Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38

В. Г. Бирюков, Ю. Н. Челноков

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА*

Рассмотрим задачу построения оптимального кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела. В качестве управления рассматривается вектор абсолютной угловой скорости твердого тела, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного, начального углового положения на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.

Уравнения возмущенного углового движения твердого тела имеют вид [1,2]

2У = 8а5^ о у , 2у' = У' о Асох, (1)

где V, V - кватернионы ошибки ориентации, характеризующие отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации, причем кватернион у' определен своими компонентами в связанной, а у - в инерциальной системах координат.

Векторы <Хус и Ашх - это искомые стабилизирующие управления

угловым движением твердого тела, определяемые соотношениями 8а>х -с5х-а>?(г), Лах = <ох -сох = юх - у * о¿у°(/)о у*, 8а>^ = А ° Шх ° Я , где сох - отображение вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на оси связанной системы координат, и Шх - отображения вектора абсолютной программной угловой скорости твердого тела на оси программной и связанной систем координат соответственно, символ ~ означает сопряженный кватернион

Выберем следующие функционалы минимизации:

где ууУ у' - векторные части кватернионов у, у'

Задача заключается в построении стабилизирующих управлений и Д<ух, обеспечивающих асимптотическую устойчивость невозмущенного

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №02-01-00988

движения у = V =1 = = о) и доставляющих минимум функционалам (2).

Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина. Функция Гамильтона для задачи, описываемой первыми соотношениями (1), (2) имеет вид

Н = -(1/4 )|а, (к,2 + у\ + у])+ аг (&у,2 + ё<о\ + ¿ко])]+

+(1/2){у0(- - У2Зсо2 - + У33а>2 ~ У25СОъ)+

+1//2{У05(О2 + - У^8(0] )+ + -1/х8а>г )}•

а для задачи, описываемой вторыми соотношениями (IV (2) вид Н* =-(\1ф1(у'2 +у\г + к*2)+а2(да>,2 + Д<у22 +Д«з)|+

+(1/2)^/о(~ - ^2Д е)2 - ^Дй>з)+^*(уоД<У1 + Уз Аса 2 - к2Дсо3)+ +1//2(уоЛй)2 + у'АЮ^ - 1/3*Д£У,)+ 1//^(удАа)3 + у^Асо^ - и*Дй»2)}, где у,, у,*,(; = 0,з) - компоненты кватернионов у, у' , у/(, (/,*, (/ = 0,з) -вспомогательные (сопряженные) переменные, Д<у;, (/' = 1,з) - компоненты векторов 8со^, ДШх (скалярные управления).

Уравнения для сопряженных переменных запишутся в виде

2(/7 - а^ + Зси^ ° ¡¡7, 2у' - а^у' + у7* ° Аах. (3)

Законы стабилизирующего управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, имеют вид

8= (1/а2 ° у), Дсдх = (1/а2)уеа[у* °ц/*) (4)

Подчеркнем, что соотношения (4) справедливы в случае отсутствия ограничений на управления

Подставляя соотношения (4) в уравнения (1) и (3), получаем уравнения задачи оптимального управления

| 2У = (1/а2 {>/ - Ща1{у7 ° V7], (5)

[2(7 = а,+ (]/а2 Уу о у О ¡¡/ - (]/сг2 о у) у \

| 2Р* °ч/')у'\

[Ну =а\Уу + (1 /а2У//* ° У' - (1/а2)у^а/(у* ° ¡/7*

Полученные уравнения являются нелинейными и вряд ли могут быть решены аналитически в общем случае. Однако в случае, когда кватернион-

ная сопряженная переменная ц/ или ¡у' имеет нулевую векторную часть, _ _♦ ♦

т е когда (У = ц/0 или ц/ з у/0 эти уравнения интегрируются в явном виде. В этом случае законы управления (4) принимают вид

= -(1/«2Уо^. = -('/«2 V;-; (V

173

Из вторых уравнений (5) и (6) и соотношений (7) следует, что

Со = Со = ±4а\а1 '

а первые уравнения систем (5) и (6) принимают вид

2v = (l/a2^¡/0(l-v0v), 2v' = (l/a2)^(l-v0v*).

Эти уравнения интегрируются аналитически. Запишем общие решения уравнений для переменных vQ и vÔ

^^ = 1-С0 ехр(- W/'g2 ) = 1-С0*ехр(-уу/аг2| 0 1 + С0ехр(-i//0t/a2)' ° l + C0*exp(-tiv/a2j

где С0, Cq - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (при t = 0 v0 = v0(0), Уд = v0*(0)):

с _ 1-Wq(0) __ 1-VQ(0)

0 1 + v0(0) ' 0 1 + ^(0)

Из решений видно, что невозмущенное движение для законов управления (7) асимптотически устойчиво при (/0 = у/д >0, т.е. когда

Со = Со = л/«1«2

Заключение. Рассмотрена в двух кватернионных постановках задача оптимальной нелинейной стабилизации. Построены законы управления и уравнения задачи оптимизации Найдено частное аналитическое решение этой задачи. В отличие от кинематической задачи оптимального управления угловым движением твердого тела (задачи построения программного углового движения и управления), подробно изученной рядом авторов и имеющей аналитическое решение в общем случае, рассмотренная задача оптимальной нелинейной стабилизации является новой и более сложной.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю Н Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела: Уравнения ошибок, законы и алгоритмы коррекции (стабилизации) // Иэв РАН, МТТ 1994 № 4. С. 3 - 12

2 Бирюков ВГ, Челноков ЮН Векторное построение кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела // Математика Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2000 Вып 2. С 156 -158.