Задача оптимального вывода твердого тела на заданную программную траекторию Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сравнительный анализ показывает:

1) при малой толщине пластинки значения, полученные в обеих моделях, практически совпадают;

2) учет зависимости свойств материала от температуры не влияет на характеристики НДС и тепловое поле.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки, М,: Гостехиздат, 1946,

2, Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости, Киев: Наук, думка, 1982. 260 с.

3, Бары,шее A.A., Мылъцина O.A., Брюшко М.И. Вибрационный изгиб вязкоупругой оболочки с учетом связанности теплового и механического полей // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С. 202-204.

УДК 629

А.Г. Бирюков, В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ВЫВОДА ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ЗАДАННУЮ ПРОГРАММНУЮ ТРАЕКТОРИЮ

Рассматривается задача оптимального вывода твердого тела на заданную программную траекторию углового движения. Введем в рассмотрение следующие системы координат: £ — инерциальная, 2 — опорная (программная) система координат, вращающаяся в инерциальном пространстве с заданной (программной) угловой скоростью ш0 = ш°(£) и угловым ускорением ё° = ё°(£), X — система координат, жестко связанная с твердым телом. Движение твердого тела описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений в отклонениях [1]

бш^ = бё^ + [¡? о ш° о х бш^, (.)

2ь> = бй^ о V.

Здесь бй^, бё£ — векторы ошибки по угловой скорости и углового ускорения, V — кватернион ошибки ориентации, о ^кватернионное умножение, V ^сопряженный кватернион.

Требуется построить управление бё^, переводящее твердое тело из начального состояния

бше (0) = бш°, V (0) = ¡° (2)

в конечное состояние

бше (¿:)=0, ¡(¿0 = 1 (3)

за фиксированное время £1. При этом функционал качества

^ 1

J = / а^>? + >| + ) + а? (бш? + бш| + бш?) + о

+а3(бе? + бе? + бе?) (£, а1, аа3 = сошt > 0,

должен принимать минимальное значение.

В работе [2] рассмотрен частный случай такой задачи, когда программным движением является ориентированное положение твердого тела в пространстве и весовые коэффициенты функционала а1 = 0, а? = 0, а3 = 0. Для этого частного случая построено аналитическое решение задачи в классе плоских эйлеровых разворотов.

Рассмотрим теперь случай, когда программным движением по-прежнему является ориентированное положение в пространстве, а весовые коэффициенты функционала а1 = 0, а? = 0, а3 = 0. В этом случае функционал качества (4) принимает вид

1

J = а?(бш? + бш? + бш3) + а3(бе? + бе? + бе|)

(5)

Будем искать решение задачи в предположении, что векторы бш^ и р = = уесЦ) о коллинеарны на всем интервале времени. Для данного случая имеем систему дифференциальных уравнений:

б(Ш£ =

ф

2аз,

2г>0 = — ) • бш^,

2) = 2>0бш^ — ) х бш^,

ф = 2а?бшш^ + ^Р, р) = 0.

(6)

р) = р)0 = .

руя первое уравнение (6) по времени и учитывая четвертое уравнение, получаем дифференциальное уравнение для нахождения вектора бш^:

бше = ¿^а^ш ^ + 1 Ро).

Общее решение этого уравнения имеет вид

а?

бш = С1е V аз + с?е V аз —

4а

-р о.

(7)

г

1

Из граничных условий (2) и (3) находим постоянные интегрирования С\, С2:

а

_ 1 _ — —^ 1 _ — (до° — -—р°)е V«3 - —р°

С =__4«2

-¿1 — — е У аз — е V аз

а

(8)

С2 =

(до°— 402 ^ +402

-¿1 ——¿1 е У аз - е V аз

-р°

Из первого и четвертого уравнений (6) следует ф х до = й, тогда из конечных условий получаем й = 0, а из равенства ф х до = 0 находим, что вектор вр, до, ф коллинеарны. Из условия, чтор = р*, гдер* = роро) следует, что р| Из соотношений (8) следует, что С1 ||р»° и С2||р°.

Решение кватернионного кинематического дифференциального уравнения для постоянного по направлению вектора абсолютной угловой скорости имеет вид

¿1

Г (9)

о

Подставляя выражение (8) в (7) и выполняя интегрирование, получаем

V = (ехр[^ / до(£]) о

|до|(£ = 11 + 12,

(10)

где

/ =

а

Ое » аз — 1 /02

/2 =

¿1

-Л /,

4а2 2а2

е V аз +1

Выделяя скалярную часть в (9) и учитывая формулу (10), граничные условия (2) и (3) находим

V? = 008(2/1|до°|± 2/2|р°|),

отсюда следует, что

VI = ±

2агооо8(^°|) — /1|до °|

(11)

ь

1

г

1

г

где

«2 [Щ

——и

Ш Щ \—^ -\1—

А

В

е\аз + е |«з - 2

4а2(е - еУаэ )

«2 [Щ —, —11

Для частного случая, когда программным движением является ориентированное положение в пространстве, а весовой коэффициент а1 =0, найдено частное аналитическое решение в предположении, что вектор сонаправлен или противоположно направлен вектору р на всем интервале времени.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-

1. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 1, 2 // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 3-17; 2002. № 2. С. 3-17.

2. Бирюков А.Г., Бирюков В.Г., Челноков Ю.Н. Задача оптимального управления угловым движением твердого тела // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 10. С. 105-108

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АДАПТИВНОГО МЕТОДА ВИБРАЦИОННОЙ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ ФЛЮИДО-НАСЫЩЕННЫХ РЕЗЕРВУАРОВ

Предлагаемая математическая модель ориентирована на адаптивную вибросейсморазведку, поскольку позволяет определять форму регистрируемой отраженной волны в случае известных параметров флюидо-насыгценного резервуара или эти параметры подбирать экспериментально так, чтобы получить оптимальный результат наблюдений.

Имеем дифференциальное уравнение для диссипативно-дисперсной среды за счет использования коэффициентов диссипации т1 и дисперсности т2 [1].

01-00310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

УДК 533.6.011.539.5

В.М. Гурьянов , Л.В. Борисова