К задаче оптимальной коррекции угловых оскулирующего элемента орбиты Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629

Е. А. Козлов, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

К ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОМ КОРРЕКЦИИ УГЛОВЫХ ОСКУЛИРУЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА ОРБИТЫ

В работе рассматривается задача оптимальной коррекции угловых элементов орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. При этом орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве как неизменяемая фигура. Для решения задачи используется дифференциальное кватернионное уравнение ориентации орбиты. Работа является развитием [1-3].

Введем систему координат п связанную с центром масс КА: ось п направлена вдоль радиуса-вектора центра масс КА, ось пз _ перпендикулярно плоскости орбиты КА, а п2 так? чтобы орты осей пъ П2 и П3 образовывали правую тройку. Введем также систему координат £, связанную с плоскостью и перицентром орбиты КА. Начало этой системы координат находится в центре О притяжения Земли, ось £i направлена вдоль радиуса-вектора перицентра орбиты, ось £3 перпендикулярна плоскости орбиты и имеет направление постоянного по модулю вектора с момента скорости центра масс КА, а ось £2 образует правую тройку с осями £i и £3.

В инерциальной системе координат X ориентация системы координат £ характеризует собой ориентацию орбиты КА в инерциальном пространстве и задается тремя угловыми оскулирующими элементами орбиты: долготой восходящего узла наклоном орбиты /, угловым расстоянием перицентра от узла

Считается, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости орбиты К А. Тогда орбита К А не меняет своей формы и своих

и

как неизменяемая фигура.

и

гцего плоскость орбиты КА, движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями

«dЛ dp c p

2 —— = Л о , —— = —, и < umax, r =-, c = const,

dt dt r2' 1 1 " 1 + e cos p' ' (i)

Л = Ло + Aiii + Д2«2 + Лзгз, = u-(cos p ii + sin p ¿2)

c

из любого заданного начального состояния

г = ¿о, ((¿о) = ро, Л (¿о) = Л0

в требуемое конечное состояние, принадлежащие многообразию

t = t*

tg^u =

Л*Л3 + Л*Л.

V(t*) = V*,

0^2

л*л* - л*лз '

cos I =(Л0)2 - (Л*)2 - (Л2)2 + (Л3)2.

(3)

Уравнение (3) получаются из соотношения для матрицы с(Л*) направляющих косинусов

с(Л*) =

( (Л0)2 + (Л1)2--(Л2)2 - (Л3)2

2(Л1Л2 + Л0Л3)

V

2(Л1Л3 + Л0Л2)

2(Л|Л2 + Л0Л3)

(Л0)2 - (Л1)2+ +(Л2)2 - (Л3)2

2(Л2Л3 - Л0Л3)

2(Л|Л3 - Л0Л2)

\

( cos u cos —

— sin u cos I sin - sin u cos

- cos u cos I sin у sin I sin

2(Л2Л3 + Л0Л1) (Л0)2 - (Л1)2-

-(Л2)2 + (лз)2у

cos u sin^u+ + sin u cos I cos

- sin u sin^u+ + cos u cos I cos - sin I cos

л

sin u sin I

cos u sin I cos I

/

Здесь р - истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА па орбите); г - модуль радиуса-вектора г центра масс КА; с - постоянная площадей (модуль вектора момента скорости V = ¿г/^г центра масс КА); р и е - параметр и эксцентриситет орбиты КА; и - проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра Л

лирующий (медленно изменяющийся) элемент орбиты КА); А* - компоненты кватерниона Л* = Л (г*), характеризующего конечное положение орбиты КА, - отображение вектора ^ абсолютной угловой скорости орбиты КА на базис о - символ кватернионного умножения.

Необходимо также минимизировать комбинированный функционал

J = f(a1 + a2|u|) dt, а1,а2 = const > 0,

to

который характеризует затраты времени и характеристической скорости плоскости орбиты.

*

Задача решена с использованием принципа максимума Понтрягина. Введены сопряженные переменные Mj, х, соответствующие фазовым переменным А,, р. Система сопряженных переменных имеет вид

2 dM/dt = M о , dx ^ X dr r , Л r . Л r2 dr, Л r Л r . Л

— = 2 rdt + u 2c (N1 sin P - N2 cos р) - u 2C2 dt (N1 cos P + N2 sin р),

где Mj - компоненты сопряженного кватерниона M. Функция Гамильтона I loin рягина имеет вид

H = — (а1 + a2u2) + u r/2c (N1 cos р + N2 sin р) + xc/r2,

где N1, N2 - компоненты кватерннона N = Л о M. Верхняя волна означает сопряженный кватернион.

Оптимальное управление имеет вид

IUmaxsign v1, если r|v?|/2a2c — 1 > 0,

0, если r|v1|/2a2c — 1 < 0,

Vu G [0, umax], если r|v1|/2a2c — 1 = 0,

где v1 = N1 cos р + N2 sin р.

Для численного решения задачи был осуществлен переход к безразмерным переменным и новой независимой переменной - истинной анома-р

мого порядка (1), для которой имеется шесть заданных краевых условий (2, 3). Рассматриваемая задача является задачей с подвижным правым концом траектории. Поэтому, используя равнство нулю функции Гамильтона^Понтрягина в конечный момент времени H(£*) = 0, были построены два условия трансверсальности, имеющие вид

t = г, Мо(Л1 + Л2 tgnu) + м?(ло + Л3 tgпи)— —М2(Л3 — Л0 tg щ — Мз(Л2 — л? tg щ = 0,

N3 = —м0 Л3 + m? Л2 — м2л? + м3ло = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ms 1201-00365).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 6. С. 895-912.

2. Панкратов И. А., Сапупков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 87-95.

3, Козлов Е. А. Решение задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата с использованием кватернионного оскулирующего элемента орбиты // Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении: материалы Всерос, науч. конф, с Междунар, участием, Саратов, 2013, С, 248-252,

УДК 629

Ю. В. Крыщенко, И. А. Панкратов, Ю. Н. Челноков

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Рассматривается задача об оптимальном управлении ориентацией орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, оптимально ориентированной в пространстве. Для построения оптимальных управлений К А используются уравнения, в состав которых входит новый кватернионный оскулируюгций элемент орбиты, и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала рассмотрены две интегральные функции, характеризующие расход массы либо расход энергии КА на перевод орбиты из начального в конечное состояние и время, затраченное на этот перевод. Работа является развитием [1, 2].

1. Постановка задачи оптимального управления. Поставим следующую задачу о переориентации орбиты КА: требуется построить ограниченное по модулю управление p:

-Pmax < p < Pmax < Ю, P = ±|p|, (1)

переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями:

vi = c2r-3 — fMr-2 + pi, Г = vi, С = rp2, ptr = cr — 2 + r(c2 — fMr)-1 cos ptr (cpi cos ptr — — (c + fMrc—i)p2 sin ptr),

. or

2Л = Лог о , из заданного начального состояния

(2)

to = 0, r(0) = r0, vi(0) = v0,

j (0) = (AO

в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям

c(0) = co, ptr(0) = p0r, AOr(0) = (AOr)0 (j = 0,3)

(3)

Ai = AOr (tk )Ai — A?r (tk )Aq — A2r (tk )A| + A3r (tk )A^ = 0,

A2 = AOr (tk )A2 + AOr (tk )A3 — AOr (tk )A0 — A3r (tk )Ai = 0, (4)

A3 = A0r (tk )A3 — A?r (tk )A2 + A2r (tk )Ai — A3r (tk )A^ = 0,