CC BY
61
УДК 532.517.2+534.2
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ПОЛЗУЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ
СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Б. А. Снигерев
В работе приведена математическая постановка и получены численные результаты решения задачи о стационарном продольном течении жидкости со свободной поверхностью на выходе из резко сужающегося канала. Реологическое поведение жидкости описывается с помощью релаксационного конститутивного уравнения состояния Гиесе-куза. Получены результаты зависимости коэффициента разбухания от параметров реологической модели вязкоупругой жидкости и геометрических размеров насадки
Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, свободная поверхность
Одним из факторов, влияющих на сечение сформированного волокна, является эффект разбухания струи при истечении из канала фильеры. Это явление широко освящено в научной литературе, например, в работах [1,2] представлен обзор теорий этого явления. В работе [2] предложены расчетные формулы для разбухания полимеров на выходе из щелевого и цилиндрического каналов при степенной зависимости эластической деформации и касательного напряжения на стенке от скорости деформации. Однако большинство расчетных формул получены в предположении некоторых упрощений течения полимерной жидкости и не учитывают многих факторов. Кроме того, величина разбухания зависит от геометрических особенностей течения, неизотермических и
реологических факторов. Получаемые в рамках подходов формулы представляют несомненно большую ценность для инженеров-технологов технологических процессов, поскольку оперируют с "интегральными" характеристиками процессов.
Однако для выбора более правильных режимов технологии переработки нужна более детальная информация о гидродинамических и тепловых процессах. Поэтому в химической технологии в последнее время приобрело широкое распространение создание математических моделей процессов. Наличие математической модели определяет степень изученности процесса и существенно облегчает задачу его оптимизации и автоматизации.
В данной работе рассматривается вытекание вязкоупругой жидкости из цилиндрической ступенчатой щелевой насадки, схема которой представлена на рис. 1. На рисунке И обозначает радиус узкого канала выходной части насад-
Снигерев Борис Александрович - ИММ КазНЦ РАН, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, тел. (8432) 291-30-56, Е-таД:8^егеу@таП.кпс.ги
-ки, 4И - радиус трубы на входе, И1 =0.5И - длина закругленной части, Ь - длина выходной части насадки. Исследуется влияние длины выходной части насадки Ь на степень разбухания полимерной жидкости в процессе экструзии. Анализируется также влияние реологических параметров на характер истечения из насадки. Рассматриваются значения Ь равные Ь =0, 2И, 4И, 10И .
Рис. 1. Схема вытекания вязкоупругой жидкости из осесимметричной ступенчатой насадки
Введем следующие обозначения границ:
51 - входное сечение; 52 - выходное сечение
струи; 53 - часть границы, являющейся твердой стенкой; 54 - граница, являющаяся осью симметрии области; 55 - часть границы, приходящаяся на свободную поверхность. Исходной является система уравнений законов сохранения массы, импульса, энергии, для замыкания которой привлекается конститутивное определяю-
щее реологическое соотношение Гиесекуза [1,3]:
'дм, д v¡ Л
—+vj—
дt д Xj
Т1 = Т1, + 2П N^1'
дP дту --------I------
д д xj
дv,
г
2
д х.
дvi дv
л
+
дх, дх1
V 1 1
8ту дту .и 1,и
1 :+vk^j
дту д VI
Ы д/
11к
дх
(1)
тУ +Х
8т
11 , аХ у2 +-----т1 = 2 Пу^,
Пу
(
Р ср
дТ дТ
-------+ V :--------
д / 1 д X:
= к
д2 Т д2 ж
(к ■ °к,)
В системе уравнений (1) vi - компоненты скорости жидкости, х:, х1 - координаты (, 1 = 1,2), / - время, р - плотность, Р - давление, т, - де-
виатор напряжения, т, - вязкоупругая часть
напряжения, Т - температура жидкости,
П=ПУ +nN; ПУ, ^ - динамические вязкости при нулевой скорости сдвига полимера и растворителя соответственно, Х - время релаксации напряжений, к - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость полимера при постоянном давлении, а - безразмерный параметр модели Гиесекуза, определяющий вязкоупругие свойства полимерной жидкости.
Для зависимости вязкости и времени релаксации от температуры используется соотношение Аррениуса [1,2]
Е
П(Т)=П0 а(Т),Х(Т)=Ха(Т),а = ехр[-(1/Т -1/^)],
К
где индекс 0 означает, что значение параметра берется при температуре Т0, Е - энергия активации, К - универсальная газовая постоянная. Граничные условия имеют вид:
51 V = М X2), тУ1 =тУ1 (х2 ) , Т =Т0 (х1 ) ; 52 : V =0;
53: V2 = 0, ду2 / д х1 = 0
2
д Т / д х2 = 0 1
55 : /Ж=V , П: т11п1 - (р-р0)П: = (1/стр )2К,
р (Т - Т0 \
П ТуЦ = 0 , к д Т / д п = -а р (Т - Т0 )
Здесь п, / - компоненты единичной нормали и
касательной к поверхности 55 , Р0 - внешнее
давление над свободной поверхностью, ст -
коэффициент поверхностного натяжения,
а р - коэффициент теплоотдачи с окружающей
средой, К - кривизна свободной поверхности, Т2 - температура стенок канала, Т1 - температу-
ра жидкости на входе, Т0 - температура окружающей среды. Исходная система уравнений (1) преобразуется в безразмерный вид. Для этого в качестве определяющих параметров приняты параметры и0 - средняя скорость жидкости на входе, Ь0 - характерный размер, равный полуширине канала И , давление и напряжения отнесены к значению ри0/ Ь0 . Определяющими являются безразмерные параметры : Яе=риЬ0/ п - число Рейнольдса, Ше=Хи / Ь0 - число Вайсенбер-
га, Ре = р сриЬ0/ к - число Пекле, Вг=пи 2/(Т1 - Т0) - число Бринкмана,
Са =пи 0/ ст р - число капиллярности, В1=а рЬ0/ к -параметр Био, Р=^ / п -параметр
ретардации. Аппроксимация уравнений (1) и вычисления проводятся методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка на нерегулярных сетках, сгущающихся в зоне истечения полимера из насадки. Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток 9-узловых четырехугольных элементов (число узлов 5000, 18400). Для расчетов напряжения использовались линейные четырехугольные элементы. Местоположение деформируемой свободной поверхности находится из аппроксимации кинематического условия, затем сетка конечных элементов вблизи нее перестраивается для получения решений уравнений (1), с помощью которых находится поле скоростей, давлений, напряжений и температур на новом временном слое. Стационарное положение формы выходящей струи находится методом установления эволюционной задачи с использованием традиционных для уравнений данного класса алгоритмов [4].
Результаты расчетов. Для изотермического обтекания значения всех параметров рассматриваются при температуре Т0 = 303К. В случае неизотермического обтекания рассматривается истечение полимерной жидкости из насадки с нагретыми стенками, температура которых повышается до Т2 = 323К, 353К соответственно. Расчеты проводились при следующих значениях теплофизических свойств полимерной жидкости р= 924 кг /м 3 , п= 104 Пас, ср = 2300 Дж/ (кг-К), к = 0.26 Вт/(мК), А = 2000 К,
стр = 3-10-2 н/м, ар =102 Вт / (м2-К). Характерные
параметры рассматривались следующие К= 10-2 м, Н = 10-2 м, и0 =4 10-3 м/сек. Время
релаксации напряжений жидкости изменялось в
Р
+
пределах от Х= 0.1 до 10 сек. Получены следующие значения безразмерных критериев Яе=10-5, а = 0.33 , р=0.11 , Ре = 180,
Вг = 2-10-2, Са = 1.4-103, В1 = 3.8, а число Ше изменяется в пределах от 0.1 до 5.0.
На рис.2 представлена картина течения для насадки с размером выходного канала равным Ь=2И в виде изолиний линий тока (рис. 2а), первой разности главных напряжений N (рис.26) для изотермической экструзии при Ше=3,0.
Рис. 2. Изолинии линии тока (а), изолинии N1 (6), для насадки Ь=2И при изотермической экструзии для Ше=3.0
На этих рисунках видно, что как только полимерная жидкость проходит выходное сечение и попадает в зону свободного течения, давление и напряжения начинают немедленно релакси-ровать. Процесс релаксации происходит до тех пор, пока накопленная высокоэластичная деформация не уменьшится до значения, соответствующего эластической деформации полимера, находящегося в состоянии стационарного течения. Выделим две основные причины изменения сечения струи: - перестройка профиля скоростей от параболического, соответствующего течению в канале, к прямоугольному, соответствующему движению струи как сплошного твердого стержня; - релаксация высокоэластических деформаций растяжения, накопленных в материале струи за время ее прохождения по каналу. Перестройка профиля скорости приводит к возникновению продольных деформаций растяжения или сжатия. Из требо-
вания выполнения закона сохранения количества движения следует, что струя, выходящая из канала, должна сужаться. Этот эффект известен для низкомолекулярных жидкостей, не проявляющих высокоэластических свойств. Для полимерных систем реализуется упругое разбухание, обусловленное высокоэластическими деформациями. Увеличение диаметра выходной струи характеризуется параметром Иу - равным отношению диаметра выходной
струи к диаметру канала и называющимся эффектом разбухания. На рис. 3 приведена зависимость степени разбухания Иу выходной
струи полимерной жидкости от значения параметра Ше для различных насадок. Формы насадок различаются длиной узкой выходной части Ь , изменяющейся от 0 до 10 И . Результаты показывают, что степень разбухания Иу
струи увеличивается при уменьшении длины выходного участка. Видно, что значения Иу зависят от кинематики предшествующего деформирования - скорости сдвига и длины выходной части капилляра. Это можно трактовать тем, что экструзионное разбухание при переработке полимеров обусловлено высвобождением упругой энергии, запасенной при предшествующем течении в канале. Вязкоупругие жидкости являются средами, обладающими наследственной памятью. Наследственная жидкость "помнит предысторию”, то есть изменение
1.
1.
Рис. 3. Степень разбухания выходной струи И у
в зависимости от числа Ше для различных насадок 1-Ь = 10И, 2- Ь = 4И, 3-Ь = 2И, 4- Ь = 0
поля скоростей в предшествующие моменты времени. Длительность “памяти” характеризуется временем релаксационных процессов Х , что определяется параметром Ше . Видно, что при увеличении значения числа Ше степень разбухания увеличивается для всех насадок.
На рис. 4 показана зависимость ку от числа We при неизотермической экструзии
для ступенчатой формующей насадки с размером выходной части Ь=2к в зависимости от температурного напора между стенкой и потоком полимера.
V
1.4
1.2
в
0"“" / / eT * 1 2
/ ^ d / G 3
О
We
Рис. 4. Степень разбухания ку для неизотермической экструзии в зависимости от числа We для насадки Ь = 2к при увеличении температуры стенки 53 : 1 - АТ = 0К, 2- 15К, 3- 30К
Видно, что нагрев стенки на А Т = 30К (кривая -3) приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Отметим при этом, что для более длинной насадки с ростом числа We и температурного напора наблюдается немонотонный характер увеличения ку. При небольших числах We (е < 1) происходит уменьшение степени разбухания. Приведенные резуль-
таты расчетов процесса экструзии вязкоупругой жидкости из ступенчатых формующих насадок с разной длиной выходной части показали, что степень разбухания выходной струи увеличивается для коротких насадок. Полученные результаты подтверждают вывод о том, что одним из факторов, влияющих на степень разбухания для наследственных вязкоупругих сред, является время релаксации напряжений. Неизотермичность потока полимерной массы, определяющаяся разностью температур стенки и основного потока, приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Выявлено, что при увеличении температурного напора наблюдается уменьшение диаметра выходной струи с ростом числа We на начальном этапе. Данный характер немонотонного поведения степени разбухания свидетельствует о том, что температурная аномалия вязкости оказывает существенное влияние на форму выходящей струи.
Литература
1. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. М.: Химия, 1977, 467 с.
2. Раувендаль К. Экструзия полимеров. СПб.-Профессия, 2008, 768с.
3. Giesekesus H. A simple constitutive equation for polymeric liquids based on the concept of deformation dependent tensorial mobility// J. Non-Newtonian Fluid Mech.-1982, V.11, p. 69-109.
4. Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х., Кутузов А.Г., Амер аль Раваш. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью// Вестник Казанского технологического университета, 2007, № 1, С.85-93.
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН
VISCOELASTIC NONISOTHERMAL CREEPING FLOW WITH FREE SURFACE
B.A. Snigerev
The numerical simulation flow of viscoelastic fluid with free surface, which is realized in entrance and output flow in extrusion die was performed. The distribution of flow velocity fields, pressure and temperature are investigated on dependence of heating the walls. The ratio of extrusion in dependence of parameters the rheological model are investigated
Key words: viscoelastic fluid, free surface
