CC BY
42
РА Сафонов. Численное решение задач статического изгиба п установившихся колебаний
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА И УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Р.А. Сафонов
Саратовский государственный университет,
кафедра математической теории упругости и биомеханики
E-mail: safonovra@gmail.com
В работе рассмотрена применение метода сплайн-коллокации для численного решения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. Приводятся максимальные значения перемещений и первые три резонансные частоты стальных оболочек.
Ключевые слова: статический изгиб тонкой оболочки, установившиеся колебания, метод сплайн-коллокации.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Static Bending and Steady-State Vibrations of Thin Cylindrical Shells Under Local Load
R.A. Safonov
Saratov State University,
Chair of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics E-mail: safonovra@gmail.com
The spline collocation method is being used for solving static bending and steady-state vibrations ploblems for thin cylindrical shell under local loads. Maximum displacement values and first three resonance frequencies are given.
Key words: static bending of thin shells, steady-state vibrations, spline collocation method.
В работе рассматривается в рамках модели Кирхгофа - Лява тонкая круговая цилиндрическая оболочка из изотропного материала. Оболочка совершает установившиеся колебания под действием распределенных по одной из лицевых поверхностей локальных усилий, гармонических по времени. В срединной поверхности оболочки введена триортогональная система координат (а, в, Y). Безразмерные координаты а и в отсчитываются по образующей и в окружном направлении соответственно, а y — по нормали к срединной поверхности.
Схематическое изображение такой оболочки представлено на рис. 1. Компоненты вектора перемещений обозначим (u, v, w). Геометрия оболочки задается параметрами
A = l = const, B = Яф = const,
ki =0, k2 = 1 = const, 1 ' 2 R '
где l — длина оболочки, R — радиус кривизны срединной поверхности, ф — угол раствора оболочки, 5 — стрела подъема оболочки (см. рис. 1). Отметим, что при таком способе параметризации плану оболочки соответствует единичный квадрат в координатах (а, в).
В дальнейшем будем считать, что зависимость всех характеристик НДС оболочки и внешней нагрузки от времени имеет вид
q (а, в, t) = Q (а, в) cos (ut). (1)
Система разрешающих уравнений для такой оболочки построена в [1]. Если воспользоваться формулой (1), разрешающие уравнения можно записать в относительно амплитуд перемещений
Рис. 1. Схема оболочки
LnU + L12 V + L13 W = -X, L21U + L22 V + L23 W = -Y, L31U + L32 V + L33 W = -Z.
(2)
L
ы
В этой системе X, У и Z — компоненты амплитуд приложенных к оболочке внешних усилий, дифференциальные операторы, имеющие значения
© Р.А. Сафонов, 2011
95
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
_ D11 д2 + C66 д2 + , 2 Ll1 _ + + '
L12 _
Ciiv + ys д2 АБ дадв'
L13 _
Сц д
a да
L21 _
С22 V + Сбб - D66 д2
АБ
дадв'
С66 + D66 д2 С22 д2 2
L22 _-А-+ дв^ + '
L2.3 _ —
L31 _ —
D22vk2 — 2D66 k2 д3
А^Б да2 дв
С22 vk2 д 2D66 k2 д3
+
С22 k2 — D22 д D22 k2 д3
Б
дв
А да АБ2 дадв2'
^22^2 д L32 _--^— ттг; +
Б3 дв3 ' 2D66 k2 д3
Б дв А2Б да2дв'
L33 _ —k2 С22 —
D11 vk2 д2 D22д2 D11 д4 D22 д4
А2 да2 Б2 дв2 А4 да4 Б4 дв4
(D11 + D22 )+4D.
66
д4
А2Б2
да2дв2
+ phw .
Коэффициенты D, и С, имеют значения
D11 _ D22 _
Eh3
22
12(1 — v 2)'
D66 _
Eh3
24(1 + v )'
Сц _ С22 _
Eh
22
(1 — v 2)'
С66 _
Eh
2(1 + v )
Если ввести дополнительно гипотезы теории пологих оболочек [1], то операторы Ь^ перепишутся в виде
+ д2
L _ D11 д2 + С66 д2 + h 2
L11 _ "Ж + б2 дв2 + '
L12 _
АБ дадв'
L21 _
C22V + С66 д2
АБ
дадв'
С66 д2 . С22 д2 . , 2 L22 _ А" + Б^ дв2 + '
L13 _
L23 _
С11 у^2 д
a да
C22^2 д Б дв'
L33 _ —С22 —
L31 _ —
D11 д4
C22Vk2 д
L32 _ —
С22&2 д
А да' Б дв'
D22 д4 V (D 11 + D22) + 4D66
д4
А4 да4 Б4 дв4
А2 Б 2
да2дв2
+ ph^2
При постановке краевой задачи для приведенной системы уравнений необходимо на каждом крае оболочки записать по четыре граничных условия. В случае жесткой заделки края а _ const имеем.
U _ V _ W _ Wia _ 0.
Шарнирно закрепленному краю соответствуют условия
W _ 0' V _ 0' U _ 0' W,aa _ 0.
Для края в _ const граничные условия имеют аналогичный вид.
Локальные усилия, приложенные к внешней поверхности оболочки, будем задавать функцией вида
Q (а'в)_ Сcosk [2-%%I -
2 -ax |/ (а' в)|
Функция f (а' в) задает кривую, вдоль которой приложена локальная нагрузка. Коэффициент С связан с равнодействующей Q приложенной нагрузки соотношением
k Гп |f (а'в)|
С J cos
S
2 -ax |f (а'в)|
ds _ Q'
где Б — область оболочки.
В случае, когда показатель степени к имеет достаточно большое значение, при удалении от зоны приложения нагрузки значения функции / очень быстро убывают от своего максимума до значений, практически неотличимых от нуля.
Все изложенные выше выкладки сохраняют справедливость при решении задач статического изгиба оболочки. В этом случае вместо амплитуд в уравнениях (2) будут фигурировать сами характеристики НДС оболочки, а значение частоты внешней нагрузки и будет равно нулю.
РА Сафонов. Численное решение задач статического изгиба и установившихся колебаний
2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Поставленную в предыдущем параграфе задачу при фиксированной частоте внешней нагрузки ш приведем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сплайн-коллокации [2].
Для аппроксимации перемещений в тангенциальных направлениях используем базисные сплайны третьей степени, а для нормального перемещения w необходимо брать сплайны пятой степени [3]
N+ 1 N+ 1 N+2
U =Y, Bj (в) и (а), V = £ B3j (в) V (а), W = £ B6tj (в) Wj (а). (3) j=-1 j=-1 j=-2
Для простоты полагаем, что условия закрепления краев в = 0 и в = 1 допускают применение классического метода сплайн-коллокации [2]. Согласно этому методу, граничные условия на указанных краях удовлетворяются тождественно подбором линейных комбинаций B-сплайнов. Формулы (3) в этом случае перепишутся в виде
N N N
U = 5>j (в) Uj (а), V = £ ф, (в) Vj (а), W = £ щ (в) Wj (а). (4)
j=0 j=0 j=0
Система разрешающих уравнений (2) записывается с учетом (4) в точках коллокации в = вГ [5]. В результате имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Wj, Uj и Vj .В этих уравнениях присутствуют производные составляющих нормальных перемещений до четвертого порядка включительно и производные составляющих тангенциальных смещений до второго порядка включительно. Краевыми условиями для этой системы уравнений являются граничные условия на краях а = 0 и а = 1, записанные с учетом (4) в точках коллокации.
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений с граничными условиями на обоих краях интервала интегрирования. Поскольку любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно привести к нормальной форме Коши, для решения краевой задачи такого вида можно использовать ряд численных методов, среди которых стоит отметить метод дискретной ортогонализа-ции С.К. Годунова [4], метод А.А. Абрамова [5] или метод Ю.И. Виноградова [6]. В данной работе использовался метод дискретной ортогонализации.
При решении задач вибрационного изгиба особое значение имеет определение резонансных частот оболочки. Описанный подход позволяет определить амплитуды характеристик НДС пластинки при фиксированной частоте колебаний. Для вычисления резонансных частот оболочки следует построить зависимость амплитуд характеристик НДС пластинки от частоты ш и по ней определить точки, в которых имеется резонанс. Критерием резонанса является смена монотонности максимального значения характеристик НДС. Построение аналогичной зависимости с меньшим шагом в окрестностях найденных точек резонанса позволит уточнить значения резонансных частот.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В качестве примеров применения изложенной методики был решен ряд задач для стальных оболочек (E = 2 * 1011 Па, v = 0.3, р = 7800кг/м3) с жестко заделанным контуром.
Размер плана оболочки по направлению координаты в равен 1м, толщина h = 0.01м, длина образующей варьировалась. Задачи решались при нескольких значениях стрелы подъема оболочки <5. Радиус
кривизны и угол раствора оболочки, соответствующие этим значениям стрелы подъема, приводятся в табл. 1.
Максимальные значения перемещений при статическом изгибе и первые три критические частоты оболочки приводятся в табл. 2 и 3 соответственно. Верхний индекс 1 в табл. 2 и 3 соответствует классической теории оболочек, а индекс 2 — теории пологих оболочек. Внешняя нагрузка при вычислениях задавалась формулой
Q (а, в) = Ccosk |а - а|] , k = 5000, а = 0.5.
Таблица 1
k 5, м R, м Ф
1 0.01 12.5050 0.0800
2 0.1 1.3000 0.7896
3 0.2 0.7250 1.5220
Механика 97
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
Как и следовало ожидать, вычислительные эксперименты показали, что при увеличении длины образующей оболочки жесткость оболочки снижается. Увеличение стрелы подъема оболочки приводит к появлению расхождения между результатами, полученными по классической теории и по теории пологих оболочек, однако при рассмотренных значениях стрелы подъема это расхождение остается незначительным.
Таблица 2
Максимальные значения перемещений при статическом изгибе оболочки
5, м Величина с = ¿/2Д вт (Ф/2)
0.2 0.5 1.0 2.0 5.0
10-6 -ш1 и,/тах 0.044 1.490 8.935 20.309 47.055
10-6 ад2 ^тах 0.044 1.490 8.934 20.306 47.049
0.01 .. ~ — 9 1 10 итах 10-9и2 х\у ч-тах 0.018 0.018 0.997 0.996 9.952 9.949 28.574 28.572 73.902 73.910
10-8V1 ^тах 0.007 0.585 4.621 10.901 25.822
10-8V2 ^тах 0.007 0.584 4.617 10.893 25.805
10 ^т ах 0.369 2.525 5.265 9.853 17.828
10 ^т ах 0.369 2.524 5.263 9.848 17.817
0.1 10-9п1 х\у ч-тах 10-9п2 XV/ ч-тах 0.143 0.143 2.007 2.006 6.191 6.189 13.719 13.716 28.909 28.908
10-9V1 ^тах 0.593 8.219 17.974 35.134 75.036
10-9V2 ^тах 0.590 8.198 17.931 35.056 74.885
10 ^т ах 0.274 1.065 2.072 3.614 5.680
10 ^т ах 0.274 1.063 2.068 3.607 5.667
0.2 .. ~ — 9 1 10 и тах 10-9п2 ах 0.188 0.188 1.642 1.640 4.616 4.607 9.952 9.932 21.306 21.243
.. ~ — 9 1 10 ^ т ах 0.735 4.732 9.510 17.954 35.204
10-9V2 ах 0.730 4.711 9.471 17.888 35.169
Таблица 3
Первые резонансные частоты оболочки при вибрационном изгибе
5 и с
0.2 0.5 1.0 2.0 5.0
и1 8829 1625 695 530 500
и? 8830 1625 695 530 500
0.01 и1 и2 10090 10090 3030 3030 2130 2130 840 840 935 935
из 12608 5735 3825 1485 1170
и2 12610 5735 3825 1485 1170
и1 9635 3255 2025 1665 1575
и1 9635 3260 2035 1670 1585
0.1 и2 и2 10470 10475 4140 4140 3680 3680 2405 2410 1925 1930
из 12605 5685 4080 3450 2260
и2 12610 5695 4085 3460 2265
и1 11160 4085 2270 1520 1310
и1 11170 4105 2290 1545 1335
0.2 и1 и2 12630 11380 5210 5230 3930 3955 2895 2915 1545 1565
51 15285 7000 5345 3615 2035
52 12650 7010 5365 3640 2060
Б.А. Снигерев, Ф.Х. Тазюков. Об особенностях неизотермического обтекания сферы
Библиографический список
1. Амбарцумян, С.А. Теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян / под ред. И.К. Снитко. М.: Физмат-гиз, 1961. C. 384.
2. Григоренко, Я.М. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (обзор) / Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюков // Прикл. механика. 1995. Т. 31, № 6. C. 3-27.
3. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. М.: Наука, 1980. C. 352.
4. Годунов, С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний / С.К. Годунов // УМН. 1961. май - июнь. Т. XVI, № 3(99). C. 171-174.
5. Абрамов, А.А. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) / А.А. Абрамов // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1961. Т. I, № 3. C. 542-545.
6. Виноградов, Ю.И. Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики / Ю.И. Виноградов, А.Ю. Виноградов, Ю.А. Гусев // Мат. моделирование. 2002. Т. 14, № 9. C. 3-8.
УДК 532.517.2:534.2
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБТЕКАНИЯ СФЕРЫ ПОТОКОМ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В СТЕСНЕННЫХ УСЛОВИЯХ
Б.А. Снигерев1, Ф.Х. Тазюков2
1 Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН, лаборатория моделирования технологических процессов;
2 Казанский государственный технологический университет, кафедра теоретической механики и сопротивление материалов
E-mail: Snigerev@mail.knc.ru, Tazyukov@mail.ru
Исследуется структура течения и теплообмен при обтекании сферы осесимметричным потоком вязкоупругой жидкости. Движение жидкости описывается уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненные определяющим реологическим конститутивным соотношением состояния среды Фан-Тьен Таннера. Показано, что ползущее течение вязкоупругой жидкости в следе за сферой во многом отличается от ньютоновского. Отличия проявляются в нелинейном характере структуры течения и образовании так называемого «отрицательного следа». Численно показано существенное влияние температурного напора между сферой и средой, времени релаксации напряжений жидкости на характер нелинейного течения в следе. Исследованы гидродинамика и теплообмен при неизотермическом обтекании сферы вязкоупругой жидкостью с граничными условиями прилипания или частичного проскальзывания на твердой поверхности сферы.
Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, осесимметричное течение, теплообмен.
The Feature of Non-Isothermal Viscoelastic Flows Around Sphere at Obstruction Condition
B.A. Snigerev, F.K. Tazyukov
1 Institute of Mechanics and Engineering RAS, Laboratory of Modelling of Technological processes; 2Kazan State Technological University, Chair of Mechanical Engineering E-mail: Snigerev@mail.knc.ru, Tazyukov@mail.ru
The numerical study is performed for study of the viscoelastic flow characteristics and heat transfer around sphere. The flow of liquid is described by equations of conservation of mass, momentum and thermal energy with rheological constitutive equation of Phan-Thien Tanner (PTT). This model represents generalized Maxwell type model with two additional parameters developed from kinetic theory of polymers. The nonlinear behaviour of fluid velocity behind body («negative wake>>) is observed. The paper numerically shows the essential influence of relaxation time and heating of sphere for viscoelastic structure of the flow in wake. The heat transfer exchange in non-isothermal flow around sphere with slip and noslip condition on walls has been investigated.
Key words: viscoelastic fluid, axisymmetric flow, heat transfer.
ВВЕДЕНИЕ
Движение тел сферической и закругленной формы в жидкостях, обладающих неньютоновскими свойствами применяется в вискозиметрии при измерении вязкости жидкостей, в том числе растворов и расплавов полимеров. Экспериментальные и численные исследования обтекания тел потоком вяз-коупругой жидкости позволили обнаружить неньютоновское поведение жидкости в следе за сферой, проявляющееся в том, что скорость восстанавливается из нулевого значения на твердой стенке до скорости в основном потоке немонотонно [1, 2]. В настоящей работе методами численного моделирования исследуются структура течения и теплообмен при обтекании сферы потоком вязкоупругой
© Б.А. Снигерев, Ф.Х. Тазюков, 2011
99
