Анализ НДС и теплового поля вязкоупругой кольцевой пластинки Текст научной статьи по специальности «Физика»

2, Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Постнова Ю.А. Дисперсия волн в плоском акустическом слое с гибкими упругими стенками // Акустический жури, 2004, Т. 50, №6. С, 802-807,

УДК 539.3

А.А. Барыптев, Е.А. Номеровская

АНАЛИЗ НДС И ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ

Постановка задачи и основные соотношения

В статье рассматривается изотропная кольцевая пластинка малой толщины внутренний радиус которой Я1, внешний - Я2, изготовленная из вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры. На срединной плоскости введена цилиндрическая система координат. Считаем, что пластинка испытывает малые деформации под действием распределенной по плоскости г = -Н/2 поперечной нагрузки с частотой ш

д(т, г) = ^(т) сов(ш£) + q2(т) вт(ш£). (1)

Предположим, что компоненты тензоров напряжения и деформаций связаны линейным законом вязкоупругости:

1 Г*

иг = --2 К(* - т, в,ш)(ег(т) + Vбф(т))(т,

1 — ^ 3-то

1 Г*

аФ = 1-2 К(1 - т, в,ш)(^бг(т) + ефТ))(т, (2)

1 — V ./-то

1 Г*

ттг = 2(1 + ) / К (г - т, в,ш)^тг (т )(т, V = СОП в!,

2(1 + V) и -то

где V — коэффициент Пуассона, г — врем я, в = в(т,г) — неизвестная

о

безразмерная установившаяся температура саморазогрева, ег = -Ц- ,еф = = цт,7гг = тЦ1 + 15г ~ компоненты тензора малых деформаций, иг ,иг — компоненты вектора перемещений.

Уравнения движения малого элемента пластинки будут следующими:

амт + м + Мф = ^ ад + = рф - д(т,г). (3)

дт т дт т дг2

Здесь Мг — изгибающий момент, N — перерезывающая сила, р — плотность материала пластинки.

Решение будем проводить на основе метода гипотез.

Классическая модель (Модель Кирхгоффа)

На основе гипотез Кирхгоффа запишем поле перемещений в виде

/ч ди

иг (г,г) = -г^-,иг = и (г, Ь), (4)

где и (г, Ь) - прогиб, иг (г, г) - тангенциальное смещение точек пластинки. Модель Тимошенко [1]

В этом случае для компонент вектора перемещения запишем

иг = ¿7 (г,Ь),иг = и(г,Ь), (5)

где 7(г, Ь) - искомая функция, характеризующая угол поворота нормали к срединной плоскости.

Будем искать неизвестные функции в следующей форме:

г (г, Ь) = г1(г) со Б(иЬ) + х\(г) б1п(^Ь).

Для этих моделей разрешающие уравнения определения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластинки имеют вид

<ик -вк+ст(-1)к-1 £ ък+,-1 (т®,

<г

3=1

<вк V к-1 2

—вк + (-1)к-1^ <к+3- 1(©)МГ(3),

<г г

3=1

<м(к) 1 - 1 - V22

<г = ^к) - —М(к) + ^к+3-1(©)в3, (6)

3=1

<г г

- ркиРик - Як (г, Ь).

Здесь <к = щ+Щ,Ък = щтщ.

, + щ В' + В

'1 +щ2 В1+В2

Если в уравнениях (6) положить Ст = 0,вк = -то они описывают НДС по модели Кирхгоффа, при Ст = 1, в к = 7к - по модели Тимошенко.

Поскольку свойства материала зависят от температуры 0(г, г), то необходимо рассмотреть уравнение теплопроводности. Для определения максимально возможной температуры саморазогрева при вычислении

мощности источников тепла З(г, г) считаем, что вся работа внешних сил переходит в тепло. Мощность за цикл колебаний определяется формулой

З(г,г ) =

(Е(йк))2+(4к))2+)+^(7^)2). (7)

2(1 - V2)

к=1

(к)

В случае модели Кирхгоффа слагаемое с функцией равно нулю. Уравнение теплопроводности в рассматриваемом случае имеет вид

д2© 1 д © д2 © 1

дг2 г дг дг2 А,,Т '

(8)

Здесь © = ,Т, = То - Т,Т:>,Т

характерные температуры, Аь

коэффициент теплопроводности материала.

Полученные уравнения должны удовлетворять граничным условиям. НДС:

при г = Л1 и = 0, дг = 0, (и = 0,7 = 0);

при г = Я2 и = и0 еов(^£), ^ = 0, (и = и0еов(^£),7 = 0).

Температура:

при г = ^| 0 = 0, при г = Л1, г = Я2 = 0.

Численные расчеты выполнены для вязкоупругого материала [2]. Решение краевых задач для систем разрешающих уравнений (6), (8), описывающих НДС и тепловое поле, проводилось по алгоритму из [3].

Геометрические размеры пластинки следующие: Н = 0,01м, Л1 = = 0.5м, Я2 = 1м; компоненты интенсивности нагрузки - ^1(г) = 0, ^2 (г) = 0.

Ниже приведены графики зависимости безразмерной температуры и безразмерной амплитуды прогиба от частоты внешнего возбуждения для модели Тимошенко. Амплитуда и0 = 0,001м.

Сравнительный анализ показывает:

1) при малой толщине пластинки значения, полученные в обеих моделях, практически совпадают;

2) учет зависимости свойств материала от температуры не влияет на характеристики НДС и тепловое поле.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки. М,: Гостехиздат, 1946.

2. Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наук, думка, 1982. 260 с.

3. Бары,шев A.A., Мылъцина O.A., Брюшко М.И. Вибрационный изгиб вязкоупругой оболочки с учетом связанности теплового и механического полей // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 202-204.

УДК 629

А.Г. Бирюков, В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ВЫВОДА ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ЗАДАННУЮ ПРОГРАММНУЮ ТРАЕКТОРИЮ

Рассматривается задача оптимального вывода твердого тела на заданную программную траекторию углового движения. Введем в рассмотрение следующие системы координат: £ — инерциальная, 2 — опорная (программная) система координат, вращающаяся в инерциальном пространстве с заданной (программной) угловой скоростью ш0 = ш0 (г) и угловым ускорением V = ё°(г), X — система координат, жестко связанная с твердым телом. Движение твердого тела описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений в отклонениях [1]

6ш£ = + [V о ш® о V] х 6ш£, (1)

2г/ = о V.

Здесь 6Ш{. ,5ё{. — векторы ошибки по угловой скорости и углового ускорения, V — кватернион ошибки ориентации, о ^кватернионное умножение, V ^сопряженный кватернион.

Требуется построить управление переводящее твердое тело из начального состояния

6ше (0) = ¿ш0, V (0) = V0 (2)

в конечное состояние

(г1)=0, V (г!) = 1 (3)