Математическая модель адаптивного метода вибрационной сейсморазведки флюидо-насыщенных резервуаров Текст научной статьи по специальности «Физика»

где

«2 [Щ

——и

Ш Щ \—^ -\1—

А

В

е\аз + е V аз - 2

4а2(е - еч аз )

«2 [Щ —, —11

Для частного случая, когда программным движением является ориентированное положение в пространстве, а весовой коэффициент а1 =0, найдено частное аналитическое решение в предположении, что вектор бСи^ сопаправлен или противоположно направлен вектору р на всем интервале времени.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-

1, Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов, Ч. 1, 2 // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 3-17; 2002. № 2. С. 3-17.

2, Бирюков А.Г., Бирюков В.Г., Челноков Ю.Н. Задача оптимального управления угловым движением твердого тела // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2009, Вып. 10, С, 105-108

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АДАПТИВНОГО МЕТОДА ВИБРАЦИОННОЙ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ ФЛЮИДО-НАСЫЩЕННЫХ РЕЗЕРВУАРОВ

Предлагаемая математическая модель ориентирована на адаптивную вибросейсморазведку, поскольку позволяет определять форму регистрируемой отраженной волны в случае известных параметров флюидо-насыгценного резервуара или эти параметры подбирать экспериментально так, чтобы получить оптимальный результат наблюдений.

Имеем дифференциальное уравнение для диссипативно-дисперсной среды за счет использования коэффициентов диссипации т1 и дисперсности т2 [1].

01-00310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

УДК 533.6.011.539.5

В.М. Гурьянов , Л.В. Борисова

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

(Л + 2 ^)uxx + 4/3^(riuXxt + r^uxxtt) = putt = 0. (1)

Здесь введен параметр т2, учитывающий дисперсность среды. Применив к уравнению (1) метод разделения переменных (u(x,t) = X(x)T(t), получим, как обычно, два уравнения:

X" + k2X = 0, (2)

рТ" + к2((Л + 2 д)Т + 4/3 ц(т{Т' + т22Т")) = 0. (3)

Дифференциальное уравнение для функции Т(Ь) удобно записать в виде обычного уравнения затухающих колебаний:

T" + 2nT + a2T = 0(n > 0, а > 0).

Здесь

n = , a2 = ,а2 = 2 k2p'2,

1 + 27 т22 1 + 27 т22 3 s

^Р2 = Л + , V2 = -, р = (1 - кр0Г)рм, (4)

Р Р

где параметр к разделения переменных — волновое число, обратное 22

длине волны; v2 — квадраты скоростей продольных и поперечных волн в твердом скелете среды; крог — коэффициент пористости; рм — плотность твердой монолитной среды до дилатансии.

Решение и(х, Ь) уравнения (4) представляется в форме бегущих простых волн:

и = в—пг(А1 еов(шЬ ^ кх)) + А2 8т(шЬ ^ кх)). (5)

В равенстве (5) ш = \/(а2 — п2) = кУ < ка, У^ скорость распространения волн в вязкоупругом слое, ш — угловая частота колебаний.

У

времени запаздывания т1? но и за счет коэффициента дисперсности среды т2. Вариацией их значений можно получить любую скорость У < а, вплоть до близкой к нулю, т.е. получить отсутствие волнового движения. С уменьшением скорости уменьшается частота колебаний. Это объясняет эффект сдвига частоты в сторону ее уменьшения, увеличения амплитуды отраженных от резервуара волн (феномен «яркого пятна»"

Рассмотрим в окрестностях границ х = 0 и х = к флюидо-насыгценного слоя толщиной к, лежащего между упругими средами, явление отражения и преломления при нормальном падении на эти границы продольной упругой волны. Параметры упругой среды перед х=0

волны будем обозначать нижним индексом «1», параметры флюидо-насыщенной среды, лежащей между границами х = 0и х = к - без индекса, и упругой среды после границы х = к индексом «2». Считаем известными следующие константы, характеризующие среды: упругую (перед границей х = 0 ~ Ръ флюидо-насыгцепную - рм, V, крот, упругую (после границы х = х^) - Р2, Во всех средах ш и п задаются одними и теми же. Полагаем Л = д для всех сред (среда Пуассона).

Используя эти константы, вычисляем

'" ооо

к = V, а = V + п, Р = (1 - крог )р2

и, если это необходимо, коэффициенты тг и т2 по формулам (4).

Основные константы подобраны так, чтобы можно было согласовать отдельные затухающие гармоники в контактирующих средах с тем, чтобы легче было разобраться в физической сущности изучаемого явления.

х=0

волну (ирот) при условии, что ирог = 0 постоянно перед фронтом волны £ — х/у\ = 0 (т.е. среда находится в покое), искомые отраженную (и0) и преломленную (ирг) волны представим так:

ирог = {е—п(*—х/Чк1 (ш(£ — х/иг))

У£,х : (£ — х/~иг > 0),0У£,х : (£ — х/иг < 0), (6)

и0 = е—п(^+хМ)ф(ш(£ + хМ)), (7)

ирг = е-п1(С\со — кх) + С2со — кх)). (8)

Функции ирог и и0, очевидно, являются решениями уравнения движения упругой среды, ирг взята в соответствии с (5).

Следует отметить, что падающая волна — не импульс, а затухающая синусоида, определенная на координатной полуоси, поэтому она имеет большую протяженность во времени, что соответствует сигналу, генерируемому вибратором с последующим его затуханием.

Функция ф определяется из условия непрерывности смещений на х=0

ирог ^^ ио ирт (9)

и имеет вид

<fi(ut) = C1 cos ut + (C2 — 1)cos ut. (10)

Константы Ci и C2 определяются из условия непрерывности нормальных составляющих тензоров напряжений упругой и вязкоупругой сред:

(Ai + 2дх ){uPor,x + u0)X) = - Upr,tt(x = 0). (11)

Введя в рассмотрение акустические жесткости z1 = z = pw,

учитывая, что upor,x = upor¿, uo,x = uo,t, и разрешая систему уравнений (9) и (11), получим выражения для констант C1 и C2:

nz 2zi , . C1 = —7-¡-ГC2, C2 -"-n2z2 . (12)

W(z + z1) (z + zi) -

Так как cos a = — sin(a — п/2), то отраженная волна в окрестности границы отражения-преломления приобретает вид

uo = e—nt((C2 — 1) sinut — Cx sin(wt — n/2))(Cx > 0), (13)

т.е. она состоит из двух волн: первой — основной и второй — запаздывающей по фазе па п/2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фрейденталъ А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М,: Физматгиз, 1962. 432 с.

УДК 533.6.011:532.529 Н.О. Евсеев, Е.А. Лунёв, Г.Д. Севостьянов

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ОТРАЖЕНИИ КОСОГО СКАЧКА ОТ СТЕНКИ

Приведены таблицы теоретических значений параметров течения газа при регулярном отражении косого скачка от плоской стенки в виде косого скачка (режим Крокко обеспечивает единственность решения, устойчивость угла отражения при небольшом искривлении отраженного скачка, отсутствие отрыва потока в точке отражения). Сравнение вычисленных параметров с экспериментальными удовлетворительно.

Следуя работе [1], проведен расчет параметров течения газа при регулярном отражении косого скачка от плоской стенки (оси ж).