Ползущее течение вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью в условиях неизотермичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

вращения // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.- тр. 6-й межвуз. конф. Самара, 1996. Ч. 2. С. 93-94.

мат. науки. 2004. Вып. 30. С. 83-91. 34. Сеницкий Ю.Э., Козьма И.Е. Дифференциальные

33. Сеницкий Ю.Э., Сеницкий А.Ю. О вычислении уравнения колебаний трехслойных ортотропных оболо-

скалярного произведения в формуле обращения биор- чек с конечной сдвиговой жесткостью // Тр. XXI Меж-

тогонального конечного интегрального преобразования дунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов,

// Математическое моделирование и краевые задачи: 2005. С. 207-216.

УДК 532.517.2:534.2

ПОЛЗУЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ В УСЛОВИЯХ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ

Б. А. Снигерев, К. М. Алиев1, Ф. Х. Тазюков1

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, лаборатория моделирование технологических процессов; 1 Казанский государственный технологический университет, кафедра теоретической механики и сопротивление материалов E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Работа посвящена моделированию медленного движения вяз-коупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующейся при входе полимерной жидкости в формующую насадку и выхода из нее. Движение жидкости описывается уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненными реологическим уравнением состояния среды Гиезекуса. На основе метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи. Проведены численные исследования по определению формы выходной струи для различных режимов течения и формы насадки. Исследована картина распределения скорости жидкости, давления, напряжений и температуры при увеличении степени нагрева стенки насадки. Получены численные результаты зависимости эффекта разбухания полимера от параметров реологической модели и температурных факторов.

Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, реологическая модель Гиезекуса, течение со свободной поверхностью.

Creeping Flow of Viscoelastic Fluid with Free Surface at Non-Isothermal Condition

B. A. Snigerev, K. M. Aliev1, F. Kh. Tazyukov1

Institute of Mechanics and Engineering RAS, Kazan, Laboratory of Modelling of Technological Processes; 1 Kazan State Technological University, Chair of Mechanical Engineering E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Numerical simulation flow of viscoelastic fluid with free surface, which is realized in entrance and output flow in extrusion die was performed. The flow of liquid is described by equations of conservation of mass, momentum and thermal energy with rheological constitutive equation of Giesekesus. On basis of finite element method the stable numerical scheme was developed to solve this problem. Different numerical experiments was performed to define the configuration of outflow jet in various regimes and construction of die. The distribution of flow velocity fields, pressure and temperature are investigated on dependence of heatingthe walls. The ratio of extrusion in dependence of parameters the rheological model are investigated.

Key words: viscoelastic fluid, Giesekesus model, free surface flow.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в промышленности переработки полимеров большое внимание уделяется интенсификации существующих процессов и производств, при этом все больше внимания уделяется качеству производимых изделий. Индустрия переработки полимерных материалов базируется в основном на двух основных типах производств — литьё под давлением и экструзия [1, 2]. Под термином «экструзия» имеется в виду непрерывный процесс формования длинномерных изделий, заключающийся в придании материалу требуемой формы в результате продавливания его через профилирующий канал. Экструзия дает возможность формовать погонажные профильные изделия, прежде всего пленки во всем их многообразии и длиномерные профили, включая трубы и профильные уплотнения. При помощи литья под давлением производится огромное многобразие объемных изделий.

Экспериментальные и теоретические исследования [1, 2] показывают, что характер течения полимерной жидкости в формующих элементах насадки (фильере) и в выходной струе определяется совокупностью фактров, которые можно разделить на три группы:

- гидродинамические и реологические факторы: расход массы в насадке, определяемый производительностью перерабатываемого оборудования; геометрические характеристики формующей насадки;

физико-механические свойства полимерной жидкости (плотность, вязкость, реологические характеристики и пр.); массовые силы;

- теплофизические факторы: температурный режим эктрузии (температура поступающей полимерной жидкости, температура и изоляционные качества стенок насадки и фильеры, температура окружающего воздуха) и теплофизические свойства полимерной жидкости;

- физико-химические факторы: факторы связанные с процессами отверждения и, в конечном счете, определяющие время и характер действия первых двух факторов.

В соответствии с вышеизложенным особую актуальность приобретает разработка математических моделей, методов расчета и оптимизации процесса экструзии с последующей проверкой и внедрением полученных результатов в производство. К настоящему времени число работ, посвященных исследованию гидродинамических и тепловых процессов в канале формующей головки и экструзии из формующей насадки, незначительно.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе рассматривается вытекание упруговязкой жидкости из цилиндрической ступенчатой щелевой насадки, схема которой представлена на рис. 1. На рисунке Н обозначает радиус узкого канала выходной части насадки, 4Н — радиус трубы на входе, Н1 = 0.5Н — длина закругленной части, Ь — длина выходной части насадки. Рассматривается влияние длины выходной части насадки Ь на степень разбухания полимерной жидкости в процессе экструзии. Рассматриваются значения, равные Ь = 0, 2Н, 4Н, 10Н. Анализируется также влияние реологических параметров конститутивного соотношения Гиезекуса на характер истечения из насадки.

Введем следующие обозначения границ: $1 — входное сечение, $2 — выходное сечение струи, $з — твердая стенка формующего канала, — граница, являющаяся осью симметрии области, — часть границы, приходящаяся на свободную поверхность.

Исходной является система уравнений законов сохранения массы, импульса, энергии, для замыкания которой привлекается конститутивное реологическое соотношение Гиезекуса [3-5]:

1,,,,, 1,,,

4к

1

Рис. 1. Схема вытекания упруговязкой жидкости из осесимметричной ступенчатой насадки

( дУг

Ч^т+У

дУг

дхз

дР дт,.

дхг

+

дхз '

дУг

дхг

= 0,

(1)

т,з = т,7- + 2пы ,

5тгз

5Ь

дту

г3

дЬ

+ Ук

дт}

дхк дх

дУк у ткз

дх

т} , тгк,

5т У

ту + А—3

тз + А 5Ь

+ ^ = 2ПУ Вгз,

Аз = -

гз 2

дуг + ду з дхз дхг

дср

дТ дТ\ в2 т . ^ .

Ж + Узэх,) = кдх2 + (тгз зг)'

(2)

В системе уравнений (1)-(2) уг — компоненты скорости жидкости, Р — давление, тгз- — девиатор напряжения, т} — вязкоупругая часть напряжения, Т — температура жидкости, пу— динамические вязкости полимера и растворителя соответственно, ср — теплоемкость жидкости при постоянном давлении, к — коэффициент теплопроводности, А — время релаксации напряжений полимерной жидкости. Для зависимости вязкости и времени релаксации от температуры используется соотношение Аррениуса [4]

П(Т) = поа(Т), А(Т) = Аоа(Т), а(Т) = ехр[А(1/Т - 1/То)], А = Е/Я,

где индекс 0 означает, что значение параметра вычисляется при температуре Т0, Е — энергия активации, Я — универсальная газовая постоянная.

Граничные условия имеют вид: $1: = (х2), тУ = тУ(х2), Т = Т0(х1); Б2: = 0, 0ь2/дх2 = 0, дТ/дх2 = 0, дт^/дх2 =0; : V =0, Т = Т1; $4: VI = 0, Т12 = 0, дТ/дх1 = 0, $5: ¿хг/¿I = V,

пгтгз-щ — (Р — Р0)пг = —2К, щтг.и = 0, кдТ/дп = —а (Т — Т2). Здесь пг, ^^ — компоненты еди-

Ор

ничной нормали и касательной к поверхности $5, Р0 — давление над свободной поверхностью, ор — коэффициент поверхностного натяжения, К — кривизна свободной поверхности, а — коэффициент теплоотдачи с окружающей средой, Т1 — температура стенок канала, Т0 — температура жидкости на входе, Т2 — температура окружающей среды.

В качестве безразмерных переменных используются параметры

х* = хг/Ь, v* = V/ио, Г = Шо/Ц р* = фо/Ьр, т* = фо/Ьтгэ, в = (Т — Т0/(Т — То),

где и0 — средняя скорость жидкости на входе, Ь — характерный размер, равный радиусу узкой части канала (далее звездочка над безразмерными величинами опущена). Исходную систему уравнений запишем в безразмерном виде:

Ее(—+= + дтз = 0

V д1 3 дх3 ) дхг дх.1 дхг

тг] = т? + 2/ЗПгз, т? + Ше5-3 + У = 2(1 — в)Вг],

„ (дв дв\ д2в

Ре{т + ^дх) = дх2 + Вг(тк • )■

Здесь определяющими являются безразмерные комплексы : Яе = Яе0 а(в), Яе0 = ди0Ь/п — число Рейнольдса, Ре = дериЬ/к — число Пекле, Ше = Ше0 а(в), Ше0 = Хи0/Ь — числа Вайссенберга, Вг = Вг0 а (в), Вг = пи02/(Т1 — Т0) — числа Бринкмана, в = в0 а (в), в0 = П^ /(п^ + Пу ) — параметр ретардации.

Граничные условия в безразмерной форме примут вид: : vг = vг(х1), в = 0; $2: v1 = 0,

дv2/дх2 = 0, в = 1; $3: vг = 0, в = 1; $4: v1 = 0, т12 = 0; $5: ¿хг/<И = vг, пг тг3п3 — —— 2К = 0;

Са

пзтгзЬг = 0, дв/дп = —Вг(в — в0), где Са = пи/ор — число капиллярности, Вг = аЬ/к — параметр Био.

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Аппроксимация уравнений (1-2) и вычисления проводятся методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка на нерегулярных сетках, сгущающихся к зоне истечения полимера из насадки. Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток Ое 9-узловых четырехугольных элементов (число узлов 5000, 18400, 26700). Для скоростей применяется квадратичная аппроксимация р = (р г,г = 1, 9} и линейная ф = (фг,г = 1,4} для давления, напряжений, температуры. После применения стандартной процедуры метода конечных элементов получаем уравнения следующего вида:

Мгз + Агз — Егзр^+1 = Vn — Сг] Vn + Егктк] , ЕТ%3 vг¡+1 = 0, (3)

где Мгз — матрица масс, Ег. — дискретизация оператора дивергенции, ЕТ -транспонированная матрица оператора дивергенции, Аг. — сеточный аналог оператора Лапласа, Сг. — дискретизация конвективного члена. Для их вычисления применяются следующие формулы:

Мгз = / ргРз ¿х1 Лх2, Ег. = (УфгЛх1Лх2, Jae Jae

Агз = / Vрг^Рз ¿х1 Лх2, Сгз = / ^^(Ург)Рз ¿х1 Лх2■ Интегралы на четырехугольнике вычисляются с помощью 4-точечной квадратурной формулы Гаусса.

Уравнения для напряжений и температуры считаются раздельно при известном распределении поля скоростей из матричного уравнения:

МутП+1 = Мут? - Су(V?)тП - Бг]«)тП - ,

п

Му еп+1 = Му у - Сгу (V? )0П + Еу Т? ,

(4)

(5)

где Мгу — матрица масс, Су, $у — дискретизации оператора верхней конвективной производной и конвективных слагаемых соответственно, Егу, Ру — порождены дополнительными членами в уравнениях для энергии и напряжений. Данные матрицы находятся через

Сгу —

[/^П)]ФгФу <1x1 1x2, 5у — V?(Уфг)фу 1x11x2,

Е —

V.?(Уфг)фу <1x1 <1x2, Ргу — (Фг)2(Фу) <х 1 1x2.

Для свободной поверхности, описываемой уравнением Е(xг,t) — 0, выполняется соотношение

дЕ

+ чЗ.УЕ — 0.

дt

(6)

Местоположение деформируемой свободной поверхности находится из аппроксимации кинематического условия (6) методом конечных элементов, затем сетка конечных элементов вблизи нее перестраивается для получения решений матричных уравнений (3)-(5), с помощью которых находится поле скоростей, давлений, напряжений и температур на новом временном слое — (п + 1)Д^ Стационарное положение формы выходящей струи находится методом установления эволюционной задачи с использованием традиционных для уравнений данного класса алгоритмов [6, 7].

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Для изотермического обтекания значения всех теплофизических параметров рассматриваются при температуре Т0 — 303 К. В случае неизотермического обтекания рассматривается истечение полимерной жидкости из насадки с нагретыми стенками, температура которых повышается до Т1 — 323 К, 353 К соответственно. Расчеты проводились при следующих значениях теплофизических свойств полимерной жидкости д — 924 кг/м3, ц — 104 Па-е, ср — 2300 Дж/(кг-К), к — 0.26 Вт/(м-К), А — 2000 К, <Гр — 3 ■ 10-2 н/м, а — 102 Вт/(м2-К. Характерные параметры рассматривались следующие Я — 10-2 м,

" дкости изменялось в пределах от итериев: Яе — 10-5, Ре — 180, Вг — 2 ■ 10-2, Са — 1.4 ■ 103, Ы — 3.8, а число Ше изменяется от 0.1 до 5.

На рис. 2 представлена картина течения для насадки с размером выходного канала, равным Ь — 0, в виде изолиний линий тока (рис. 2, а), первой разницы главных нормальных напряжений N1 (рис. 2, б) и компоненты осевой скорости (рис. 2, в), для изотермической экструзии при Ше — 3.0. Увеличение диаметра выходной струи характеризуется параметром , равным отношению диаметра струи к диаметру канала и называемым эффектом разбухания струи.

Рис. 2. Изолинии линии тока ф (а); изолинии N (б); осевой компоненты скорости (в) при Шв = 3.0 для насадки Ь = 0

п

п

п

п

На рис. 3 приведена зависимость степени разбухания Ъ/ выходящей струи полимерной жидкости от значения числа Ше для различных насадок. Формы насадок различаются длиной узкой выходной части Ь, изменяющейся от 0 до 10Ъ. Результаты показывают, что степень разбухания Ъ/ струи

к

Г

1.8

1.6-

1.4-

1.2-

1

1 „ .д ~ _____-С

л / от'"' ^ ______*<3 >

ф 1

/

0

2

4

Же

увеличивается при уменьшении длины выходного участка. Видно, что значения Ъ/ зависят от кинематики предшествующего деформирования — скорости сдвига и длины выходной части капилляра. Что можно трактовать тем, что постэкструзионное разбухание при переработке полимеров обусловлено высвобождением упругой энергии, запасенной при предшествующем течении в канале. Вязкоупругие жидкости являются средами, обладающими наследственной памятью. Наследственная жидкость «помнит» предысторию, т. е. изменение поля скоростей в предшествующие моменты времени. Длительность «памяти» характеризуется временем релаксационных процессов Л, что определяется параметром Ше. Видно, что при увеличении значения числа Ше степень разбухания увеличивается для всех насадок.

Результаты исследования влияния реологических параметров модели Гиезекуса а и в при изотермическом течении показаны на рис. 4. На рис.4, а приведена зависимость степени разбухания выходящей струи полимерной жидкости от значения числа Ше для насадки c длиной Ь = 0 при увеличении параметра а модели Гиезекуса. Увеличение данного параметра для вязкоупругих жидкостей означает, что они обладают большей аномалией вязкости при увеличении скорости сдвига. Жидкости, не обладающие аномалией вязкости, описываются реологическим уравнением Олдройда [4, 5], что соответствует а = 0 в модели Гиезекуса. Видно, что для упруговязких жидкостей, проявляющих большую аномалию вязкости, степень разбухания уменьшается при изотермическом выдавливании из насадки. Аналогичные кривые при изменении параметра ретардации в приведены на рис. 4, б. Увеличение параметра в означает увеличение доли растворителя в полимерной смеси. Видно, что разбавление полимерной смеси приводит к более значительному уменьшению степени разбухания выходной струи. Это объясняется тем, что упругие свойства жидкости играют значительную роль в увеличении диаметра выходной струи. Для больших значений данного параметра поведение полимерной смеси близко к ньютоновской жидкости, когда значение Ъ/ не превышает 1.13. В этом случае увеличение диаметра струи в основном определяется резким перераспределением неоднородного поля скорости в однородный.

Рис. 3. Степень разбухания выходной струи hf в зависимости от значения числа Ше для различных насадок: 1 — Ь = 10Л,, 2 — Ь = 4Л,, 3 — Ь = 2h, 4 — Ь = 0

к

Г 2

1.5

-•V л — ______€

* 'г,'/ / .0 Ы/ !*г> /// / 1

к/ 2

1.5

__________

' Л / Г

0

2

4

Же

0

2

б

4

Же

Рис. 4. Степень разбухания выходной струи hf в зависимости от значения числа Ше для насадки с длиной Ь = 0 в зависимости от параметра а (а, 1 — а = 0.86, 2 — а = 0.33, 3 — а = 0.11) и для различных значений в (б, 1 — в = 0.8, 2 — в = 0.5, 3 — в = 0.11)

1

а

На рис. 5, а показана зависимость Ъ/ от числа Ше при неизотермической экструзии для ступенчатой формующей насадки с размером выходной части Ь = 0 в зависимости от температурного напора между стенкой и потоком полимера. На рис. 5, б показана аналогичная зависимость для насадки с размером Ь = 2Ъ. Видно, что нагрев стенки на АТ = 30К (кривая 3) на обоих графиках приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Отметим при этом, что для более длинной насадки с ростом числа Ше и температурного напора наблюдается немонотонный характер увеличения Ъ/. При небольших числах Ше (Ше < 1 ) происходит уменьшение степени разбухания.

h

f

1.8

1.6

1.4

1.2

v—^ 1

р"' / л у / _____С

/ / ✓ ? / / г------------

! У У

0

h

1.4 -

1.2

2

4

We

____-Е

___Е X*' / —<г

f ^ а / Ф—ег 2 г------ ______С ]

2

б

4

We

Рис. 5. Степень разбухания выходной струи hf для неизотермической экструзии в зависимости от значения числа Ше при увеличении температуры стенки £3 (1 — АТ = 0 К, 2 — ДТ =15 К, 3 — ДТ =

= 30 К) насадки с длиной Ь = 0 (а) и Ь = 2h (б)

Приведенные результаты расчетов процесса экструзии упруговязкой жидкости из ступенчатых формующих насадок с разной длиной выходной части показали, что степень разбухания выходной струи увеличивается для коротких насадок. Данные результаты подтверждают вывод о том, что одним из факторов влияющих на степень разбухания для наследственных вязкоупругих сред является время релаксации напряжений. Неизотермичность потока полимерной массы, определяющаяся разностью температур стенки и основного потока, приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Выявлено, что при увеличении температурного напора наблюдается уменьшение диаметра выходной струи с ростом числа Ше на начальном этапе. Данный характер немонотонного поведения степени разбухания свидетельствует о том, что температурная аномалия вязкости оказывает существенное влияние на форму выходящей струи.

Библиографический список

1. Торнер Р. В. Теоретические основы переработки полимеров. М.: Химия, 1977. 467 с.

2. Раувендаль К. Экструзия полимеров. СПб.: Профессия, 2008. 768 с.

3. Giesekesus H. A simple constitutive equation for polymer fluids based on the concept of deformation dependent tensorial mobility // J. Non-Newtonian Fluid. Mech. 1982. Vol. 11. P. 69-109.

4. Bird R. B, Armstrong R. C, Hassager O. Dynamics of Polymeric Liquids. vol.1. Fluid Mechanics. 2nd ed. N.Y.: John Wiley and Sons, 1987. 565 с.

5. Назмеев Ю. Г. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков реологически сложных жидкостей. М.: Энергоатомиздат, 1996. 304 с.

6. Математическое моделирование конвективного теп-ломассобмена на основе уравнений Навье - Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Бунэ, Н. А Верезуб и др. М.: Наука, 1987. 271 с.

7. Снигерев Б. А., Тазюков Ф.Х., Кутузов А. Г., Амер аль Раваш. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью // Вестн. Казан. техн. ун-та. 2007. № 1. С. 86-93.

1

1

0

a