CC BY
12
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Логщянский Л. Г. Механика жидкости и газа : учебн. для вузов. 7-е изд., испр. М. : Дрофа, 2003. 840 с.
2. Севостьлнов Г. Д. К теории нестационарных околозвуковых течений вязкого газа // Аэродинамика : Межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1981. Вып. 2. С. 21-33.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1973. 832 с.
4. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. 3-е изд., доп. и перераб. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. 575 с.
УДК 629
Е. А. Козлов, Ю. Н. Челноков
НЕЛИНЕЙНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ЗНАЧЕНИЙ УГЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
В работе изучается задача переориентации плоскости орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. При этом орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве как неизменяемая фигура. Для решения задачи используется дифференциальное кватернионное уравнение ориентации орбиты в отклонениях. Работа является развитием [1].
Введем систему координат п связанную с центром масс КА: ось п направлена вдоль радиуса-вектора центра масс КА, ось пз _ перпендикулярно плоскости орбиты КА, а П2 так, чтобы орты осей пь П2 и Пз образовывали правую тройку. Введем также систему координат связанную с плоскостью и перицентром орбиты КА. Начало этой системы
координат находится в центре О притяжения Земли, ось £i направлена вдоль радиуса-вектора перицентра орбиты, ось £3 перпендикулярна плоскости орбиты и имеет направление постоянного по модулю вектора с момента скорости центра масс КА, а ось £2 образует правую тройку с осями £1 и £3.
В инерциальной системе координат X ориентация системы координат £ характеризует собой ориентацию орбиты КА в инерциальном пространстве и задается тремя угловыми оскулируюгцими элементами орбиты: долготой восходящего узла наклоном орбиты /, угловым расстоянием перицентра от узла
Считается, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости орбиты К А. Тогда орбита К А не меняет своей формы и своих
и
как неизменяемая фигура.
и
движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями
dA diftr c p ,
2 — = A о , = —, r =-, c = const, (1)
dt dt r2 1 + e cos <ptr
r
A = Ло + Aiii + A2«2 + Аз«з, = u-(cos (ftr ii + sin iptr ¿2),
c
из любого заданного начального состояния
t = to, A(to) = A0, в требуемое конечное состояния
t = t*, A(t*) = A*.
A
ющий (медленно изменяющийся) элемент орбиты КА); fi^ - отображение вектора ^ абсолютной угловой скорости орбиты К А на базис £; ^tr ~ истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА на орбите); c _ постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v = dr/dt центра масс КА); r - модуль радиуса-в ектора r центра масс КА; p ие~ параметр и эксцентриситет орбиты КА; Aj - компоненты кватерниона (параметры Эйлера), характеризующие ориентацию орбиты КА в инер-
X ij
тона; u - проекция вектора ускорения и на направление вектора момента
о
Для решения задачи в рамках теории нелинейной стабилизации нами используются дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс К А в параметрах Эйлера, получающиеся из (1):
^ dAA ^ r(^>tr(t)) л » / ч . . / ч . ч
2 —— = A A о = u v 7 7 A A о (cos <#r (t) ¿1 + sin tptr (t) i2), (2) dt c
d^tr (t) c p
--- = ^7, r = ---, c = const.
dt r2 1 + e cos iftr (t)
Здесь AA = cos(-A^) + sin(-A^) ед - отклонение углового положе-
22
A*
кватернпонной формой:
A = A* о AA,
где A^ и ед - эйлеров угол и единичный вектор эйлеровой оси возмущенного конечного поворота орбиты КА относительно ее невозмущенно-
A*
Невозмугценному движению центра масс КА соответствует частное AA = 1
ствии u = 0. Этому частному решению отвечает нулевое значение эйлерова угла A^ и любые значения проекций ед^(г = 1, 2,3) единичного ед
орбитой.
Задача переориентации орбиты с использованием теории нелинейной стабилизации формулируется следующим образом: требуется построить
и
ние AA(t) = 1 центра масс К А при управляющем воздействии u = 0 будет устойчивым.
Для построения стабилизирующего управления будем использовать второй метод функции Ляпуного теории устойчивости движения, применяя подход Бранца^Шмыглевского [3].
Рассмотрим положительно определенную функцию Ляпунова:
W = 1 - AA2 = 1[(1 - AA0) + AA1 + AA2 + AA2]. 2
Производная от этой функции с учетом (2) примет вид
r
W = -u- AA0 (AA1 cos + AA2 sin . u
u = -kAA0(AA1 cosp + AA2sink> 0. (3)
Тогда производная W примет вид
W = kAЛ2(AЛ1 cos у + ДЛ2 sin у)2.
Эта функция является знакопостоянной положительной и процесс переориентации орбиты, в соответствии с теоремой устойчивости Ляпунова, будет устойчив не асимптотически.
Таким образом, управления u, имеющие вид (3), обеспечивают сходимость процесса коррекции к положению равновесия во всей области изменения АЛ, кроме точки АЛ0 = 0, когда угол эйлеровою поворота равняется п радиан или 180°.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,
2, Челноков Ю. Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением, М, : Физматлит, 2011, -560 с,
3, Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела, М, : Наука, 1973, -320 с,
УДК 533.6.011
Д. И. Ливеровский, С. П. Шевырев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИЛЬНОГО ЦУНАМИ, ПРИБЛИЖАЮЩЕГОСЯ К СУШЕ
В данной статье рассмотрена попытка применения метода крупных частиц для моделирования поведения цунами при встрече с сушей. Ранее уже было описано применение метода крупных частиц для моделирования движения тяжелой несжимаемой невязкой жидкости [1]. Нами рассматривается применение метода крупных частиц в двумерном случае на регулярной сетке. Для отслеживания свободной поверхности использовался метод маркеров [2].
В этой статье предпринята попытка рассмотреть волну, набегающую на берег, с учетом рельефа местности. Понятно, что для этого нужно получить профиль рельефа, эта информация является легко доступной в интернете. Определенные ограничения накладывает вычислительная мощность используемого для расчетов компьютера. А именно, для расчетов используется разностная сетка не более чем 100 х 100 ячеек. Поэтому если рассматривать остров шириной 100 км и высотой 1 км, то
