Исследование задачи нелинейной стабилизации программных значений угловых элементов орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач : пер, е англ, М, : Мир, 1982, 296 е,

УДК 629

Е. А. Козлов, Ю. Н. Челноков

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ЗНАЧЕНИЙ УГЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В данной работе исследуется задача переориентации плоскости орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты с использованием теории нелинейной стабилизации. Для решения задачи используется дифференциальное кватер-нионное уравнение ориентации орбиты в отклонениях. Работа является развитием [1].

Введем систему координат п, связанную с центром масс КА, таким образом, чтобы ось п была направлена вдоль радиуса-вектора центра масс КА, ось пз _ перпендикулярно плоскости орбиты КА, а п2 образовывала правую тройку с осями П1 и пз- Введем также систему координат которая в инерциальной системе координат X характеризует собой ориентацию орбиты КА и задается тремя угловыми оскулируюгцими элементами орбиты: долготой восходящего узла наклоном орб иты /, угловым расстоянием перицентра от узла Система координат £ связана с плоскостью и перицентром орбиты КА. Начало этой системы координат находится в центре О притяжения Земли, ось £1 направлена вдоль радиуса-вектора перицентра орбиты, ось £3 перпендикулярна плоскости орбиты и имеет направление постоянного по модулю вектора с момента скорости центра масс КА, а ось £2 - так, чтобы орты осей £1? £2 и £3 образовывали правую тройку.

Считается, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости орбиты КА. Тогда орбита К А в процессе управления движения центра масс К А не меняет своей формы и своих размеров, а поворачи-

и

фигура.

Требуется найти управление u, переводящее плоскость орбиты К А, движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями

dA diftr c p

2 —— = A o íh, —-— = —, r =-, c = const,

dt dt r2 1 + e cos <ptr ^

A = Ло + Ai¿i + A2¿2 + Азгз, í = иГ (cos шгг ii + sin шгг ¿2),

c

из любого заданного начального состояния

t = to, A(to) = A0 в требуемое конечное состояние

t = t*, A(t*) = A*,

где Л - кватернион ориентации орбиты КА (кватернионный оскулнрую-гцпй (медленно изменяющийся) элемент орбиты КА); П - отображение вектора П абсолютной угловой скорости орбиты К А на базис ^>tr - истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА на орбите); r - модуль радиуса-в ектора r центра масс К A; c - постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v = dr/dt центра масс КА) e параметр и эксцентриситет орбиты КА; u - проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра масс КА; Aj - компоненты кватерниона (параметры Эйлера), характеризующие ориентацию орбиты К А в инерциальной системе координат X; ij - векторные мнимые единицы Гамильтона; о - символ кватернионного умножения.

Для решения исследуемой задачи в рамках теории нелинейной стабилизации [2] нами используются дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс КА в параметрах Эйлера, получающиеся из (1):

dA^ ^ ^ r((fitr(t)) , , ч . / ч . ч

2 = АЛ о = u-АЛ о (cos tptr(t) ii + sin tptr(t) i2),

d^tr (t) c p (2)

—-— = , r =---, c = const.

dt r2 1 + e cos iftr (t)

Здесь АЛ = cos(-A^) + sin(-A^) ед - отклонение углового положения 22

орбиты К А от ее требуемого положенияЛ*, которое определяется ква-тернионной формой:

Л = Л* о АЛ,

ill

где Др и ед - эйлеров угол и единичный вектор эйлеровой оси возмущенного конечного поворота орбиты КА относительно ее невозмущенного углового положения, задаваемого кватернионом поворота А*.

Невозмущенному движению центра масс КА соответствует частное решение ДЛ = 1 кватернионного уравнения при управляющем воздействии u = 0. Этому частному решению отвечают нулевое значение эйлерова угла Др и любые значения проекций ед ¡(i = 1, 2,3) единичного ед

орбитой.

Задача переориентации орбиты с использованием теории нелинейной стабилизации формулируется следующим образом: требуется построить стабилизирующее управление и, при котором невозмущенное движение ДЛ(£) = 1 центра масс КА при управляющем воздействии u = 0 будет устойчивым.

Для построения стабилизирующего управления будем использовать функцию Ляпунова (второй метод теории устойчивости движения), применяя подход Бранца-Шмыглевского [3].

Рассмотрим положительно определенную функцию Ляпунова:

W = 1 - ДАо = 1 [(1 - ДЛ0) + ДА? + ДЛ2 + ДА§]. 2

Производная от этой функции с учетом (2) примет вид

r

W = u-ДЛ0(ДЛ1 cos р + ДЛ2 sin р). u

u = —кДЛ0(ДЛ? cosр + ДЛ2sinр), k> 0. (3)

Для выбранного управления u производная W примет вид W = —кДЛ2(ДЛ1 cos р + ДЛ2 sin р)2.

Эта функция является знакопостоянной отрицательной, и процесс переориентации орбиты будет устойчив не асимптотически в соответствии с теоремой устойчивости Ляпунова.

u

димость процесса коррекции к положению равновесия во всей области изменения ДЛ, кроме точки ДЛ0 = 0, когда угол эйлеровою поворота равняется п радиан или 180°.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

2, Челноков Ю. Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением, М, : Физматлит, 2011, 560 с,

3, Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела, М, : Наука, 1973, 320 с.

УДК 629

К. Ю. Коннов, И. А. Панкратов

НАИСКОРЕЙШИЕ МАНЁВРЫ САМОЛЁТА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Движение центра масс летательного аппарата (самолёта) в горизонтальной плоскости с постоянной по величине скоростью описывается системой дифференциальных уравнений [1]:

йх тг _ йу тг . , йВ о

_ = ^ С08 в,л = у 81П в,- = V tg 7. (1)

где г - время, в - угол между осью Ох и направлением вектора скорости У, о - ускорение свободного падения, 7 - угол крена летательного аппарата.

Угол крена летательного аппарата является управляющим параметром, изменяя его можно изменять направление вектора скорости и пере-

х

у, § являются фазовыми координатами управляемой системы.

В начальный момент времени положение центра масс летательного аппарата и направление вектора скорости определяются соотношениями

г = 0, х = Хо, у = уо, в = во. (2)

В конечный момент времени центр масс летательного аппарата дол-

Оху

сти направлен вдоль этой прямой):

г = г*: у = у к + Х tg вк, в = вк. (3)

Требуется определить оптимальное управление 7 = 7(г), которое переводит управляемую систему (1) из начального состояния (2) на многообразие (3) за минимальное время.

ИЗ