Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Антипенко Э. В. Свободные колебания и устойчивость оболочек с упругими краевыми ребрами // Прикл. механика. 1975. Т. 11, вып. 6. С. 44 - 50.

4. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966.

508 с.

УДК 629

Ю. В. Афанасьева, Ю. Н. Челноков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА) как деформируемой фигуры. Эта задача формулируется как задача оптимального управления движением центра масс КА с подвижным правым концом траектории и сводится к краевой задаче принципа максимума Понтрягина. Для описания ориентации мгновенной орбиты КА используется новый кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты КА.

I. Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу: требуется построить ограниченное по модулю управление р:

0 < р < ргаах< да, р = |р|, (1)

переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями [1]:

V]' = c2r"3 - fMr'2 + pi, г = V|, с' = rp2, CPtr" = cr"2 + r(c2 - iMr)*1COS9,r(cp!COS9,r - (c + flvtrc '')p->sin(ptr), 2(Aor)' = Aoro£l5,

ill ~ ii! i [ + 02i2 + Q3I3 = (r/c)p3(COS(f>lri| + sin(J;r b) -

— r(c2 - fMry'cosipt^cpiCosip,,. - (c + fMr/c)p2sin(plr) i3, (2)

из заданного начального состояния

t0 = 0, r(0) = г°, v,(0) = v,°, c(0) = с0, ф,г(0) = (ptr°,

A/r(0) = (Aj°r)° (j = 0..3) (3)

в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям c(tk) = с(0) = с0, eor(tk) = еог(0),

Aj°r(tk) = А,*, (4)

и минимизирующее функционал £

J = J(1 + ap2(t))dt, a = const > 0.

0

В уравнениях (1) - (4) f - гравитационная постоянная, М — масса притягивающего тела, р - вектор ускорения от тяги реактивного двигателя, vb г, с, ф„. А01 - фазовые координаты КА; vb г, с характеризуют форму и размеры мгновенной орбиты КА, угловая неременная ф,г характеризует положение К А на орбите, Аог- кватернионный оскулирующий элемент ор-

биты КА, характеризующий ее мгновенную ориентацию, еог - эксцентриситет орбиты КА.

2. Необходимые условия оптимальности. Задачу решаем, используя принцип максимума Понтрягина. Вводим дополнительную переменную g, удовлетворяющую дифференциальному уравнению ^ = 1 + ар2 и начальному условию §(0) = 0. Вводим сопряжённые переменные р, яь е, % М™ и у0> соответствующие фазовым переменным г, VI, с, <р,г, Л°г и переменной о. функция Гамильтона - Понтрягина имеет вид

Н = уо( 1 + ар2) + р\'1 + 5|( с2г '3 - Мг "2 + р0 + егр2 + Х1гсг 2 + + (&Г - (1/2)^ог)г(с2 - МгУ'совф^ср^озф,,. - (с + 1Мгс "1)р2з-;пф!г) +

+ (1/2)(Ъ1,0Г СОБФ,,. - Ы2ог 5Ьср,г)гс 'рз, (5)

где М,ог, Ы20Г, N3'" - компоненты кватерниона;

№^М0 + N^1 + N212 + N313 = Лого М'"г (здесь Лог = Л0ог - Л.% - А20Г12 - Л30Г ¡3 - кватернион, сопряженный к Лог). Сопряжённая система уравнений имеет вид яГ =— р, р' = р, (в,, с, г, х„,г, р, №г, <р1г), е' = Р2($,,с, г, усл, р, №г, ф„),

Xо = Рз (с, г, Х;г, р, №г, ф,г),

2(Мог) = Мог о £1?, (6)

Ч/о' = 0. (7)

В дальнейшем в силу однородности функции Н относительно сопряженных переменных и уравнения (7) в выражении (5) для функции Н положим ——I.

Оптимальное управление р°, найденное из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (5) по переменной р с учётом ограничения (1), имеет вид

рлУ - р,° I, + Р2° ¡2 + РЗ° ¡3 = Р° П, / |П|, (8)

нл = СЦвьГ, с, е, &г,№г, ф1г), где р° при а > 0 определяется соотношениями:

[(2а)_1|и|, если (2а)_1|и[< ртах,

Р ~ ] ,, , (9 )

[Ртах, если(2а) >|>Аш^ а при а = 0 - соотношением

Р° = Рта*. (Ю)

Условия трансверсальности на правом конце траектории после исключения неопределенных множителей Лагранжа принимают вид при

р + Э^Г "'=(),

Ха- ~ 81л'|( + У]ГС 1 ) = 0. (11)

Таким образом, задача сводится к интегрированию шестнадцати дифференциальных уравнений (2), (6) - (10) относительно переменных г, V), с, ф(г, А,, 0 - 0..3), р, 8), е, При интегрировании уравнений появится шестнадцать произвольных постоянных интегрирования, семнадцатым неизвестным будет время Для определения постоянных и времени ^

имеем семнадцать условий: четырнадцать граничных условий (3) - (4), два условия трансверсальности (11) и равенство гамильтониана нулю в конечный момент времени, имеющее место для оптимального управления р°.

3. Анализ задачи. Уравнения задачи имеют первые интегралы:

¡|Л0Г||2 = 1, ||M°r||2 = const, Н (г, vb с, <ptr, Аог, р, xtr, Мог, р°) = О,

MoroAiif=N* = const.

Использование двух последних интегралов и кватерпионной замены переменных №' = Лог о Мог позволяет понизить порядок системы на пять единиц без усложнения правых частей уравнений. Правые части уравнений (6) Fb F2, F3 являются сложными функциями фазовых и сопряженных переменных. Анализ этих уравнений показал, что при выполнении условия Ул = (l/2)N30r уравнения и соотношения краевой задачи существенно упрощаются, а порядок системы понижается еще на единицу.

Заключение. В статье сформулирована краевая задача принципа максимума, к которой сводится задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры. Использование новой модели орбитального движения КА позволяет наиболее эффективно рассматривать общую задачу оптимального управления движением КА как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА, поскольку введенный новый кватернионный оскулирующий элемент непосредственно характеризует собой ориентацию мгновенной орбиты КА в отличие от других, ранее использованных кватернионных переменных. Получены первые интегралы уравнений краевой задачи, установлено условие, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. II // Космические исследования. 2003. Т. 41, № 1. С. 92 - 107.

УДК 517.958:536.2

К. Г. Бахтин, В. Ю. Ольшанский

ОЦЕНКА КОНВЕКТИВНЫХ ЧЛЕНОВ В ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Рассматривается математическая модель процесса получения термически расщепленного графита (ТРГ) из окисленного графитового порошка (ОГ) в металлической пресс-форме. Порошок ОГ равномерно распределен в заданной области и подвергается нагреву извне. При достижении критической температуры появляется подвижная граница раздела ОГ - ТРГ.