Вибрационный изгиб вязкоупругой кольцевой пластинки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с.1391-1393

УДК 539.3

ВИБРАЦИОННЫЙ ИЗГИБ ВЯЗКОУПРУГОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ

© 2011 г. А.А. Барышев

Саратовский госуниверситет им. Н.Г. Чернышевского

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Исследовано напряженно-деформированное состояние и тепловое поле тонкой изотропной кольцевой пластинки, изготовленной из вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры. Рассматриваемая пластинка испытывает малые деформации под действием приложенного на внешнем контуре воздействия, меняющегося во времени по гармоническому закону. На основе классической модели Кирхгофа проведен численный анализ моделей, учитывающих поперечные сдвиги, а также в пространственной постановке при различных способах закрепления краев и условий теплообмена.

Ключевые слова: вязкоупругая кольцевая пластинка, напряженно-деформированное состояние, тепловое поле, теория Кирхгофа, уточненные теории.

Рассматривается изотропная тонкостенная кольцевая пластина, изготовленная из вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры. Считается, что рассматриваемая пластинка испытывает малые деформации под действием распределенной по лицевой плоскости поперечной нагрузки:

q(r, t) = q1(r )cos Ш + q2(r ^тШ, (1) где t - время, ю - частота.

Принимая справедливым закон линейной вяз-коупругости, соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций для материала пластинки запишем в виде [1]:

1 '

аг =-- |K(®, и, т)(вг (т) + vsф (т))Л,

1 ^ "" г (2)

Тг" = 20+~уТ ^^^^Т) Уп:^^ Г °Ф"

^ ' —да

Здесь 0 = 0(г, г) - неизвестная безразмерная установившаяся температура саморазогрева, V - коэффициент Пуассона, который предполагается постоянным.

Уравнения движения малого элемента пластинки в рассматриваемом случае будут следующими:

дМг М — мф = ^

дг

+

дЫ 1 лг , ч . 2

--+ —N + q( г, t) = —рпи2иг.

дг г

Для определения максимально возможной температуры саморазогрева при вычислении мощности источников тепла Q(г, г), появляющихся вследствие диссипации энергии и распределенных по объему объекта, предполагается, что вся работа внешних сил переходит в тепло. Эта мощность за цикл колебаний определяется формулой [1]:

г) = -П Л"г^ + ^-

2 я/и

двг

двФ

ду г

\

0

дt

дt

дt

dt.

Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат имеет вид:

д 20 д 20 1 д0 1 _ ч

■ + —- + -— + — Q(r, г) = 0, (4)

дг

2

дг г дг ХТ.

(3)

Здесь р - плотность материала пластинки, иг -нормальная компонента вектора перемещения, Мг, Мф - изгибающие моменты, N - перерезывающая сила.

где обозначено: 0 = (Т- Т0)/Т., Т. = Т0 - Т1; Т0, Т1 - характерные температуры, Х - коэффициент теплопроводности материала, Т = Т(г, г) - неизвестная установившаяся температура саморазогрева.

При нахождении температурного поля предполагается, что, в силу малости толщины пластинки, ее края теплоизолированы, а теплообмен с внешней средой происходит через лицевые плоскости.

Поле перемещений по классической модели Кирхгофа определяется формулами:

иг (г, г, 0 = — г—, иг (г , г, t) = w( г, t), (5) дг

где ^(г, t) - прогиб точек срединной плоскости, иг (г, г, 0 - тангенциальное смещение точек пластинки.

Полная система разрешающих уравнений

гг

г

1392

А.А. Барышев

принимает вид:

ёг

= -е*

ёг

■ = --е* +

+ (-1)*-1 X ёк+у _1(0) мГ 1), }=1

ё^* 1 лг , 2

—г* =— -РАю - Як, аг г

ёмГ*) 1 -V, ,(*) 1 -V2 г--мг *) +—— >

ёг 2

г

г

>Х(-1)1 +1 -1(®)е 1 + Х*,

1=1

V* (©) = -

1

V 2

1 -V2

| г 2Е* (0)ёг.

-А/ 2

(-1) *-1 X Ь*+1-1(0) N.

1=1

где Ь* = Бк/((В,)2 + (Б/),

А/ 2

Б*

1

(0) = Т 1 (0)ёг.

2(1 + V) -1

-А/ 2

Функция О(г, г) также изменится и примет вид:

о г, г)=- X Г{-г*)}2+{в«*)}2+

2(1 -V2)

+ 2vв(kЧ*) + ^{у(г*>}2 I.

получена система разрешающих уравнении в смешанной форме:

ди* ди* 2

дг

дг

- +2(1 +v)(-1)k-1 Хе*+1 -1(0)т

( 1 )

1=1

(6) ди«

дг

е* = Е* /((%1)2 + (%2)2),

( диг*) + 1+ (1 + v)(1 - 2v)

1 -V

дг

1 -V

> (-1) *-1 X е*+1 -1(0)а г1), 1=1

дс г дт т 2

дг г

дг

дт (*)

гг

дг

1 2 ( Ч X (-1)1-1 Е*+1 -1 (0)

1

Здесь ёк = ^/((Д)2 + ф2)2), Е* = Е1 + Е2 = 0 ^(0,ю,5)егю5а5 — комплексный модуль. Мощность источников тепла, входящая в уравнение (4), определяется формулой:

О (г, г) =

= - Х({вг*)}2 + {в ^}2 + 2vвГk)в С*)).

2(1 ^ ) *=1

Принимая поле перемещений в виде иг (г, г, г) = гу(г, г), иг ( г, г, г) = ^(г, г), (7) приходим к гипотезам Тимошенко [2], у(г, г) — неизвестная функция, характеризующая угол поворота. Отметим, что в этом случае система разрешающих уравнений совпадает с точностью до обозначений с системой (6), если положить 0* = = у* и в правой части первого уравнения добавить слагаемое

2

*-1

1=1

д2и( 1)

дг2

+

+

+

г

( Е*+у-1(0)

+ д гЕ* + у-1(0)

ди(])

дг

+

(- Е*+у-1(0)

+ vдгEk+у-1(0)

V дС*)

Л 1 и(/)

/

, 1 -V

т -Ф'+ 2

Краевые задачи для модели, основанной на гипотезах Амбарцумяна, сформулированы в [3]. В случае непринятия каких-либо гипотез,

(8) 1 - V дг

Здесь иг(г, г, г) — нормальная проекция вектора смещений.

Краевые задачи для записанных систем дифференциальных уравнений решены на основе эффективных численных методик [4]. Получены результаты в рамках пространственной модели (отказ от гипотез). Проведен сравнительный анализ влияния на напряженно-деформированное состояние и тепловое поле пластинки учета зависимости свойств материала от температуры и поперечных сдвигов при различных способах закрепления контура и условиях теплообмена.

Список литературы

1. Недорезов П.Ф. // Сб. докл. XIX Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Н. Новгород, 28—30 сентября 1999г. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1999. С. 145—149.

2. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1946.

3. Барышев А. А. // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. трудов Междунар. конф. Воронеж, 2010. С. 49—52.

4. Барышев А. А., Брюшко М.И., Мыльцина О. А. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 171—174.

г

v

>

г

г

1

г

Вибрационный изгиб вязкоупругой кольцевой пластинки

1393

THE VIBRATIONAL BENDING OF A VISCOELASTIC ANNULAR PLATE

A.A. Baryshev

Steady-state oscillations of thin-walled annular viscoelastic plate under harmonically time-varying pressure distributed over bottom plane are considered. The mechanical properties of materials depend on the temperature. The comparison of numerical results with the rigorous, classic theory based on Kirchhoff hypothesis and specified theories is carried out.

Keywords: viscoelastic annular plate, stress-strain state, temperature field, classic theory of Kirchhoff hypothesis, specified theories.