Общая задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

3, Козлов Е. А. Решение задачи оптимальной переориентации плоскости орбиты космического аппарата с использованием кватернионного оскулирующего элемента орбиты // Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении: материалы Всерос, науч. конф, с Междунар, участием, Саратов, 2013, С, 248-252,

УДК 629

Ю. В. Крыщенко, И. А. Панкратов, Ю. Н. Челноков

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Рассматривается задача об оптимальном управлении ориентацией орбиты космического аппарата (КА) посредством реактивной тяги, оптимально ориентированной в пространстве. Для построения оптимальных управлений К А используются уравнения, в состав которых входит новый кватернионный оскулируюгций элемент орбиты, и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала рассмотрены две интегральные функции, характеризующие расход массы либо расход энергии КА на перевод орбиты из начального в конечное состояние и время, затраченное на этот перевод. Работа является развитием [1, 2].

1. Постановка задачи оптимального управления. Поставим следующую задачу о переориентации орбиты КА: требуется построить ограниченное по модулю управление p:

Pmax < Р < Pmax < Ю, P = ±|p|, (1)

переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями:

v1 = c2r-3 — fMr-2 + pi, r = v1, c = rp2, (fitr- = cr — 2 + r(c2 — fMr)-1 cos ^tr (cp1 cos ^tr — — (c + fMrc—1)p2 sin Ptr),

. or

2Л = Aor О , из заданного начального состояния

(2)

to = 0, r(0) = r0, vi(0) = v0,

(0) = (Л0

в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям

c(0) = co, <Ar(0) = ^0r, лог(0) = (Л0г)0 (j = 0,3)

(3)

Ai = Л0г (tk )Л1 — Л1г (tk )Ло — Л2г (tk )Л| + лзг (tk )Лз = 0,

A2 = лог (tk )Л2 + лог (tk )Л3 — лог (tk )Л0 — лзг (tk )Л1 = 0, (4)

Аз = Л0г (tk )Л3 — Л1г (tk )Л2 + Л2г (tk )Л1 — лзг (tk )Л0 = 0,

и минимизирующее функционал

^ = у («1 + а2р2) ^ или = J (а + а2|р|) «1, а2 = сошI > 0. (5) о о

Здесь р, ^ = 1, 2,3, - компоненты вектора реактивного ускорения р; V -проекция вектора скорости КА V на направление его радиус-вектора г, г = |г|; с - модуль момента скорости КА; - истинная аномалия управляемого КА; / - гравитационная постоянная, М — масса притягивающего тела; Лог - кватернион ориентации мгновенной орбиты КА.

В поставленной задаче заданы начальные значения фазовых координат К А г, 11 с ^¿г, Лог (^ = 0, 3); также заданы значения А* (^ = 0,3).

Конечные значения фазовых координат принадлежат многообразию, задаваемому уравнениями (4). Это означает, что в данном случае необходимо совпадение ориентации орбиты с требуемой в конечный момент времени, при этом не требуется совпадений форм и размеров начальной и конечной орбит КА. Конечное значение момента времени tk не фиксируется и подлежит определению в результате решения задачи.

2. Необходимые условия оптимальности. Задача решена с использованием принципа максимума Понтрягина. Введена дополнительная переменная д, удовлетворяющая дифференциальному уравнению д = а1 + а2р2 либо уравнению д = а1 + а2|р| и начальному условию д(0) = 0, и сопряженные переменные р, й1, е, х^, М?°г (^ = 0,3) и

соответствующие фазовым переменным r, vi, c, Vtr, j (j = 0, 3) и ne-

3 V3

ременной g.

Функция Гамильтона^Понтрягина имеет вид

H = + pv1 + s1(c2r 3 — /Mr 2 + p1) + erp2 + Xtrcr 2+

+(xtr — (1/2)Nf)r(c2 — /Mr)-1 cos iptr(cpi cos tptr — (6)

— (c + /Mrc-1)p2 sin ^tr) + (Nfr cos Ptr + N2or sin ^tr)rc—1рз/2,

где Nfr, NT, - компоненты кватерннона Nor = Aor о Mor, верхняя волна - символ сопряжения; а - подынтегральное выражение в функционалах (5).

Сопряжённая система уравнений имеет вид

р = (s1,c,r,xtr ,e, p, Nor, ^tr), S1 = —p, e = F2(s1,c,r,xtr,e,p, Nor,ftr), ^о = 0, (7)

Xtr = F3(c, r, xtr, p, Nor, ftr), 2Mor = Mor о .

t

t

i

i

Оптимальное управление р0 найдено из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (6), по переменной р с учетом ограничения (1).

Условия трансверсальности на правом конце траектории, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа, имеют вид (при Ь = Ь^)

р = 0, 51 = 0, е = 0, Хьт = 0,

Л0 м0ог + Л1 м°°г + Л2 м2°г + лзм3°г = 0, ()

Таким образом, задача сводится к интегрированию шестнадцати дифференциальных уравнений (2), (7) относительно фазовых и сопряженных переменных. При интегрировании уравнений появится шестнадцать произвольных постоянных интегрирования, семнадцатым неизвестным будет время Ьк. Для определения постоянных и времени Ьк имеем семнадцать условий: одиннадцать граничных условий (3) (4). пять условий трансверсальности (8) и равенство гамильтониана нулю в конце движения, имеющее место для оптимального управления р°р и оптимальной траектории КА.

3. Анализ задачи. Уравнения задачи имеют первые интегралы: ||Л°Г ||2 = 1, ||М°Г ||2 = 001^, Мог о = соп Н(г, VI, ргг, Л°г, р, 51, е, х*, М°г, р°рГ) = 0.

Использование кватернионной замены переменных №г = Л°г о М°г позволяет понизить порядок системы без усложнения правых частей уравнений. Анализ сопряжённых уравнений показал, что при выполнении условия хгг = (1/2)№г уравнения и соотношения краевой задачи существенно упрощаются.

Заключение.

Исследована задача об оптимальном управлении ориентацией орбиты КА, рассматриваемой в виде деформируемой фигуры, на основе новой модели движения центра масс К А.

Задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой шестнадцати обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы уравнений задачи. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Установлено условие, при выполнении которого уравнения краевой задачи оптимальной пере-

ориентации орбиты упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на шесть единиц без усложнения уравнений задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. ч. II // Космические исследования. 2003. Т. 41. № 1. С. 92-107.

2. Крыщенко Ю. В., Челноков Ю. Н. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигуры // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. 4. С. 125-138.

УДК 629

Я. В. Лобанков, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

КВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ КОРРЕКЦИИ УГЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

В работе рассматривается задача оптимальной коррекции угловых элементов плоскости орбиты космического аппарата (КА) в центральном ньютоновском гравитационном поле посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Подобные задачи уже рассматривались в [1, 2]. Для решения задачи используется кватернионное уравнение движения центра масс КА, записанное в орбитальной системе координат; при этом КА рассматривается как точка переменной массы.

Движение центра масс КА рассматривается в инерциальной системе координат ОХ1Х2Х3 - геоцентрической экваториальной системе координат с началом в центре О притяжения Земли. Введем орбитальную систему координат п связанную с центром масс К А, и систему координат связанную с плоскостью орбиты.

Считаем, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита К А в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и размеров, а поворачивается в про-

и

Дифференциальные уравнения ориентации орбитальной системы координат имеют вид

2 ¿А/^ = А о , = иг/с г1 + с/г2 (1)