Исследование задачи оптимальной стабилизации ориентированного углового положения сферически симметричного твёрдого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629

В.Г. Бирюков, А.Г. Бирюков

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОРИЕНТИРОВАННОГО УГЛОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматривается задача оптимальной стабилизации ориентированного угового положения твердого тела, обладающего сферической симметрией. С помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина построено оптимальное управление в виде функции фазовых координат, содержащее две неизвестные скалярные величины.

1. Постановка задачи. Угловое движение сферически симметричного твердого тела описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1]

{ * = U (1) \ 2А = А о *, ()

M -

где и = —, M — момент внешних сил, J — осевой момент инерции твер-

J _

до го тела, * — абсолютная угловая с корость, А — кватернион ориентации твердого тела.

иА

которого описывается уравнениями (1), асимптотически устойчивым образом из задано!ч> начального состояния

А(0) = А0,*(0) = *0 (2)

в конечное состояние

А = 1,* = 0 (3)

и при этом должен принимать наименьшее значение функционал качества переходного процесса

сю

I = У (ai|Av |2 + а2|* |2 + аз|и|2), 0

где а1, а2, а3 = const > 0 — весовые коэффициенты, -v — векторная часть А

иА

ограничения.

но

2. Метод решения задачи. Поставленная задача решалась с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина. Составлялась функция Гамильтона - Понтрягина и система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных. Из условия максимума функции Гамильтона-Понтрягина был найден закон оптимального управления в виде функции сопряженных переменных:

йорЬ = —, (4)

где (р — векторная сопряженная переменная, соответсвуюгцая угловой скорости твердого тела и.

В результате задача была сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений углового движения твердого тела (1), замкнутой законом оптимального управления (4) и дополненной системой дифференциальных уравнений для сопряженных переменных

- ( и =

2аз'

2Р = Р о и, (5)

(р = 2«2й - р, р = р х и + 2«! РоР^,

где р = Увс1(Р о ф), ф — кватернпонная сопряженная переменная, соответ-

Рр Ро

РР

Былн найдены первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5):

«2|й|2 - -1-|(р|2 - и • р - 2«!Р0 = С, (6)

4аз

и х (Р - р + Р о р о Р = й. (7)

Следует отметить, что выражение (6) представляет собой скалярный первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5), а соотношение (7) — векторный первый интеграл системы (5).

Векторная постоянная й, входящая в первый интеграл (7) определяется из конечного состояния твердго тела (3): й = 0. С учетом этого первый интеграл (7) принимает вид

и х (р - р + р о р о р = 0. (8)

Рассмотрим подробнее первый интеграл (8). Так как слагаемое р о р о р представляет собой операцию вращения вектора р по конусу вокруг векторной части кватерниона р [1], то разность (р о р о р - р) ортогональна

1И

Лv, а следовательно, и векторное произведениеЛ х (Л ортогонально pv. Учитывая, что векторы ¿Ли (Л также ортогональны векторному произведению (Л х (Л, приходим к выводу, что векторы ЛЛ, (Л и pv являются компланарными и могут быть связаны между собой соотношением

(Л = + hi pv, (9)

где k1,ki — подлежащие определению скалярные коэффициенты, которые в общем случае зависят от фазовых координат р и ¿Л.

Учитывая соотношение (9) и конечные условия (3), найдем постоянную C, входящую в скалярный первый интеграл (6): C = —2а1.

Подставляя выражение (9) в формулу для оптимального управления (4), получаем закон оптимального управления в виде функции фазовых координат

uopt = -L(ki( + ki pv). (10)

2аз

Коэффициенты ki и k2 являются коэффициентами усиления нелинейной обратной связи. Они должны удовлетворять двум условиям: во-первых, закон управления (10) должен обеспечивать асимптотически устойчивый перевод твердого тела из заданного начального состояния (2) в ориентированное положение (3), во-вторых, соотношение (9) должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений (5). Для определения этих коэффициентов можно воспользоваться прямым методом A.M. Ляпунова исследования устойчивости движения и теоремой H.H. Красовского об оптимальной стабилизации [2, 3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ms08-01-00310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бранец В.Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М,: Наука, 1973.

2. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М,: Наука, 1966.

3. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М,: Наука, 1978.

УДК 550.834

В.М. Гурьянов, O.A. Воронцова

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МОНОТИПНЫХ ВОЛН

Энергетический подход [1] к получению дифференциальных уравнений нелинейных упругих волн конечных деформаций приводит к системе уравнений первого порядка:

щ - = о, т

^ - р = 0, ()