Постановка задач вибрационного изгиба вязкоупругой прямоугольной пластины с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А. А. Барышев, П. Ф. Недорезов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ВИБРАЦИОННОГО ИЗГИБА ВЯЗКОУПРУГОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим пластинку малой толщины И, отнесенную к декартовой системе координат, плоскость Оху которой совмещена со срединной плоскостью пластинки. Пластинка совершает установившиеся колебания под действием распределенной по грани г = -А/2 нагрузкой интенсивности

д(х,у,1) = рчк(х,у)со5 - 1)- СО Г) . (1)

В статье принимаются следующие предположения: (а) нормальные напряжения аг на площадках, параллельных срединной плоскости, малы по сравнению с прочими напряжениями, (б) расстояния по нормали между двумя точками пластинки после деформации остаются неизменными, следовательно, ус = и,(д(в) деформации сдвига уа и упо толщине пластинки меняются по квадратичному закону [1,2]

У«=/ООф(Х,УА У*=А*М**УА> (2)

где ф(х,у,[) и ф(дг,.у,г) - неизвестные функции, а

функция, характеризующая изменение указанных деформаций сдвига по толщине пластины (модель А) или компоненты перемещения и, V по толщине пластинки меняются по линейному закону [3]

и(х,у,г,1) = гух(х,у,1), у(х,у,г,{) = гуу(х,у,(), (3)

где ух(х,у,Г) и Уу(х,у,1) - искомые функции (модель Т).

Вязкоупругий материал пластинки подчиняется линейному закону деформирования.

Неизвестные функции »♦'(х.у,/), у(х,у,(), \\)(х,у,() модели А и ™(х,У,<), ух(х,у,1), Уу(х,у,1) модели Т, соответствующие нагрузке (1), будем искать в виде

(4)

Уравнения движения малого элемента пластинки при изгибных колебаниях следующие:

д.\\ дЫ

С1ЧХ ""у , д2\У от оп -г о и , ч

дМг дН

д1и

дх ду

д1

дх ду

н д(1 2

где р - плотность материала пластинки

Уравнения (5) при подстановке в них выражений для изгибающих, крутящего моментов и перерезывающих сил составляют полную систему для определения НДС при установившихся колебаниях вязкоупругой пластинки.

Введя безразмерные координаты £, = х/а,г\ = у/Ь ,С, = г/И, толщину И0 = И/а, прогиб IVк = м>к/И, функции Фк = И2(рк, = /г2\\/к (к =1,2), задачу нахождения НДС рассматриваемой пластины можно свести к решению краевой задачи, записанной в переменных п

>=1

1

1

(5 + ^Х1-у) Ц

+ ну 2

7=1

1 И 1

(6)

а2 рш2Л4а2(-1У 2

к И2 6(1 -у) 4 ' к*] 1 1 01 ¿3£,

- «■'■'(-'Г ^ - Уф '<-

1 — ^ к ь*-1 Х дЕ, (1 _ V)2 % ' д£,

(7)

У=1

ф«*, А=1,2),

где £>4=£лА3/(12(1-у2)) (* = 1,2).

V2 = 52М2 + с2 д2/дт\2, У2У2 = 54М4 + 2с2 а4/^2 + с4 а4/^4, с = а/А, Км=0, р = 20а/(л(1 - у)), л- = 2(1 + у)/(1 - у) + 5/3, г = 2,

00

/Г 1 + /£'2 = ^(^""¿у - комплексный модуль, характеризующий вязкоуп-

0

ругие свойства материала. Для определения неизвестных функций у^ , Ту*' (^ = 1>2) модели Т необходимо в уравнении (7) положить КИ = 1,

Р = 2а/(И(\ -у)), г = 1/6, 5 = [(1 + Р)/(1-у)+1]/6, /{г)=И2. При этом неизвестные функции связаны соотношениями

Щ

—ф,. —— с 4 эг,

с " ал

Подчеркнугые слагаемые учитывают инерцию поперечного вращения Заметим, что если в уравнении (6) опустить слагаемые, содержащие коэффициент Км , то оно описывает изгиб пластинки в классической постановке.

К системе (6), (7) необходимо добавить краевые условия, соответствующие условиям закрепления или загружения краев пластины.

Для установившейся температуры саморазогрева Т(х,у,г) пластинки можно записать стационарное уравнение теплопроводности в виде [4]

*о2

2п „

Л,

где ~ мощность тепловых источников, распределенных по объему

пластинки, - коэффициент теплопроводности материала.

При определении максимально возможной температуры саморазогрева считаем, что вся работа внешних сил переходит в тепловую энергию Тогда функция (2 определяется следующим образом: оз

' ~у д1 ' ,ху д1 ,а д1 ' ,уг д1 г где интеграл определяет работу, произведенную внутренними силами при деформации единичного объема за один цикл колебаний.

Граничные условия для температуры определяются условиями теплообмена пластинки с внешней средой

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Амбарцумян С.А К теории изгиба анизотропных пластинок // Известия ОТН АН СССР 1958 № 5 С 69 - 77

2 Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек М , 1961.

3 Тимошенко С П , Войновский-Кригер С Пластинки и оболочки М , 1963.

4 Недорезов П Ф., Сироткина НМ Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругнх прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек Учеб пособие. Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1997