «-» — в направлении той же оси. Из уравнения представления смещения в разделённых переменных и уравнения (6) для плоских волн можно получить следующий вид тензора напряжений:
сУ2 д\ со2 dxdt2
(13)
Равенство (13) используется при разрешении условий контакта вяз-коупругой и упругой сред.
Реологические константы п, со, У, с = (1 -kn)cs резервуара либо измеряются, либо определяются варьированием в процессе обработки результатов наблюдений.
Феноменологические константы Bjt Dj (j = 0,1,...,s) совместно с
реологическими позволяют по произвольному импульсу падающей волны из упругой среды в вязкоупругую (резервуар) вычислить отражённую и преломленную волны в окрестности границы между средами и в средах.
Представив известную падающую на границу х — 0 со стороны упругой среды волну в виде обобщённого импульса Берлаге при условии, что
х
и„ = 0 перед фронтом t----= 0 волны (среда находится в покое), и разре-
V]
шив известные условия контакта упругой и вязкоупругой сред (равенство смещений и напряжений на границе х = 0), получим преломленную и отражённую волны, которые содержат волны, запаздывающие по времени на
71
2ю
Заметим, что при п = 0 (нулевая вязкость (цт, =0) флюида) запаздывающие волны исчезают. Это - один из признаков дифференциации флюидов по вязкости.
Выводы
Построена и исследована математическая модель явления распространения сейсмических волн в флюидонасыщенных резервуарах с доминированием твёрдого скелета. Все особенности волнового поля заключены во временной составляющей этого поля и не зависят от геометрии границы резервуара, и точно описываются плоскими волнами.
188
Определена граница существования волнового процесса и его прекращения вследствие диссипации механической энергии. Получены точное общее представление плоских волн, которое можно рассматривать как обобщение импульса Берлаге, и выражение тензора напряжений для случая плоских волн.
Определены границы основных измеряемых параметров модели, определяющие особенности волнового движения: диапазон изменения скорости распространения волн в резервуаре (0 < V < (А. + 2ц)/с), влияние вязкости среды на затухание волн, влияние частоты и скорости на волновое число, важное для представления движения в форме бегущих или стоячих волн при прикладном использовании модели.
Заметим, что скорость в вязкоупругой среде (V) уменьшается не только за счёт увеличения вязкости среды, но и за счёт времени дисперсии волн. Вариацией их значений можно получить любую скорость V (О < V < (А. + 2|i)/c) вплоть до близкой к нулю, т.е. получить отсутствие волнового движения в вязкоупругой среде или, иными словами, полное отражение от границы. Этим объясняется в рамках созданной модели появление феномена «яркого пятна» на сейсмограмме.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Freudental A.M., Geiringer Н. The mathematical theories of the inelastic continuum. N.Y.: Springer-Verlag, 1958.
УДК 531.389, 629.782 О. В. Зелепукина, Ю. Н. Челноков
ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ ОПТИМАЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
1. Уравнения движения. В случае использования в качестве управления ориентацией космического аппарата (КА) вектора кинетического момента уравнения движения динамически симметричного КА, записанные в базисе Y*, вращающемся с абсолютной угловой скоростью, колли-неарной вектору кинетического момента, имеют вид
I = (1/(2/1))* ° Ly. , ё = ((Л - C)/(AC))L3, A,=z°p, p = cos(e/2)-/3sin(e/2), Lx ° z = z ° LY* = z ° p ° LY ° p. (1) Здесь А. = X0 + Aj/'i + A.2/2 + X3i3, z = z0 + Zji) + z2i2 + z3/3 - нормированные кватернионы поворотов, характеризующие ориентацию КА и базиса Y" в инерциальном базисе X; А, С - моменты инерции К А относительно осей OY\ (OYi), OY3 жёстко связанного с ним базиса Y; L - вектор кинетическо-
189
