CC BY
94
УДК 531.38
БИКВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ю. Н. Челноков1, Е. И. Нелаева2
1 Челноков Юрий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического и компьютерного моделирования, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского; заведующий лабораторией ИПТМУ РАН, [email protected]
2Нелаева Екатерина Игоревна, аспирант кафедры математического и компьютерного моделирования, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Рассматривается в бикватернионной постановке кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации произвольного программного движения свободного твердого тела. В качестве математической модели движения используется бикватернионное кинематическое уравнение возмущенного движения свободного твердого тела в двух различных формах, а в качестве управления — мгновенный винт скоростей движения тела. Каждый из минимизируемых функционалов характеризует собой интегральную величину энергетических затрат на управление и квадратичных отклонений параметров движения свободного твердого тела от их программных значений. С помощью принципа максимума Понтрягина построены законы оптимального управления и дифференциальные уравнения задачи оптимизации. Найдено аналитическое решение этой задачи. Приводятся результаты применения найденного закона кинематического управления к решению обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора.
Ключевые слова: оптимальное управление, твердое тело, бикватернион, обратная задача кинематики. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-2-198-207
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается в бикватернионной постановке кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации произвольного программного движения свободного твердого тела. Кинематические задачи управления играют важную роль в теории управления движением твердого тела. Эти задачи во многих случаях имеют аналитические решения, которые часто используются при построении программных и стабилизирующих траекторий и управлений движением твердого тела. Использование аналитических решений кинематических задач управления в сочетании с методом решения обратных задач динамики позволяет в ряде случаев построить эффективные законы управления движением твердого тела, учитывающие его динамику. Задачи управления в кинематической постановке также рассматриваются в теории дифференциальных игр, бесплатформенных инерциальных навигационных системах, в механике роботов-манипуляторов, при решении задач наведения, анимации (оживления) пространственных образов на экранах ЭВМ.
В изучаемой задаче роль управления играет кинематический винт свободного твердого тела, фазовой переменной является нормированный бикватернион конечного перемещения твердого тела. Математическая модель движения имеет вид дифференциального бикватернионного кинематического уравнения движения свободного твердого тела. Производится построение оптимального стабилизирующего управления с использованием принципа максимума Понтрягина. Ошибка по местоположению твердого тела задается двумя способами с помощью бикватениона ошибки местоположения, определенного своими компонентами либо в основной системе координат, либо в системе координат, связанной с твердым телом. Кроме того, рассматриваются два способа формирования полного управления: винтовой, когда это управление формируется в виде винтовой суммы стабилизирующего и программного управлений (кинематических винтов); формальный, когда дуальные ортогональные проекции полного управления на оси связанной системы координат формируются в виде суммы дуальных ортогональных проекций программного и стабилизирующего управлений на оси программной и связанной
систем координат соответственно (т.е. на оси разных систем координат). Полученные с помощью этих способов дифференциальные уравнения возмущенного движения различаются как по форме, так и по смыслу используемых переменных, что приводит к разным законам формирования управления.
В кватернионной постановке задачи управления вращательным движением твердого тела рассматривались в [1-10]. В работах [3,9] изучалась задача кинематического оптимального (в смысле быстродействия) пространственного разворота твердого тела. В этой задаче роль управления играет вектор угловой скорости твердого тела. Фазовой переменной является нормированный кватернион ориентации твердого тела, математическая модель движения имеет вид дифференциального кватер-нионного кинематического уравнения вращательного движения. Граничные условия накладываются на кватернион ориентации твердого тела. Эта задача для интегрального квадратичного (в отношении проекций вектора абсолютной угловой скорости твердого тела) функционала качества изучалась в работе [7]. В работах [1-6] рассматривалась кинематическая задача управления ориентацией твердого тела в рамках теории нелинейной стабилизации (с использованием кватернионных уравнений углового движения в отклонениях и управления, построенного по принципу обратной связи), а в работах [8,10] — в рамках теории оптимальной нелинейной стабилизации. Задача построения оптимального в смысле быстродействия винтового перемещения твердого тела из заданного начального положения в требуемое конечное в бикватернионной кинематической постановке изучалась в [9,11]. Для решения задачи использованы бикватернионные кинематические уравнения винтового движения твердого тела, предложенные в [12]. В [13] изучалась задача построения с использованием принципа обратной связи кинематического винта скоростей, сообщение которого твердому телу обеспечивает его асимптотически устойчивый перевод из произвольного начального положения на любую выбранную программную траекторию винтового движения и дальнейшее асимптотически устойчивое движение по этой траектории.
Рассматриваемая задача является обобщением кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации произвольного программного углового движения твердого тела, исследованной в [8,10], на случай произвольного движения свободного твердого тела.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу построения оптимального кинематического стабилизирующего управления движением свободного твердого тела. В качестве управления в этой задаче рассматривается кинематический винт свободного твердого тела, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального положения на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.
В соответствии с [13] уравнения возмущенного движения свободного твердого тела имеют вид
2М = о М, (1)
2М* = М* о Диж, (2)
где М, М* — бикватернионы ошибки ориентации и местоположения, характеризующие отклонение действительной ориентации и местоположения твердого тела от его программной ориентации и программного местоположения, причем бикватернион М* определен своими компонентами в связанной системе координат X, а М — в основной (например, инерциальной) системе координат 2; винты и Дих — это искомые стабилизирующие управления движением свободного твердого тела, о — символ бикватернионного умножения, верхняя точка означает производную по времени.
Бикватернионы М и М* определяются соотношениями:
М = Л о М* = о л,
где Л и — бикватернионы действительной и программной ориентации и местоположения твердого тела в инерциальной системе координат, верхняя черта — символ сопряжения бикватернионов.
Винты бИ и ДИх (управления) определяются соотношениями:
бИ5 = Л о бИх о Л, бИх = и - ирг (£),
ДИ = их - ихг = Их - М* о ирг(*) о М*,
где Их — отображение кинематического винта твердого тела на оси связанной системы координат, Ир г и Ихг — отображения программного кинематического винта твердого тела на оси программной 2 и связанной систем координат соответственно.
Выберем следующие функционалы минимизации:
»те
J = 7/ («1 |М„ |2 + |2)^, (3)
»те
4 ^ о 1 4
J = 7/ («1 |М*|2 + «2|ДИх|2)^, (4)
о
где а1, а2 — положительные весовые коэффициенты; М„, М* — винтовые части бикватернионов М,
М*.
Каждый из функционалов характеризует собой интегральную величину энергетических затрат на управление и квадратичных отклонений параметров движения свободного твердого тела от их программных значений, взятых в определенной пропорции, определяемой величинами весовых коэффициентов а1 и а2.
Задача заключается в построении стабилизирующих управлений бИ и ДИх, обеспечивающих асимптотическую устойчивость невозмущенного движения М = М* = 1 (М„ = М^ = 0) и доставляющих минимум функционалам (3), (4).
2. МЕТОДОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Методология решения задачи одинакова как для бикватернионного уравнения возмущенного движения (1) и функционала качества (3), так и для уравнения (2) и функционала (4), поэтому далее будем рассматривать только задачу (1), (3), имея в виду, что полученный результат можно перенести на задачу (2), (4).
Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л. С. Понтрягина. Дуальная функция Гамильтона - Понтрягина для задачи, описываемой фазовым бикватернионным кинематическим уравнением (1) и функционалом качества (3), имеет вид
н = - 4 ММ2 + м22 + м32) + «2№2 + би22 + биз2))+
+ 7(Фо(-М1 би - М2^^2 - Мзбиз) + Ф1 (Моби + Мзби2 - М2биз)+ +Ф2(Моби2 + М1 биз - Мзби1) + Фз(Мобиз + М2би1 - М1 би2)), (5)
где М^ (г = 0,3) — компоненты бикватерниона М (дуальные фазовые переменные), Ф^ (г = 0,3) — дуальные сопряженные переменные, би (г = 0,3) — компоненты кинематического винта бИ^(дуальные скалярные управления).
В соответствии с выражением (5) уравнения для дуальных сопряженных переменных запишутся в виде
дН
2,Ф о = -= -(Ф1би1 + Ф2 би2 + Фз биз), дМо
дн
2ФФ1 = - ■дН = (Фоби1 - Ф2биз + Фзби2) + «1М1, дМ1 дн
2ФФ2 = - -дН = (Фоби2 + Ф1 биз - Фзби1) + «1М2, дМ2 дн
2ФФз = -■дН = (Фобиз - Ф1 би2 + Ф2би1) + «1 Мз.
дМз
Если ввести бикватернион Ф, компонентами которого являются дуальные вспомогательные переменные Ф^, то уравнения для сопряженных переменных можно записать в бикватернионом виде:
2Ф = «1 М, + 0И5 о Ф. (6)
Согласно принципу максимума Понтрягина, для того чтобы управление И было оптимальным, необходимо, чтобы функция Гамильтона - Понтрягина принимала максимальное значение. Применяя необходимое условие экстремума, получаем:
д— 1 1
-— = - -а^ОЦ. + -(-Ф0М1 + Ф1М0 - Ф2Мз + Ф3М2) = 0, ои1 2 2
д— - -
-— = - -«25^2 + -(-Ф0М2 + Ф1М3 + Ф2Мо - Ф3М1) = 0, 0^2 2 2
д— 1 1
-— = - -«20^3 + -(-Ф0М3 - Ф1М2 + Ф2М1 + Ф3М0) = 0. ои3 2 2
Отсюда получим законы оптимального управления в виде функций компонент бикватерниона ошибки местоположения и сопряженных переменных:
0и1 = — (-Ф0М1 + Ф1М0 - Ф2М3 + Ф3М2), «2
ои2 = — (-Ф0М2 + Ф1М3 + Ф2 М0 - Ф3М1), «2
0и3 = — (-Ф0М3 - Ф1М2 + Ф2М1 + Ф3М0). «2
Перепишем эти соотношения в бикватернионом виде:
0И5 = — зегвЦФ о М), (7)
«2
где 5сге^(-) — винтовая часть бикватерниона, стоящего в круглых скобках.
Соотношение (7) представляет собой выражение стабилизирующего управления 0И через сопряженные переменные и компоненты бикватерниона ошибки местоположения. Подчеркнем, что соотношение (7) справедливо в случае отсутствия ограничений на управление.
Подставляя соотношение (7) в фазовое уравнение (1) и уравнение для сопряженных переменных (6), получим уравнения задачи оптимального управления:
2М = —(Ф - 5еа1(Ф о М)М), «2
2Ф = а1 М, + — Ф о М о Ф - — 5еа1(Ф о М)Ф. (8)
«2 «2
Здесь 5са1(-) — скалярная часть бикватерниона, стоящего в круглых скобках.
Полученные бикватернионные дифференциальные уравнения являются нелинейными и вряд ли могут быть решены аналитически в общем случае. Однако в случае, когда бикватернионная сопряженная переменная Ф имеет нулевую винтовую часть, т.е. когда Ф = , эти уравнения интегрируются в явном виде. В этом случае закон управления (7) принимает вид
0И5 = - —^0 М,. (9)
«2
Первое уравнение системы (8) с учетом (9) принимает вид
2М =— ^0(1 - М0М). (10)
«2
Это дифференциальное уравнение интегрируется аналитически. Общее решение уравнения для переменной М0 (дуальной скалярной части бикватерниона М) имеет вид
= 1 - С0 ехр(-^0 02) = 1 - Мр(0)
М0(г) 1 + С0 ехр(-^0оЬ)' С0 1+ М0(0)'
где с0 — дуальная скалярная постоянная, определяемая начальными условиями движения (при * = 0 Мо = Мо (0)).
Интегрирование уравнения (10) для переменных М^ (к = 1,3) (компонент винтовой части биква-терниона М) дает
М(*)| = М(0)|ехр((-) / (Мо(т)), к = 173.
2а2 Уо
Из второго уравнения (8) и соотношения (9) следует, что
^о = ±л/ «1 «2 •
Из полученного закона изменения переменной Мо видно, что невозмущенное движение для оптимального закона управления (9) асимптотически устойчиво при > 0, т.е. когда = Л/а1 а2. Следовательно, оптимальный закон стабилизирующего управления имеет вид
= — Га1Му, (11)
V а
а соответствующие ему оптимальные законы изменения дуальных параметров Эйлера М^ (г = 0,3), характеризующих управляемое угловое движение свободного твердого тела, описываются соотношениями
1 - со ехр(— ^
Мо(*) =-, со =
1 - Мо (0)
1 + со ехр(—/ОТ*)' 1 + Мо(0)'
М(*)| = М(0)| ехр((—1 ^) Дмо(т) ¿г)), к = 1, 3.
2 а2 ./о
Аналогичным образом могут быть получены закон оптимального управления и соответствующие ему законы изменения дуальных параметров Эйлера для задачи, описываемой уравнением возмущенного движения (2) и функционалом минимизации (4):
ли = — /^м:, V «2
М. (*) _ 1 - <*ехр (-Д*) с, = 1 - мо (0)
Мо 1 + с^ ехр (-Д,)' С0 =1 + МО (0) 7
М*(()| = М(0)|ехр ((-1/(М0(т)¿т)) , к = 173•
Оптимальное движение свободного твердого тела в текущий момент времени * представляет собой мгновенное винтовое движение вокруг оси, имеющей в инерциальной системе координат направление, противоположное направлению винта М:(*) = 5сге^(Л(*)оN0), а в связанной системе координат — винта М*(*) = зсгвЦ^*) о Л(*)).
3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Полученные законы управления применим для решения обратной задачи кинематики стэнфорд-ского манипулятора. Обратная задача кинематики заключается в определении фазовых координат манипулятора по известному угловому и линейному местоположению выходного звена. Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием бикватернионной теории кинематического управления была описана в [13] и применялась в [14,15].
Применение бикватернионной теории кинематического управления движением свободного твердого тела позволяет свести решение обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов к решению задачи управления движением выходного звена манипулятора. При этом за программное (требуемое)
положение выходного звена манипулятора будем принимать то положение, для которого необходимо решить обратную задачу кинематики. Начальное положение выходного звена зададим произвольным набором значений обобщенных координат манипулятора из их рабочих диапазонов. В качестве управления будем использовать векторы угловой и линейной скоростей выходного звена манипулятора. Таким образом, в результате решения задачи управления получим набор обобщенных координат манипулятора, отвечающих заданному программному положению, т. е. одно из решений обратной задачи кинематики.
Рассмотрим численное решение обратной задачи кинематики стэнфордского манипулятора для заданного местоположения выходного звена, соответствующего следующим значениям обобщенных координат робота-манипулятора: = 20°, = 40°, ¿3 = 0.3 м, = -35°, = 60°, = -45°. Начальное положение схвата манипулятора зададим следующим набором фазовых координат: = -30°,
= 15°, ¿3 = 0.5 м, = 36°, = -90°, = 45°. Шаг интегрирования выберем равным 0.01 с, отношение весовых коэффициентов примем а1 /а2 = 1. Точность решения задачи будем полагать равной 0 = 10-6. Под достижением заданной точности решения задачи будем понимать выполнение условий:
44
| - А|| < 0, £||п01 - |Л01| < 0,
¿=0 ¿=0
где пг и п0 — компоненты главной и моментной частей программного бикватерниона К, а Аг и А0 — компоненты главной и моментной частей бикватерниона текущего положения выходного звена манипулятора Л.
На рис. 1-3 приведены графики изменения компонент главной и моментной частей бикватерниона ошибки местоположения М*, компонент главной и моментной частей управления (угловой ш и линейной V скоростей выходного звена манипулятора), обобщенных координат. Время численного решения задачи с заданной точностью составило 11.72 с.
Рис. 1. Компоненты главной (а) и моментной (б) части бикватерниона ошибки местоположения
Рис. 3. Фазовые координаты
На рис. 1-3 ( и у — компоненты угловой ш и линейной V скоростей выходного звена манипулятора, (рг, dз (г = 1, 2,4,5,6) — фазовые координаты стэнфордского манипулятора.
В результате численного решения были получены следующие значения обобщенных координат: = 20°, = 40°, dз = 0.3 м, = -215°, = -60°, = 135°. Отметим, что в силу неоднозначности решения обратной задачи кинематики полученные значения фазовых координат могут отличаться от тех задаваемых значений, по которым вычислялся бикватернион программного положения выходного звена. Компоненты би-
кватерниона ошибки местоположения выходного звена в результате численного решения приняли следующие значения: т0 = 1, тг = 0, = 0, г = 1,3, ] = 0,3. Таким образом, получили, как и следовало ожидать, что бикватернион М*(Ь) ^ 1 при Ь ^ Компоненты управления в процессе управляемого движения асимптотически стремятся к нулю.
Рассмотрим также численное решение обратной задачи кинематики для различных отношений весовых коэффициентов. Остальные начальные параметры будем задавать как в первом случае. Результаты решения задачи приведены в таблице.
Результаты решения задачи для различных отношений весовых коэффициентов
«1 / «2 Ь, с тах(|ш |) тах(^|)
0.01 117.74 0.1 0.003
0.05 52.62 0.224 0.007
0.1 37.17 0.316 0.01
0.5 16.60 0.707 0.023
1 11.72 1 0.032
5 5.2 2.236 0.072
10 3.66 3.162 0.101
50 1.6 7.071 0.215
100 1.12 10 0.307
В таблице |ш| и |V| — модули главной и моментной частей управления, определяемые по формулам:
|ш(Ь)| = ^К(ь)| = ,/О1 (1 - (то(Ь))2), ПЬ)1 = ^|т«о(Ь)|. V «2 V «2 V «2
На рис. 4, 5 приведены графики изменения главной и моментной частей управления при ^ = 0.05 и ^ = 50.
-0,075
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
с Ь, с
а б
Рис. 4. Компоненты главной части управления при а1/ а2 = 0.05(а) и а1/а2 = 50 (б)
и 0,0125 "й 0,0100 ^ 0,0075
0,0050
........\. д:
/аУ
1 ^
I
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
г, с
а б
Рис. 5. Компоненты моментной части управления при а\/а2 = 0.05(а) и а\/а2
50 (б)
Из таблицы и рис. 4, 5 можно сделать вывод: чем больше коэффициент а\, отвечающий за минимизацию среднеквадратичных отклонений, тем больше модули главной и моментной частей управления и меньше время решения задачи, и, наоборот, чем больше коэффициент а2, отвечающий за минимизацию управления, тем меньше модули главной и моментной частей управления и больше время, за которое достигается требуемая точность решения.
Из сравнения рис. 2, а, рис. 4, а, б и рис. 2, б, рис. 5, а, б следует, что при различных отношениях весовых коэффициентов характер переходного процесса одинаков, изменяются лишь величины управлений и время решения задачи.
Полученные законы изменения управлений и обощенных координат манипулятора являются оптимальными для перевода выходного звена из заданного начального в требуемое конечное положение. Поэтому рассмотренный подход позволяет не только решать обратную задачу кинематики, но и численно строить программные оптимальные законы изменения обобщенных коордлинат, угловой и линейной скорости выходного звена манипулятора для задачи перевода манипулятора из заданного начального в заданное конечное положение.
Библиографический список
1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах управления положением твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4. С. 24-31.
2. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Кинематическая задача ориентации во вращающейся системе координат // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 6. С. 36-43.
3. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М. : Наука, 1973. 320 с.
4. Плотников П. К., Сергеев А. Н., Челноков Ю. Н. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 9-18.
5. Панков А. А., Челноков Ю. Н. Исследование ква-тернионных законов кинематического управления ориентацией твердого тела по угловой скорости // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 6. С. 3-13.
6. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М. : Наука, 1992. 280 с.
7. Молоденков А. В. Кватернионное решение задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс // Проблемы механики
и управления : межвуз. сб. науч. тр. Пермь : Изд-во ПГУ, 1995. С. 122-131.
8. Бирюков В. Г., Челноков Ю. Н. Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 172-174.
9. Маланин В. В., Стрелкова Н. А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. М.; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 204 с.
10. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернион-ные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М. : Физматлит, 2006. 511 с.
11. Стрелкова Н. А. Оптимальное по быстродействию кинематическое управление винтовым перемещением твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 73-76.
12. Челноков Ю. Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твёрдого тела // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 1. С. 32-39.
13. Челноков Ю. Н. Бикватернионное решение кинематической задачи управления движением твер-
дого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 1. С. 38-58.
14. Ломовцева Е. И., Челноков Ю. Н. Дуальные матричные и бикватернионные методы решения прямой и обратной задач кинематики роботов-манипуляторов на примере стэнфордского манипулятора. II // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мате-
матика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 1. С. 88-95.
15. Нелаева Е. И., Челноков Ю. Н. Решение прямых и обратных задач кинематики роботов-манипуляторов с использованием дуальных матриц и бикватернионов на примере стэнфордского манипулятора. Ч. 1 // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т. 16, № 6. С. 373-380. 001: 10.17587/шаи.16.373-380.
Solving Kinematic Problem of Optimal Nonlinear Stabilization of Arbitrary Program Movement
of Free Rigid Body
Yu. N. Chelnokov1, E. I. Nelaeva2
1 Yurii N. Chelnokov, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia; Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences, 24, Rabochaya st., 410028, Saratov, Russia, [email protected] 2Ekaterina I. Nelaeva, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia [email protected]
The kinematic problem of nonlinear stabilization of arbitrary program motion of free rigid body is studied. Biquaternion kinematic equation of perturbed motion of a free rigid body is considered as a mathematical model of motion. Instant speed screw of body motion is considered as a control. There are two functionals that are to be minimized. Both of them characterize the integral quantity of energy costs of control and squared deviations of motion parameters of a free rigid body from their program values. Optimal control laws and differential equations of optimization problem are determined using the Pontryagin's maximum principle. Analytical solution of this problem has been found. The control law obtained is used for numerical solution of the inverse kinematics of a Stanford robot arm. The analysis of the numerical solution is carried out.
Keywords: optimal control, rigid body, biquaternion, inverse kinematics.
References
1. Branec V. N., Shmyglevskij I. P. Using Biquater-nions in Problem of Rigid Body Position Control. Izv. AN SSSR. MTT, 1972, no. 4, pp. 24-31 (in Russian).
2. Branec V. N., Shmyglevskij I. P. Kinematic Problem of Orientation in Rotating Coordinate Frame. Izv. AN SSSR. MTT, 1972, no. 6, pp. 36-43 (in Russian).
3. Branec V. N., Shmyglevskij I. P. Primenenie kvaternionov v zadachah orientacii tverdogo tela [Using Biquaternions in Problem of Rigid Body Orientation]. Moscow, Nauka, 1973, 320 p. (in Russian).
4. Plotnikov P. K., Sergeev A. N., Chelnokov Yu. N. Kinematic control problem for the orientation of a rigid body. Mech. Solids, 1991, vol. 37, no. 5, pp. 7-16.
5. Pankov A. A., Chelnokov Yu. N. Investigation of quaternion laws of kinematic control of solid body orientation in angular velocity. Mech. Solids, 1995, vol. 33, no. 6, pp. 3-13.
6. Branec V. N., Shmyglevskij I. P. Vvedenie v teoriju besplatformennyh inercial'nyh navigacionnyh sis-tem [Introduction to the Theory of Strapdown In-ertial Navigation Systems]. Moscow, Nauka, 1992, 280 p. (in Russian).
7. Molodenkov A. V. Kvaternionnoe reshenie zadachi
optimal'nogo razvorota tverdogo tela so sferich-eskim raspredeleniem mass [Quaternion Solution of the Problem of Optimal Rotation of a Rigid Body With a Spherical Mass Distribution]. Proble-my mehaniki i upravlenija: Mezhvuz. sb. nauch. tr. Perm', Perm Univ. Press, 1995, pp. 122-131 (in Russian).
8. Birjukov V. G., Chelnokov Ju. N. Kinematicheskaja zadacha optimal'noj nelinejnoj stabilizacii uglovo-go dvizhenija tverdogo tela [Kinematic Problem of Optimal Nonlinear Stabilization of Rigid Body Angular Motion]. Matematika. Mehanika [Mathematics. Mechanics]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2002, iss. 4, pp. 172-174 (in Russian).
9. Malanin V. V., Strelkova N. A. Optimal'noe up-ravlenie orientaciej i vintovym dvizheniem tverdo-go tela [Optimal Control of Rigid Body Orientation and Screw Motion]. Moscow; Izhevsk, NIC "Reg-uljarnaja i haoticheskaja dinamika", 2004, 204 p. (in Russian).
10. Chelnokov Yu. N. Quaternion and Biquaternion Models and Methods of Mechanics of Solid Bodies and its Applications. Geometry and Kinematics of Motion. Moscow, Fizmatlit, 2006, 511 p. (in Russian).
11. Strelkova N. A. Optimal'noe po bystrodejstviju kinematicheskoe upravlenie vintovym peremeshhe-
niem tverdogo tela [Time Optimal Kinematic Control of Rigid Body Screw Motion]. Izv. AN SSSR. MTT, 1982, no. 4, pp. 73-76 (in Russian).
12. Chelnokov Yu. N. On integration of kinematic equations of a rigid body's screw-motion. Applied mathematics and mechanics, 1980, vol. 44, no. 1, pp. 19-23.
13. Chelnokov Yu. N. Biquaternion Solution of the Kinematic Control Problem for the Motion of a Rigid Body and Its Application to the Solution of Inverse Problems of Robot-Manipulator Kinematics. Mech. Solids, 2013, vol. 48, no. 1, pp. 31-46.
14. Lomovceva E. I., Chelnokov Ju. N. Dual matrix and
biquaternion methods of solving direct and inverse kinematics problems of manipulators for example Stanford robot arm. II. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 1, pp. 88-95 (in Russian).
15. Nelaeva E. I., Chelnokov Ju. N. Solution to the Problems of Direct and Inverse Kinematics of the Robots-Manipulators Using Dual Matrices and Bi-quaternions on the Example of Stanford Robot Arm. Pt. 1. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Up-ravlenie, 2015, vol. 16, no. 6, pp. 373-380. DOI: 10.17587/mau.16.373-380 (in Russian).
