Численное определение напряженно-деформированного состояния и температурного поля вязкоупругой прямоугольной пластины при вибрационном изгибе с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

С = y^Im** - Р*)(2(Аг* - р*) - /c'a)- U'bfak* - 2р') - к*а)+ к'2 а3 ],

(1-v + v2) , (1 - 2v)2

а = --2 . b = --Т~ ■

1-v2 4(1-v2)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Работное Ю Н Элементы наследственной механики твердых тел M , 1974

2 Справочник но специальным функциям с формулами, графиками и таблицами M , 1979

УДК 539.3

А. А. Барышев

ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ВИБРАЦИОННОМ ИЗГИБЕ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ

Полная система разрешающих уравнений для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) и температурного поля вязко-упругой прямоугольной пластины при вибрационном изгибе, учитывающая поперечные сдвиги и инерцию вращения, получена авторами статьи [1]. В этой статье приводятся численные значения максимумов основных характеристик НДС и температуры саморазогрева для различных способов закрепления краев пластины.

Интенсивность нагрузки, распределенной по грани ¿¡ = -1/2, полагается следующая:

g,(^,ri,i)=^0sin7t^sin îiticoscoî (1)

В силу малости толщины пластинки теплообменом через ее края

пренебрегаем, то есть считаем, что края теплоизолированы:

дТ дТ

при £=0, — = 0; при /7=0, 77= 1 — = 0, dÇ дг)

а на лицевых поверхностях выполняются следующие граничные условия: при Ç = Т 1/2 /,^ = ±Г(* = 1,2).

оС,

С помощью методики, основанной на использовании метода сплайн-коллокаций [2, 3], поиск решения двумерной краевой задачи для определе-

ния НДС сведено к нахождению решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение последней получено численно устойчивым методом дискретной ортогона-лизации С К Годунова [4] Нахождение температуры саморазогрева из краевой задачи для уравнения теплопроводности также основано на последовательном применении методов сплайн-коллокаций и дискретной орто-гонализации

Как и в работе [1], модель А предполагает квадратичное изменение по толщине поперечных сдвигов, в модели Т поперечные сдвиги постоянны по толщине, а модель К основана на гипотезах Кирхгоффа. Соответствующие модели, учитывающие инерцию вращения, обозначены с индексом «и». -

Вычислительный эксперимент проводился для случая, когда '1 = > то есть через грани ^ = Т 1/2 происходит теплообмен по

закону Ньютона (а^' - коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду).

Вычисления выполнены для пластин (а=Ь=0,5 м), изготовленных из материалов ЭД-6 МА, ЭД-6 ТЭАТ и ПММА, физико-механические свойства которых приведены в [3], при единичном параметре нагрузки <70.

Вычислительные эксперименты были выполнены для пластин, относительная толщина которых изменялась в интервале А0 е [0.02;0.2]

Рассмотрены различные способы закрепления сторон пластины. В случае шарнирного опирания всех краев пластины относительная разность амплитуд прогиба превышает 5% при А0 = 0.09(модель А и модель К), А0 =0.1 (модель Т и модель К) При указанных значениях относительной толщины максимальные температуры саморазогрева отличаются не более чем на 3.3%.

При жестко закрепленных краях пластины амплитуды прогибов отличаются более чем на 5 % при тех же относительных толщинах, что и в случае шарнирного опирания краев

Когда один край жестко закреплен, а остальные шарнирно оперты, то при йо=0.06 (/10=0.075) максимальные амплитуды прогиба модели К меньше на 4.6 % (5.5 %), чем соответствующие значения для модели А (Т). Соответствующая этим толщинам максимальная температура не отличается более чем на 5 %.

Качественная картина изменения основных характеристик НДС по длине и ширине пластины, температуры саморазогрева по толщине, а также по длине и ширине для моделей, учитывающих поперечные сдвиги, не отличается от полученной для модели К другими авторами [3].

Результаты расчетов по моделям А и Т хорошо согласуются и в рассматриваемом интервале изменения толщины, относительные разности амплитуд характеристик НДС и температуры не превосходят 5 %.

Отметим, что критическая частота и температура саморазогрева увеличиваются, а амплитуда прогиба уменьшается от модели к модели в следующей последовательности: модели А, Т, К (Аи, Ти, Ки).

Учет поперечных сдвигов не оказывает влияния на амплитуды изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Н и перерезывающих сил Их можно считать равными в рассматриваемом интервале изменения толщины для всех моделей.

При постоянной интенсивности нагрузки, то есть в случае, когда

П. <)= особой (2)

и все края пластины шарнирно оперты, максимумы амплитуды прогиба для первых трех критических частот совпадают во всех теориях с точностью до вычислительной погрешности Температура саморазогрева, начиная со значения Л0=0.1, вычисленная по уточненным теориям, более чем на 5% превосходит соответствующий результат, определенный по классической теории. Перерезывающие силы Nх, Nу, подсчитанные для второй,

третьей критических частот, в условиях модели К превышают амплитуды указанных сил в предположениях моделей А и Т. Однако остальные характеристики НДС (изгибающие моменты Мх, Му, крутящий момент И) хорошо согласуются для первых трех критических частот. Заметим, что значение первой критической частоты при постоянной нагрузке совпадает со значением критической частоты при синусоидальной нагрузке, а максимальные амплитуды всех характеристик НДС и температура саморазогрева значительно превосходят соответствующие величины.

Качественная картина, полученная для моделей, учитывающих поперечные сдвиги, не отличается от результатов модели К.

На основе полученных результатов можно сделать вывод о том, что при рассмотренных способах закрепления краев пластины при А0< 0 .1 все рассмотренные теории дают близкие результаты

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ьарышев А.А., Недорезов П Ф. Постановка задач вибрационного изгиба вязко-упругой прямоугольной пластины с учётом поперечных сдвигов и инерции вращения // Математика Маханика: Сб. науч тр. Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2002. Вып. 4 С. 169- 171.

2 Недорезов ПФ, Сироткина НМЧисленные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1997

3 1'ригпренко ЯМ., Крюков Н.Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) // Прикл механика. 1995 Т 31, № 6. С. 3 - 27

4 Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем однородных линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат наук. 1961 Т. 16, № 3 С. 171 - 174