К решению задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата с использованием кватернионного оскулирующего элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629

Е. А. Козлов, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОИТИМАЛЬНОИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОННОГО ОСКУЛИРУЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА

В работе рассматривается задача оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Для решения задачи используется дифференциальное кватернионное уравнение ориентации орбиты. Работа является развитием [1, 2].

Введем систему координат п, связанную с центром масс КА, и систему координат связанную с плоскостью и перицентром орбиты К А с началом в центре О притяжения Земли. Ориентация системы координат £ в инерциальной системе координат X характеризует собой ориентацию орбиты КА в инерциальном пространстве и задается тремя угловыми оскулируюгцими элементами орбиты: долготой восходящего узла^м, наклоном орбиты /, угловым расстоянием перицентра от узлаып.

Считается, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости орбиты К А. Тогда орбита К А не меняет своей формы и своих

и

как неизменяемая фигура.

и

гцего плоскость орбиты КА, движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями:

dA dp с p

— = Л о , — = , |u| < umax, r = —-,

dt dt r2 1 + e cos p

r

Л = Ло + Ai¿i + A2¿2 + Лзгз, = u-(cos p ¿i + sin p ¿2)

с

из любого заданного начального положения:

t = to, p(to) = po, Л (to) = Л0, в конечное положение, принадлежащие многообразию

t = t*, p(t*) = p*,

Л* Л* + Л*Л*

tg^u = A*A* + Л0Л2, cos I = W)2 - (A*)2 - (Л2)2 + (A*)2,

Где ^ _ истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА на орбите); г - модуль радиуса-вектора г центра масс КА; с - постоянная площадей (модуль вектора момента скорости V = dг/dt центра масс КА); р и е - параметр и эксцентриситет орбиты КА; и — проекция вектора ускорения и па направление вектора момента скорости центра масс КА; Л - кватернион ориентации орбиты КА (кватернионный оскулирующий элемент орбиты КА); А* - компоненты кватерниона Л* = Л(£*), характеризующего конечное положение орбиты К А.

При этом необходимо минимизировать функционал

J = J (a1 + a2u2)dt, а1,а2 = const > 0, (1)

to

который характеризует затраты времени и энергии на переориентацию плоскости орбиты.

Задача решена с использованием принципа максимума Понтрягина. Введены сопряженные переменные Mj, х, соответствующие фазовым переменным А,, p. Система сопряженных переменных найдена в виде

2 dM/dt = M о , dx n xdr r ,ЛГ . r2 dr ^ ,

dt = 2 rdt + U 2c (NiSin P - N2C0S P) - U 2C2 dt (N1 C0S P + Sin if),

где Mj - компоненты сопряженного кватерниона M. Функция Гамильтона I loin рягина имеет вид

H = — (а1 + a2u2) + ur/2c (N1 cos p + N2 sin p) + xc/r2,

где Ni, N2 - компоненты квате рниона N = Л о M. Верхняя волна означает сопряженный кватернион.

Оптимальное управление, найденное из условия максимума функции Гамильтона^Понтрягина по управлению u, имеет вид

иопт

r|v1|/4a2c, если r|v1|/4a2c < um< итоаж sign V1, если r | V11 /4a2c > ur

где v1 = N1 cos p + N2 sin p.

Для численного решения задачи был осуществлен переход к новой независимой переменной — истинной аномалии p. В результате получена дифференциальная краевая задача восьмого порядка, для которой

*

t

имеется 6 заданных краевых условий. Рассматриваемая задача является задачей с подвижным правым концом траектории. Поэтому были построены условия трансверсальности, имеющие вид

Мо (Л1 + Л2 tg пи) + ых (ло + Л3 tg пи) --ы2(Л3 - Л0 tg ^) - Мз(Л2 - Л1 tg ^и) = 0, N = -М0 лз + ых Л2 - м2 Л1 + м3 ло = о.

На графиках представлены законы изменения фазовых переменных и оптимального управления для случая круговой орбиты. Конечная ориентация плоскости орбиты КА соответствует ориентации плоскости орбиты одного из спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС.

На рис. 1 приведены результаты решения задачи, близкой к экономии энергетических затрат, т.е. для случая, когда коэффициенты в функционале (1) имеют значения а = 0.001 а2 = 1 На рис. 2 - для задачи, близкой к задаче, быстродействия [а\ = 1 а2 = 0.001). Необходимо отметить, что во втором случае оптимальное управление близко к разрывному. Это обстоятельство значительно усложняет процесс нахождения неизвестных начальных значений сопряженных переменных при численном решении задачи.

Рис. 1

Рис. 2

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ms 1201-00365).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

2, Панкратов И. А., Сапупков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т. 12, вып. 3, С, 87-95,

УДК 533.6.011

Д. И. Ливеровский, С. П. Шевырёв

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЁЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ

КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

В данной статье рассмотрено моделирование движения тяжёлой несжимаемой невязкой жидкости в двумерном случае численным методом крупных частиц и произведено сравнение результатов моделирования с результатами, полученными методом конечных объёмов. Была использована реализация метода конечных объёмов из пакета OpenFOAM [1].

Суть метода Давыдова (метода крупных частиц) состоит в том, что он использует расщепление по физическим факторам и по координатам. В методе Давыдова выделяют три этапа.

1. Эйлеров этап. На этом этапе жидкость предполагается моментально заторможенной, т. е. пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещениями элементарной ячейки, потока массы через границы ячеек нет, и движение ячейки как твёрдого тела происходит только за счёт сил давления. На эйлеровом этапе опускают конвективные производные, отвечающие за перетекание жидкости. Кроме того, так как по условию жидкость является несжимаемой, то на этом этапе выполняется решение уравнения Пуассона для давления.

2. Лагражнев этап. На этом этапе происходит перетекание жидкости из одой ячейки в другую за счёт вычисления направленного потока массы.

3. Заключительный этап. На этом этапе получаются значения параметров на следующем шаге по времени. Подробное описание метода Давыдова приведено в работе [2]. Было произведено сравнение результатов моделирования движения невязкой несжимаемой тяжёлой жидкости,