Скользящий режим управления в задаче оптимальной переориентации космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.78

Я.Г. Сапунков, А.В. Молоденков

СКОЛЬЗЯЩИЙ РЕЖИМ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Рассматривается задача оптимальной переориентации космического аппарата, как твердого тела со сферическим распределением масс, при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости космического аппарата в кватернионной постановке. В качестве критерия оптимальности используется функционал, который объединяет время и интегральную величину модуля вектора управления.

Космический аппарат, оптимальное управление, скользящий режим управления, произвольные граничные условия.

Ya.G. Sapunkov, A.V. Molodenkov

A SLIDING CONTROL REGIME IN THE PROBLEM OF A SPACECRAFT OPTIMAL REORIENTATION

The problem of the optimal reorientation of a spacecraft as a rigid body with a spherical distribution of mass under arbitrary boundary conditions on the attitude and the angular velocity of a spacecraft with the constraint of a modulus of a control action in the quaternion statement is considered here. The functional that combines the time and the integral value of a modulus of a control vector spent on the turn of a spacecraft is used as the optimality criterion (each of criteria is increased on a weight factor). The research of a sliding control regime of a spacecraft is submitted. An explicit form of the angular velocity and trajectory of a spacecraft motion on a sliding mode of control is obtained, the numerical example is given.

Spacecraft, optimal control, sliding control regime, arbitrary boundary conditions.

Введение. Построение управления пространственной переориентацией космического аппарата (КА), как твердого тела, в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и построения управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Точное аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено (в том числе и в случае сферической симметрии, не говоря уже о произвольной динамической конфигурации КА); известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1-4]). В общем случае

приходится рассчитывать только на приближенные численные решения, при этом скользящие (особые) режимы управления в таких решениях не рассматриваются [2, 5-7] (хотя они возможны). Поэтому аналитическое исследование скользящих (особых) режимов управления в задаче оптимального разворота КА является актуальным.

Постановка задачи имеет традиционную форму, управление положено функцией кусочно-непрерывной и ограниченной по модулю. Функционал качества в задаче объединяет два критерия: время и интегральную величину модуля вектора управляющего воздействия, затраченных на разворот КА; при этом каждый из критериев умножен на свой весовой коэффициент. На основании принципа максимума Л.С. Понтрягина получаются выражения для структуры оптимального управления, функции Гамильтона - Понтрягина и сопряженной системы уравнений для исходной задачи. Особым режимом управления принято называть ситуацию, когда непосредственно из условия максимума для функции Гамильтона - Понтря-гина оптимальное управление не определяется. Тогда переходят к исследованию производных разных порядков функции Гамильтона - Понтрягина, фазовых и сопряженных переменных задачи. С использованием этого подхода показано, что в зависимости от соотношения между весовыми коэффициентами функционала качества, граничными условиями задачи и заданной величиной, ограничивающей модуль вектора управления КА, особый режим в задаче возможен. При этом на особом участке управления вектор угловой скорости КА перпендикулярен вектору оптимального управления КА. Представлено явное выражение для вектора угловой скорости КА на особом участке управления. Показано, что траектория движения сферически симметричного КА на особом участке управления представляет собой коническую регулярную прецессию.

Статья продолжает исследования, начатые в [8, 9], при этом авторами представлен новый, более компактный подход к решению задачи, чем изложенный в [9].

1. Постановка задачи. Движение сферически симметричного КА вокруг центра масс

описывается уравнениями [1]:

2 Л'=Л ° и , (1)

ш'= М, (2)

где Л(^) = X ) + Х1 (^ )/1 + X 2 (^ )/2 + Х3 (^) /3 (кватернион поворота КА),

ю(^) = ш1(^)11 +ш2(^)12 + ш3(^)13 (вектор угловой скорости КА) - фазовые координаты, М(7) = [М1^),М2(Х),М3(Х)]Т - управление, которые подчинены требованиям задачи понтрягин-ского типа ( Л(^), ) - непрерывные функции, М(7) - кусочно-непрерывная функция); кватернион Л(^) нормирован, то есть ||Л|| = X 02 +Х12 + Х 22 + Х 32 = 1; 12,13 - орты гиперкомплексного

пространства (мнимые единицы Гамильтона), символ « ° » означает кватернионное умножение. В динамических уравнениях Эйлера для сферически симметричного твердого тела (2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным. На модуль вектора управляющего воздействия наложено ограничение

М * Мтах. (3)

Заданы произвольные граничные условия по угловому положению

Л(0) = Л 0, Л(Т) = Лг (4)

и угловой скорости КА

ю(о) = ю0, ю(Т) = юТ . (5)

Требуется определить оптимальное управление Мопт (^) системой (1), (2) при ограничении на управление (3) и граничных условиях (4), (5), доставляющее минимум функционалу

3 = | (а1 +а 2 ) &, (6)

0

где а1за2 =сопб1>0 . Время Т не задано.

2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам

а2безраз = а2разМ , юбезраз = юразМ-ш,1безраз = IразМ1/2,

2 2 тах' тах ' тах'

при этом вид формул (1), (2), (4)-(6) не изменится, а (3) запишется так:

1Ы1 < 1.

Далее будем иметь в виду постановку задачи в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены.

3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтрягина [1, 10]. Введем вспомогательные функции Т(^) (кватернион) и ф(^) (вектор), соответствующие фазовым координатам л(1;) и ш(^). Составим функцию Гамильтона -Понтрягина

Н =-у * (а 1+а 2| )+ (Т, Л о ю)/2 + (ф,Ы), (7)

где постоянная у* > 0, а «( . , . )» означает скалярное произведение векторов.

Будем рассматривать случай у > 0, так как функция Гамильтона - Понтрягина (7) при у = 0 будет соответствовать задаче быстродействия и не будет учитывать критерий (6).

В силу однородности функции Гамильтона - Понтрягина Н [9] в формуле (7) положим

*

у = 1.

Сопряженная система:

[2Т' = Т о ю

(8)

[ф* =- Уве( о Т)),

где «уеС;(.)» обозначает векторную часть кватерниона, а «~» - сопряжение кватерниона.

Как видно, уравнения для переменных ¥ и л совпадают с точностью до константы. Используя это и введя обозначение [1]

p=vecí(Ло Т)= Ло ^ о Л, (9)

где су - произвольная векторная постоянная, сопряженную систему запишем так:

т=Ло с о Л, _ ч

|н V (10)

ф*=- p/2.

Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1) (замена кватернионной сопряженной переменной ¥ на векторную переменную p (9)) позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после применения принципа максимума, на четыре.

Условие максимума функции Гамильтона - Понтрягина (7) на компактном множестве

(3) с учетом п.2 дает следующую структуру оптимального управления:

ф/|ф| ,| ф|>'

0, |ф| < а2

M0

а2

2

Особое (M особое ^ ф), ф "а 2, t £ [т,-!, Т, ].

Таким образом, движение КА будет состоять из активных участков, участков свободного движения и участков с особым режимом управления.

4. Аналитическое исследование особого режима управления. Особый режим управления

М^ = Mособое, МТТф, 0 < |М< 1

характеризуется тем, что при нем гамильтониан (7) перестает явным образом зависеть от управления. Тогда следует перейти к исследованию производных разных порядков функции Гамильтона - Понтрягина, фазовых и сопряженных переменных задачи. На особом режиме имеем:

|ф| = а2 , (11) (Ф.Р) = 0, (12)

(ш,р)/2 = а1. (13)

Последовательно дважды дифференцируя первое из этих выражений по переменной t, получим:

(ф, р') = (ф,[р,ш]) = ||cj/2 = const, (14)

(ф-, [р, ш]) + (ф, [р', ш]) + (ф, [р, M]) = 0, где «[ . , . ]» означает векторное произведение;

р'= [р, ш] (15)

следует из (1), (10).

Но р = -2ф' ^(ф*, [р, ш]) = 0, M ТТ ф^(ф, [р, M]) = 0. Тогда (ф, [р', ш]) = (ф, [[р, ш], ш]) = (ф, р)ш2 - (ф, ш)(ш, р) = 0.

Так как выполняются выражения (12), (13), то (ф, ш) = 0. Другими словами, на этапе особого управления ш 1 Мопт и

|ш| = const. (16)

Дифференцируя далее выражение (ф, ш) = 0, получим

(ф', ш) + (ф, M) = 0.

Но (ф', ш) =-(р, ш)/2 = -aj, (ф, M) = к(t)ф2 = к(t)a2, если положить Mособое = к(t)ф . Таким образом, к (t) = a1 / a 2, а

M особое = фа1 / a2. (17)

Учитывая ограничение на модуль |Мособое \ < 1, окончательно получим: если a1 > a 2, то особого режима нет; если a1 < a2, то особый режим возможен.

Отметим, что аналитические решения задачи оптимального разворота сферически симметричного КА известны только в классе плоских разворотов [1-4], когда

ш0,шг||vect(A0оЛТ) , ш^) Мопт(t),Vt е [0,Г]. Следовательно, особые режимы управления при

таких движениях отсутствуют; во всех остальных случаях они допустимы.

Из (10), (12) следует векторный первый интеграл, связывающий фазовые и сопряженные переменные задачи (справедливый для всех режимов управления КА)

р/2 + [ф, ш] = const. (18)

Умножим скалярно вектор р на (15)

- (ф, [р, ш]) +1С II /2 = (р, const) . (19)

Сравнивая скалярный первый интеграл (14), справедливый для особого режима управления КА, и выражение (19), получим

(р, const) = 0. (20)

Так как |р| = |cv| = const ^ 0, то либо p 1 const, либо |const| = 0 .

На основании (13) и (18) имеем (р, ю)/2 = (const, ю) = а1. Следовательно, |const| ^ 0, а p 1 const для любого момента времени особого режима управления КА. То есть, вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной вектору const, и обращается вокруг него по окружности. Таким образом, общий вид вектора p

p(t) = A sin f(t) + B cos f(t), (21)

где A 1 B 1 const = C , |A| = |B| = |cv|, векторы A, B, C образуют правую тройку векторов, (A /| A|) о (B /| B|) = C /| C, а f(t) - некоторая функция времени.

Из выражений (13) и (15) имеем векторное уравнение с кватернионным произведением (вектор р здесь рассматривается как кватернион с нулевой скалярной частью)

р* = p о ю + 2aj,

откуда, используя (21), можно найти явный вид вектор-функции угловой скорости КА на особом участке управления

ю = -p о (р* - 2ах)/||р|| = (2а J (A sin f (t) + B cos f (t))) /||cv\\ + f * (t) C /|C\. (22)

Отметим, что норма и модуль кватерниона (вектора) связаны соотношением

Из (2) и (17) имеем для особого участка управления

ю

= |ф|а1 / а 2 = а1 / а 2 = соnst. (23)

Дифференцируя выражение (22) и сравнивая его модуль с (23), получим, что

/ (I) = 0 + К, (24)

где О, N = соnst, при этом |с у| = 20а 2.

Тогда вектор угловой скорости КА на особом участке управления примет вид

аа

ю = -10-1 Ае мП(Ог + N) О-1Вв ^(О + N) + 0Се, (25)

а2 а2

где А е, В е, С е - единичные векторы.

Если векторы А, В, С направить по осям декартовой системы координат ОХ1, X 2, X 3, то можем получить частный вид угловой скорости КА на особом участке управления

аа

ю = —^ О-1^ ^П(ОГ + N + —^ 0-112 cos(Qt + N + 013. (26)

а2 а2

Траектории движения КА при угловых скоростях (25), (26) находятся явно и имеют вид классической регулярной прецессии:

Л(*) = А(тг-1) о ехр{а^ в (Г - тг-1) /(2а 2 О)} о ехр{Се (П(* - тг-1) + N)/2}, (27)

Л(0 = Л(тг-1) о ехр{12 а^-тг-1)/(2а 20)} о ехр{1 з(0(Г -т,._1) + N)/2}, (28)

где тц - момент начала особого движения, ^ е [т..-1, т..]; «ехр{.}» обозначает кватернионную экспоненту [1].

Следует отметить, что решения (26) для ш и (28) для Л можно обобщить, умножив их соответствующим образом на произвольный постоянный кватернион поворота к: Л о К, К 1 о ш о К , где К 1 - обратный кватернион по отношению к К ( К 1 о К = К о К 1 = 1).

5. Численный пример. В данном разделе приводится пример численного решения задачи (1)-(6) без учета и с учетом особого режима управления КА.

Как было показано в п. 3, задача оптимального разворота КА (1)-(6) с учетом п.2 на основании принципа максимума Л.С. Понтрягина сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

2Л' = Л о ш, ю' = М, ф'=-Р/2,

р=Ло су о Л, су = сопв1;, Л(0) = Л0, ю(0) = Юо, Л(Т) = ЛТ, ю(Т) = юТ , Нопт =-(а1+а2|Мопт|)+< ю,р >/2+<ф,Мопт >\=Т = 0:

ф/|ф| ,|ф>а2 0,

Мо

< а,,

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

М

особое (Мособое ^ Ф), |ф| = а2, 1 £ , Т* ].

^^ опт т опт л

опт опт

ю

с „ =?

Конечное условие (31) необходимо переписать в семимерном фазовом пространстве Л х ю в виде:

(34)

г = т = ? ува(Л(Т) о лт) = 0,

ю(Т) = ют.

Для решения краевой задачи (29)-(33) разработан итерационный численный метод, представляющий собой комбинацию методов Рунге - Кутты, Ньютона и градиентного спуска. При решении задачи Коши производится уточнение момента времени, где согласно (33) происходит скачкообразное изменение модуля управляющего момента, так как положение скачка управления внутри шага интегрирования влияет на точность вычисления матриц из частных производных от невязок по начальным значениям сопряженных переменных и длительности процесса управления, что в конечном счете сказывается на сходимости итерационного процесса. Важно отметить, что условие совпадения кватерниона ориентации КА в конечный момент времени с кватернионом, определяющим заданную конечную ориентацию КА (условие (34)) заменено условием обращения в нуль векторной части кватернионного

произведения Л(Т) о Лт . В [6, 7] авторы пытались выполнить условие Л(Т) = Лт , что приводило к вырождению матриц из частных производных от невязок. В качестве первого приближения по недостающим начальным условиям при решении краевой задачи (26)-(31) для задачи оптимального управления КА с произвольными граничными условиями по угловому положению и угловой скорости КА берутся начальные условия по переменным ф, р, Т, полученные при решении задачи оптимального разворота сферически симметричного КА в классе плоских эйлеровых разворотов.

На рис. 1 приведены результаты численного решения краевой задачи (29)-(33) без учета особого режима управления в (33), на рис. 2 - результаты численного решения с учетом особого режима управления КА. Расчеты проводились для значений: а1 = 0,25, а2 = 0,5, Л0 = (0.8,0, - 0.6,0), ЛТ = (0.8224,0.1673,0.3063,0.4493), ю0 = (0,1,0.5), юТ = (0.8415,0.5403,0.5). Для каждого из случаев представлены графики изменения во времени компонент угловой скорости КА шг (г), г =1,3, векторной части кватерниона ориентации КА Лг(г), г =1,3 и компонент вектора управляющего момента (г), г =1,3 .

При решении задачи (29)-(33) в первом случае функция управления КА носит кусочно-непрерывный характер (активный этап при 0 < г < 0,7393, |м| = 1; этап свободного движения при 0,7393 < г < 4,9365, |м| = 0; активный этап при 4,9365 < г < 5,6759, |м| = 1), время

разворота КА Т = 5,6759, значение функционала оптимизации I = 2,1613.

При решении задачи во втором случае функция управления носит непрерывный характер |М| = 0,5, Т = 2, I = 1; особый режим управления изолирован.

Как видно из расчетов, время разворота КА и величина функционала оптимизации при учете особого режима управления меньше, чем в случае, когда особый режим не учитывается.

Отметим, что кватернион ориентации КА л(г) может быть двузначным [1], то есть л и -л соответствуют одному и тому же угловому положению КА в пространстве.

Т = 2

1 т 0,80,60,40,200 <Й1(0 1 2 1,5-| 1 -0,5 0 -0 ©2(t) 1 2 Q6 Q5-Q4-Q3 Q2 Q1-0 ffls(t)

0,2 0,1 0 -0,1 МО --^^^^^ 0 о Ü1 О Ü1 Л2(0 0,6 0,40,2 0 Лз(0

0 1 2

0,6 0,40,2 0 Mh(t) 0 -0,2 -0,4 -0,6 M2(t) 10,5- Ma(t)

0 1 2 0 1 2

Рис. 2

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00310).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. 320 с.

2. Scrivener S.L. Survey of time-optimal attitude maneuvers / S.L. Scrivener, R.C. Thompson // J. guidance, control and dynamics. 1994. Vol. 17. № 2. P. 225-233.

3. Петров Б.Н. Аналитическое решение задачи управления пространственным поворотным маневром / Б.Н. Петров, В.А. Боднер, К.Б. Алексеев // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192. № 6. С. 1235-1238.

4. Молоденков А.В. Кватернионное решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела / А.В. Молоденков // Проблемы механики и управления: сб. науч. трудов. Пермь: ПГУ, 1995. С. 122-131.

5. Junkins J.L. Optimal continuous torque attitude maneuvers / J.L. Junkins, J.D. Turner // J. guidance and control. 1980. Vol. 3. № 3. Р. 210-217.

6. Lastman G.J. A shooting method for solving two-point boundary-value problems arising from non-singular bang-bang optimal control problems / G.J. Lastman // International. j. control. 1978. Vol. 27. № 4. Р. 513-524.

7. Li F. Numerical approach for solving rigid spacecraft minimum time attitude maneuvers / F. Li, P.M. Bainum // J. guidance, control and dynamics. 1990. Vol. 13. № 1. Р. 38-45.

8. Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях / А.В. Молоденков, Я.Г. Сапунков // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 2. С. 185-196.

9. Сапунков Я.Г. Аналитическое исследование особого режима управления в задаче оптимального разворота космического аппарата / Я.Г. Сапунков, А.В. Молоденков // Автоматическое и автоматизированное управление летательными аппаратами (приложение к журналу «Мехатроника, автоматизация, управление»). 2008. № 11. С. 16-19.

10. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1961. 384 с.

Сапунков Яков Григорьевич -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

«Вычислительный эксперимент в механике» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Молоденков Алексей Владимирович -

кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов

Sapunkov Yakov Grigoryevich -

Candidate of Sciences in Physics & Mathematics, Assistant Professor of the Department of «Computing Experiment in Mechanics» of Saratov State University in the name of N.G. Chernyshevskiy

Molodenkov Aleksey Vladimirovich -

Candidate of Technical Sciences, Senior Staff Scientist of the Laboratory of «Mechanics, Navigation and Motion Control» of the Institute of Problems of Precision Mechanics and Control of Russian Academy of Sciences, Saratov

Статья поступила в редакцию 24.03.09, принята к опубликованию 09.09.09