Решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота космического аппарата в классе конических движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.78

Я.Г. Сапунков, А.В. Молоденков РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО В СМЫСЛЕ МИНИМУМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

В кватернионной постановке рассматривается задача оптимального разворота в смысле минимума энергетических затрат космического аппарата как твердого тела со сферическим распределением масс без ограничения на функцию управления. Для этой задачи получено новое аналитическое решение в классе конических движений. Дается численный пример.

Космический аппарат, твердое тело, оптимальное управление, регулярная прецессия

Ya.G. Sapunkov, A.V. Molodenkov SOLUTION OF THE MINIMUM ENERGY LOSS PROBLEM FOR THE TURN OF A SPACECRAFT OF THE CONICAL MOTION CLASS

The article deals with the problem of optimal turn in the sense of the minimum energy loss in a spacecraft considered as a rigid body with the spherical mass distribution without any constraint for the quaternion statement. A new analytical solution in the class of conical motion is obtained for the problem. A numerical example is provided.

Spacecraft, rigid body, optimal control, regular precession

Введение. Построение управления угловым движением космического аппарата (КА) как твердого тела в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и построения управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Точное аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1-8]), при этом для сферически симметричных КА эти решения получены в классе плоских эйлеровых разворотов. Поэтому расширение классов аналитических решений задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.

В кватернионной постановке рассматривается задача оптимального в смысле минимума энергозатрат разворота сферически симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению КА и произвольном по направлению векторе начального условия по угловой скорости КА без ограничения на управление. Время переориентации КА произвольно и зафиксировано. С помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина получено новое аналитическое решение этой задачи в классе конических движений. Представлено явное выражение для постоянного по модулю оптимального вектора угловой скорости КА. Траектория движения сферически симметричного КА представляет собой регулярную прецессию, вектор оптимального управления КА перпендикулярен векто-42

ру угловой скорости и также постоянен по модулю. Сформулированы условия на модуль начального и вид конечного значений вектора угловой скорости КА, при которых допустимо аналитическое решение задачи в классе конических движений. Вектор конечного значения угловой скорости КА должен принадлежать конической поверхности, порождаемой произвольно заданными постоянными условиями задачи. Приводится численный пример.

Статья продолжает исследования, начатые в [9].

1. Постановка задачи. Движение сферически симметричного КА вокруг центра масс описывается уравнениями [1]:

2Л * = Л о ш, (1)

Ш* = M, (2)

где Л^) = 1д(0 + 1^ )^ +^2^^ 2 +1з(^^3 (кватернион поворота КА),

Ш^) = №1(^1 +Ю2^^2 +№3^)iз (вектор угловой скорости КА) - фазовые координаты,

T

М(/) = [М^(/), М 2($), Мз(/)] - управление - подчинены требованиям задачи понтрягинского ти-

па (Л^),ш^) - непрерывные функции, М(?) - кусочно-непрерывная функция); кватернион Л^)

нормирован, то есть ||л|| = 1 д2 ++12 +1з2 = 1; ^,i2,i3 - орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), символ « 0 « означает кватернионное умножение. В дина-

мических уравнениях Эйлера для сферически симметричного твердого тела (2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным.

Заданы произвольные граничные условия по угловому положению

Л(0) = Ло, Л(Г) = Лт (3)

и угловой скорости КА

ш(0) = Шд, ш^) = Шт. (4)

Требуется определить оптимальное управление М°пт (/) системой (1), (2) при ограничении

на управление (3) и граничных условиях (4), (5), доставляющее минимум функционалу

т

J = | (М 2 + М 2 + М32 )Л, (5)

о

где время Т произвольно и зафиксировано.

2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам

t безраз = t раз / т шбезраз = шразт безраз = разт2 J безраз = J разт3

при этом вид формул (1)-(4) не изменится, а функционал (5) запишется так

1

J = | (М12 + м| + М 32 )йХ (6)

о

Далее будем иметь в виду постановку задачи (1)-(4) (где Т=1), (6) в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены.

3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтрягина [1, 10]. Введем вспомогательные функции ¥(?) (кватернион) и ф^) (вектор) соответствующие фазовым координатам Л(?) и Ш(?) . Составим функцию Гамильтона-Понтрягина

H =-у (М,М) + (¥,Лош)/2 + (ф,М), (7)

* г\

где постоянная у ^0, а «( . , . )» означает скалярное произведение векторов.

Будем рассматривать невырожденные решения краевой задачи принципа максимума, для которых у* >0. В силу однородности функции Гамильтона-Понтрягина Н [10] в формуле (7) положим у* =1. Сопряженная система:

Г2¥‘ = ¥ о ш (8)

[ф' = - vect(л о ¥ )/2.

где vect(.) обозначает векторную часть кватерниона, а — сопряжение кватерниона.

Как видно, уравнения для переменных Т и Л совпадают, а их решения различаются на мультипликативную константу. Используя это и введя обозначение [1]

p=vect (Л о Т )= Л о cv о Л, (9)

где Cv - произвольная векторная постоянная, сопряженную систему запишем так:

Р=Ло сv о Л, F v . (10) ф*=- Р/2.

Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1) (замена кватернионной сопряженной переменной Т на векторную переменную p (9)) позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после применения принципа максимума, на четыре.

Условие максимума функции Гамильтона-Понтрягина (7) дает следующую структуру оптимального управления

M опт =Ф/2. (11)

Таким образом, вектор-функция управления КА носит непрерывный характер.

Из (1), (2), (10), (11) имеем

• •• 14 ••• • / А ••

w =Ф/2, w =-p/4, w =-p /4 = w хw,

где символ X означает векторное произведение.

Следовательно, на всем интервале времени движения оптимальная угловая скорость КА должна удовлетворять векторному дифференциальному уравнению третьего порядка [9]

w *** = w** X w . (12)

Решение поставленной задачи оптимального управления сводится, тем самым, к решению краевой задачи (1), (12), (3), (4).

4. Аналитическое решение задачи оптимального разворота КА в классе конических движений. Будем искать решение уравнений (1), (12) в классе конических движений. Для этого оптимальную угловую скорость КА представим в виде

w = К о (ijasin Wt + i2acosWt + i3W) о К, (13)

где К (кватернион) и a, W - неопределенные постоянные; при этом

||к||=k02 + k2 + k22 + k32 = 1 (14)

Отметим, что кватернион К позволяет поворачивать вектор в круглой скобке в формуле (13) вокруг некоторой постоянной оси, проходящей через неподвижную точку КА.

Последовательно дифференцируя (13) три раза по переменной t, получим

w*=aWК о (ijCosWt - i2sinWt) о К, (15)

w** =-aW2К о (ijsin Wt + i2cos Wt) о К, (16)

w*** = aW3I~ о (-ij cos Wt + i 2 sin Wt) о К. (17)

Подставляя (13), (16), (17) в (12), можно убедиться в выполнении равенства. При этом отметим, что

w *** = w ** X w = (w ** о w - w о w ** )/2.

Траектория движения КА при угловой скорости (13) из (1), (3) находится явно и имеет вид регулярной прецессии

Л(^ = Л0 о К о exp{i2at /2} о exp{i3Wt /2} о К, (18)

где exp{.} обозначает кватернионную экспоненту [1].

В выражения (13)-(18) входят пять произвольных постоянных Ко, К^,К2,a, W. Удовлетворим граничные условия задачи (3), (4). Из-за недостаточного количества произвольных постоянных в решении (13) на величины |w о| и w^ будут наложены требования в ходе дальнейшего реше-

е __ /

ния задачи; направление вектора начальной угловой скорости Юд — Ю0 /

Юд произвольно и задано.

При =0 из (13) имеем

ю0 — ю0 Ю0 — К о (і2а + і3О) о К,

Ю о —

К

|і 2а + і 3О|||К — а 2 + О2,

К о (і2а + і3О) о К

при =1 (конечный момент времени) из (18) имеем

ЛТ — Л0 о К о ехр{і2а/ 2} о ехр{і3О/ 2} о К,

при этом

scal(Л0 о ЛТ) — 5га/(ехр{і2а/ 2} о ехр{і3О/ 2}),

где 8са1(.) обозначает векторную часть кватерниона. Из (14), (19)-(21) найдем величины |ю д|

К.

Представим (14), (21) в виде

(і 2а + і3О) о К - К о ю0 — 0, ехр{і2а /2} о ехр{і3О / 2} о К - К о Л0 о ЛТ

0

Г ' 0 0 - а - О 0 - 3 1 - «02 - «03 л Г К0 >| Г 0 л

0 0 - О а «01 0 «03 - «02 *1 0

а О 0 0 «02 - «03 0 «01 К 2 0

V О -а 0 0 _ _®03 «02 - «01 0 У V * 3 У . 0 у

Г "т0 - т1 - т2 - -т3" ’«0 - п1 - п2 - п3 " л Г К 0 л Г 0''

т1 т0 - т3 т 2 п1 «0 п3 - п2 *1 0

Ш2 т3 т0 т1 п2 - п3 п0 п1 * 2 0

V т3 - т2 т1 т 0 _ «3 п2 - п1 п0 _ У и) У V 0 У

(19)

(20)

(21)

(22) а, О,

или в векторно-матричной форме с использованием кватернионных матриц т- и п-типов [11]:

(23)

(24)

где элементы матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (24) определяются компонентами кватернионов:

т = ехр{12а/2} о ехр{13П/2} ,

т0 = еов(а /2)еов(Р /2), тх = Бт(а /2)б1и(^ /2), (25)

т2 = Бт(а / 2)ооб(^ / 2), т3 = еоБ(а / 2)б1и(^ / 2)

п

Л0 о ЛТ .

При этом

п, — 1,

ІПІІ — 1 .

Отметим, что ранги матриц коэффициентов систем (23), (24) равны двум. Выбирая из (23), (24) по два уравнения, получим СЛАУ

’ 0 «01 а - О 3 «03 О Г К 0 Л Г 0 л

- «01 0 - («03 + О) «02 +а *1 0

т1 - п1 0 - (т3 + п3) т2 + п2 * 2 0

0 п1 - т1 - п 1 3 1 3 п * и) V 0 У

(29)

Определитель матрицы коэффициентов СЛАУ (29) должен быть равен нулю. Отсюда с уче-

(26)

(27)

(28)

том (20), (21), (24), (25) получим

Iю 01

: (т2а + т3°)/(и1®01 + п2«02 + п3®03).

(30)

и

Из (4.8), (4.10), (4.18) с учетом (4.13) следует два уравнения для определения величин а, О

(31)

(a2 + W2)(n1«01 + n2we02 + n3w03)2 - (m2a + m3W)2 — 0

seal (Л 0 о ЛТ) - cos(a / 2) cos(W /2) — 0 Величина ®о I определяется по формуле (30) после решения системы (31).

В системе (29) нижнее уравнение заменим уравнением (14). Из первых трех уравнений системы (29) выражаются величины Kо, Ki, K2 через величину K3 :

K0 — А0 К3 / D, K0 — АоК3 / D, K2 — А2 К3 / D,

где

Ао — «оі[- (®оз + W)(m2 + n2) + («02 + a)(m3 + n3)]

Ао — w,

01

22

(W-«03)D - (m2 + n2)(w02 -a) - (m1 + n1) W02 a

«01

w.

01

А2 — «0i[(mi - ni)(«02 + a) + (m2 + П2)Юоі]:

D — «01 [(m1 - n1 )(«03 + W) + (m3 + n3)w0i].

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

1/2

Из (14), (33)-(36) имеем

K 3 — [l + (A0/ D)2 +(A0/ D )2 +(A2/ D )2 . (37)

После определения K3 из (37) K0, Ki, K2 определяются по формуле (32). Граничное условие по угловой скорости КА в конечный момент времени T в безразмерных переменных (T=1) должно иметь вид

ю(Т) — ®Т — К о (i0asin W + i2acosW + i3W) о К. (3S)

Таким образом, в случаях, когда на граничные условия по угловой скорости КА наложены ограничения вида (30), (35) (это означает, что вектор W на всем интервале времени движения принадлежит некоторой конической поверхности, определяемой в пространстве произвольными заданными граничными условиями по угловому положению КА Л о, Лт и произвольным заданным

е

направлением вектора начального значения угловой скорости КА ®о), траектория углового движения сферически симметричного КА находится в классе конических движений и определяется явными аналитическими выражениями (13), (1S).

Оптимальный управляющий момент из (2), (13)

М — ю* — aWIC о (ii cos Wt - i2 sin Wt) о К, (39)

(4о)

Оптимальное значение функционала качества в безразмерных переменных составляет величину

1

(41)

J — J |М|2 dt — a °W2

0

Из выражений (39), (11) и (10) можно найти сопряженные переменные ф и р. Тем самым,

задача при существующих ограничениях решена полностью.

Приведем алгоритм решения задачи оптимального разворота сферически симметричного КА (твердого тела) в классе конических движений в безразмерных переменных:

е

1) по заданным кватернионам Ло, (3), единичному вектору Шо из (4), времени Т=1 и

формулам (31), (30) (с учетом (25), (26)) определяются величины а, О, (или иначе Шо\вычисл);

2) используя Л0, Лт , а, О, |ю 0! по формулам (32)-(37) находим компоненты кватерниона К;

3) по формуле

Ш0

I \вычисл е

Ш0 Ш0

и формуле (38)

= К о (^аБтО +12аообО +13О) о К

^^вычисл ^^вычисл вычисляются значения векторов Ш0 , Шт ;

4) вычисленные значения ш(^1чис11,шТычисл сравниваются с заданными в (4) величинами Ш0,юг ;

5) если равенство в п. 4 алгоритма выполняется, то оптимальное решение задачи находится в классе конических движений; при этом угловая скорость КА, траектория его углового движения, вектор управляющего момента и значение функционала оптимизации находятся по формулам (13), (18), (39), (41);

6) сопряженные переменные задачи ф, р находятся по формулам (10), (11), (39).

5. Численный пример. В данном разделе приводится пример решения задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота сферически симметричного КА в классе конических движений. Ниже на рисунке представлены графики изменения во времени компонент угловой

скорости КА ю;- (I), / =1,3, векторной части кватерниона ориентации КА Л(I), / =1,3 и компонент

вектора управляющего момента Мг- (I), / =1,3 .

На рисунке приведены результаты решения задачи по формулам п. 4 статьи. Расчеты проводились для значений:

Л 0 = (1,0,0,0), АТ = (0.5498,0.4582,0.2291,0.6598), ш0 = (1.5834, 0.7917, 0.9896), ШТ = (0.3760, 0.8014,1.8247), которые удовлетворяют ограничениям п. 4.

Вначале по формулам (31), (30), (32)-(37) находились величины а, , Ш0 |, К), К1, К2, К3

(а=1.8584, О = 0.8121, |ш0| = 2.028, К0 = 0.3398, К1 = 0.3451, К2 = 0.6157, К3 = 0.6216),

затем, по формулам (13), (39), (18), определялись векторы Ш , М и кватернион Л.

®1 (|)

Т=1 ®2 (| )

®3 (|)

0 0,2 0,4 0,6

Л1(|)

0,2 0,4 0,6 0,8

Л 2 (|)

М 2 (|)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Л 3 (|)

М 3 (I)

0,2 0,4 0,6

0,8

0,8

Отметим, что кватернион ориентации КА Л(I) может быть двузначным [1], то есть Л и

- Л соответствуют одному и тому же угловому положению КА в пространстве.

Заключение. Представленные в статье аналитические решения задачи оптимального разворота сферически симметричного КА (твердого тела) могут найти свое применение при построении систем управления КА, как и известное аналитическое решение задачи в классе плоских эйлеровых разворотов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00165).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. 320 с.

2. Scrivener S.L. Survey of time-optimal attitude maneuvers / S.L. Scrivener, R.C. Thompson // J. guidance, control, and dynamics. 1994. V. 17. № 2. P. 225-233.

3. Петров Б.Н. Аналитическое решение задачи управления пространственным поворотным маневром / Б.Н. Петров, В.А. Боднер, К.Б. Алексеев // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192. № 6. С. 1235-1238.

4. Бранец В.Н. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии/ В.Н. Бранец, М.Б. Черток, Ю.В. Казначеев // Космич. исслед. 1984. Т. 22. Вып. 3. С. 352-360.

5. Сиротин А.Н. Оптимальное управление переориентацией симметричного твердого тела из положения покоя в положение покоя / А.Н. Сиротин // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 36-47.

6. Сиротин А.Н. Об оптимальной по быстродействию пространственной переориентации в положение покоя вращающегося сферически-симметричного твердого тела / А.Н. Сиротин // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 3. С. 18-27.

7. Молоденков А.В. Кватернионное решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела / А.В. Молоденков // Проблемы механики и управления: сб. науч. тр. Пермь: ПГУ, 1995. С. 122-131.

8. Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата для одного частного случая / А.В. Молоденков // Системный анализ и управление космическими комплексами: сб. тр. 6-й Междунар. конф., Крым, г. Евпатория. М.: МАИ, 2001. С. 42.

9. Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях / А.В. Молоденков, Я.Г. Сапунков // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 2. С. 85-196.

10. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1961. 384 с

11. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения / Ю.Н. Челноков. М.: Физматлит, 2006. 512 с.

Сапунков Яков Григорьевич -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительный эксперимент в механике» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Молоденков Алексей Владимирович -

кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов

Yakov G. Sapunkov -

Ph.D., Associate Professor

Department of Computing Experiment in Mechanics, Chernyshevsky Saratov State University

Alexei V. Molodenkov-

Ph.D., Senior Researcher Laboratory of Mechanics, Navigation and Motion Control,

Institute of Precision Mechanics Problems and Control of the Russian Academy of Sciences, Saratov

Статья поступила в редакцию 12.05.12, принята к опубликованию 20.05.13