CC BY
29
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
УДК 629
А.Г. Бирюков, В.Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассматривается задача оптимального вывода твердого тела на заданную программную траекторию углового движения. Движение твердого тела описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений в отклонениях [1]
бси^ = дё^ + [V о о х дй^,
2й = д/ о V, ()
где = ш°(£) - программная угловая скорость, дш^ = дш^г\ + г2+ + дш^3гз, дё^ = де^г\+де^2%2+де^3г3 - кватернионы ошибки угловой скорости и углового ускорения, гг2, гз - мнимые единицы Гамильтона, волна означает сопряженный кватернион, V = и0 + и\г\ + v2i 2 + v3i 3 - кватернион, характеризующий отклонение текущей ориентации от программной, описываемой кватернионом программной ориентации А0 = А°(£). Знак «о»
х
ние.
Требуется построить управление дё^, переводящее твердое тело из начального положения
дше (0) = дш0, V (0) = V0 (2)
в конечное положение
дше (¿:)=0, V (¿0 = 1 (3)
за время Ь\. При этом функционал качества
г
J = / аг(V? + VI + VI) + «2(дш2 + дш| + дш|) +
+«з(де2 + де2 + де2)
(И
должен принимать минимальное значение. В функционале (4) а, а2, аз _ положительные константы.
Будем считать, что на управление не накладывается никаких ограничений, а время переориентации является фиксированным (заданным).
Сформулированную задачу будем решать с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона — Понтрягина [2
Н = -
а (V2 + + V2) + а2 (+ бы" + бы2) +
+аз(бе1 + бе" + бе") + ф1 (бе^ + - ^збы^) +
+ф2 (бе^2 + ^¿£1 — ^^¿£,3) + фз (бе^з + бш^2 — ^бы^) +
+2фо (—^¿¿1 — ^¿¿2 — ^збш^з) + -Ф1 (^о— ^¿¿з + ^36^2) +
1 1 2
+ -(^¿£2 + ^¿£3 — ^¿£1) + -фз (^¿£3 — ^¿£2 + ^¿£1) ,
(5)
где ф1, ф2, ф3 и фо, ф1, ф2, фз _ сопряженные переменные, соответствующие фазовым переменным , бш^2, бы£3 и и2, из.
Система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных ф1, ф2, ф3 и фо, ф1, ф2, ф3 имеет вид
ф = [V о ¿о ◦ х ф + 1 увсЬ(р о ф) + 2а2бы£,
ф = - бы£ о ф — ф о б(х>£ о - о ¿о — б(х>£ о ф о V о ¿о + ,
2
где ф = фо + ф1- + ф'^'ь2 + фз— ф = ф1- + ф2- + фз— , УвсЬ(^) - векторная часть кватерниона.
Из условия максимума функции Гамильтона — Понтрягина (5) для неограниченного управления имеем
бг = 203. (6)
Система дифференциальных уравнений краевой задачи оптимального управления, замкнутая полученным законом оптимального управления (6), запишется в виде
бсо^ =--+ о ¿о о х быс,
/ 2аз 1 с ]
2г/ = быс о V,
_ 1 _ ~ _ (7)
ф = [и о ¿о о х ф + -г>вс£(- о ф) + 2а2быс,
ф = - быс о ф — ф о быс о - о ¿о — быс о ф о V о ¿о + .
2
Система (7) - это система четырнадцати обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядок системы может быть понижен на единицу путем введения новой векторной переменной р = увсЪ^й о р):
+ IV, . ,-.о „ _
2- = дш£ о V,
дш£ =--+ IV о ш° о и] х дш£,
4 2а3 1 £ ]
1 (8)
р = \у о щ>0 о и] х р + -р + 2а2дш£,
2
р = дш^ х р — а1и0йу — 2 [и о ш0 о ¿/] х [р х дш^].
Для частного случая, когда программное движение есть ориентированное положение в пространстве, проведено аналитическое исследование дифференциальных уравнений задачи. Найдены три первых интеграла для уравнений задачи: скалярный первый интеграл
2 1 2 1 2 аз|дш£1 — |р| + 2Р ■ дш4 — а1ио = C, (9)
и два векторных первых интеграла
дш х р + ^р — 1V о р о - = й, (10)
22
дш^ — V о дш^ о V = К | х дш^ |, (11)
где С,й,К - постоянные, которые могут быть определены через заданные граничные условия.
Для частного случая, когда программным движением является ориентированное положение в пространстве, а весовые коэффициенты а1 = = а2 = 0, найдено частное аналитическое решение в предположении, что вектор дш^ сонаправлен или противоположно направлен вектору р на всем интервале времени. Полученное решение согласуется с решением, построенным в работе [3]. Вектор ошибки по угловой скорости дш£ и кватернион ошибки ориентации V в этом случае имеют вид
дш— (£) = дш—0 —
2аз
12
роЬ —
о V0,
/1 _ г - ¿3 £2 1
и (£) = С [|дшо0|£ — |р_о| 2403— |р_о| 403-
р(£) = ро + 2ро£, р = ро = сопв!, 48о^ — 24«з|дш^|£1 — 12о^ + 4аз |дш—°|£1
|р0| = -72-, |Р0| = -Г-■
$ = 2 arccos(sqai(v о V0)),
где C = , , expM - кватернионная экспонента, sqalM - скалярная |ö6<j ^ |
часть кватерниона. Этот случай имеет место, когда Ц vect(v0) Ц
ТС Р0 ТС ^0-
При ai = 0 и a2 = 0 задача решена численно с помощью метода Ньютона. Результаты математического моделирования подтвердили эффективность построенного закона оптимального управления.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-0100310).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 1 // Изв. РАН. Сер. МТТ. 2002. № 1. С. 3-17; 2002. № 2. С. 3-17.
2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М,: Наука, 1978. 552 с.
3. Молоденков A.B. Кватернионное решение задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс // Проблемы механики и управления: Сб. науч. тр. Пермь, 1995. С. 122-131.
УДК 533.6.011.72:532.529 C.B. Иванов, А.Д. Ковалев
ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
В теоретических и экспериментальных исследованиях по динамике ударных волн в двухфазных газожидкостных средах широко применяются локально равновесные термодинамические модели, позволяющие учесть основной физический фактор — существенное изменение свойств сжимаемой среды. Равновесие модели двухфазных или в общем случае многофазных сред соответствуют двухпараметрическим средам, то есть определяются двумя независимыми термодинамическими параметрами. В задачах распространения относительно слабых волн уравнения состояния двухпараметрической среды рассматриваются обычно как произвольные и описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими законам термодинамики [1]. При этом свойства двухпараметрической среды характеризуются коэффициентами дифференциальных уравнений.
Ниже дано конструктивное обобщение дифференциальной термодинамической модели произвольной двухпараметрической среды на случай
