CC BY
20
Результаты расчетов, представленные графически, показывают, что среди рассмотренных примеров только оболочка, толщина которой изменяется по закону 6(х) = 50е-сх, имеет характеристики устойчивости, приблизительно равные расчетным для оболочки с постоянной толщиной стенок (рис. 1, где I = /1//), в остальных случаях конструкции с переменной толщиной стенок способны выдерживать гораздо более высокую нагрузку.
Для случая ö(x) = ö0(1 + a sin nx/l) показатель эффективности представлен на рис. 2 (где цифрами 1, 2, 3 показаны случаи шарнирного опирания краев оболочки, защемления и консоли). Для составной оболочки в случае классических граничных условий зависимость изображена на рис. 3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антоненко Э.В., Хлопцева Н.С. Осесимметричная формапотери устойчивости тонкостенных цилиндров переменной толщины // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С.165-167.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1974. 640 с.
3. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.
4. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 308 с.
УДК 629
Ю.Н. Челноков
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЗА ФИКСИРОВАННОЕ ВРЕМЯ
1. Дифференциальные уравнения ориентации орбиты космического аппарата. Будем считать, что вектор ускорения u от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения космического аппарата (КА) направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих
размеров, а поворачивается в пространстве под действием управления u как неизменяемая (недеформируемая) фигура. Дифференциальные уравнения ориентации орбиты КА в угловых элементах орбиты имеют вид
düu/dt = (r/c) u sin(^n + ф) cosec I,
dl/dt = (r/c) u cos(^n + ф),
dun/dt = -(r/c) u sin(^n + ф) ctg I, (1)
d^/dt = c/r2, r = p/(1 + ecosф), c = const,
где Qu - долгота восходящего узла, I - наклон орбиты, - угловое расстояние перицентра от узла (переменные I, называются угловыми оскулирующими элементами орбиты КА), ф - истинная аномалия (угловая переменная, характеризующая положение КА на орбите); r = |r| - модуль радиуса-вектора центра масс КА; p и e - параметр и эксцентриситет орбиты, c = |r х v| - постоянная площадей (модуль вектора момента скорости центра масс КА); u - проекция вектора ускорения u на направление вектора момента скорости центра масс КА (управление).
Решение задачи переориентации орбиты КА на основе классических уравнений (1) достаточно сложно в силу их нелинейности и наличия в них особых точек I = 0,п. Задача решается гораздо проще, если использовать дифференциальные уравнения ориентации орбиты КА в параметрах Эйлера (Род-рига - Гамильтона), имеющие вид [1,2]
2dA0/dt = -fiiAi - ft2A2,
2dAi/dt = ^1A0 - Л3,2dA2/dt = ft2A0 + ^1A3,
2dAa/dt = ^Ai - (2)
d^/dt = c/r2, r = p/(1 + ecosф), c = const,
= (r/c) u cos ф, = (r/c) u sin ф,
где Aj (j=0,1,2,3) - параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбиты КА в опорной (инерциальной) системе координат X; = 0 - проекции вектора Q мгновенной абсолютной угловой скорости орбиты на связанные с ней координатные оси.
Уравнения в кватернионной записи принимают вид
2dA/dt = Л о Q, Q = ^iii + ^2i2 = (r/c) u (cos + sin^i2), (3)
d^/dt = c/r2, r = p/(1 + ecosф), c = const,
где Л = A0 + Aiii +A2i2 + A3i3 - кватернион ориентации орбиты КА (кватер-нионный оскулирующий элемент орбиты КА); ii, i2, i3 - векторные мнимые единицы Гамильтона.
Вводя кватернионную переменную АЛ, характеризующую отклонение углового положения орбиты КА от ее требуемого положения, задаваемого кватернионом Л*, в соответствии с кватернионной формулой Л = Л* о АЛ сложения конечных поворотов [2] и используя кватернионное дифференциальное уравнение (3) ориентации орбиты КА, получаем следующее кватер-нионное дифференциальное уравнение возмущенного движения центра масс КА в параметрах Эйлера:
2^АЛ/^ = АЛ о П =
= (r(^(t))/c) u АЛ о (cos + sin ^(t)i2), c = const, (4)
где кватернионная переменная АЛ = cos(1/2АФ) + sin(1/2АФ)eд определяется соотношением АЛ = Л о Л, в силу которого начальное условие для ква-тернионного уравнения (4) определяется заданными значениями Л0, Л* кватернионов начальной и конечной ориентаций орбиты КА: АЛ(£0) = Л о Л0; АФ и ед являются для текущего момента времени t соответственно эйлеровым углом и единичным вектором эйлеровой оси возмущенного конечного поворота орбиты КА относительно ее невозмущенного углового положения, задаваемого кватернионом поворота Л*.
При непосредственном использовании переменных АФ, eдi (¿=1,2,3) для решения задачи переориентации орбиты КА необходимо рассматривать дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс КА в этих переменных. Эти уравнения получаются из кватернионного уравнения (4) при выделении в нем скалярной и векторной частей и имеют вид
¿АФ/dt = Q • ед = (r(^)/c) u (cos ^ еД1 + sin ^ еД2), (5)
2(^/dt)i = ед х П + ^(72АФ)(ед х (П х ед)), АФ = 0. (6)
Отметим, что уравнение (5) справедливо для любого АФ, а уравнение (6) - для АФ = 0, и производная в векторном уравнении (6) является локальной.
Решение задачи переориентации орбиты КА в соответствии с методом теории устойчивости и управления движением твердого тела, предложенным в [3], может быть получено на основе рассмотрения лишь одного скалярного дифференциального уравнения (5).
2. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата за фиксированное время. С использованием эйлерова описания поворота орбиты в пространстве задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата может быть сформулирована следующим образом.
Требуется построить управление
U = Q • ед = (r(^)/c) u (cos ^(t) едх + sin ^(t) ед2), (7)
переводящее орбиту космического аппарата, изменение ориентации которой описывается уравнением
(¿ДФ/dt = U = Q • ед = (r(^)/c) u (cos ^(t) еД1 + sin^(t) вд2), (8)
из начального положения, описываемого кватернионом ориентации Л0, в конечное положение, описываемое кватернионом ориентации Л*, за фиксированное время ti. При этом должен минимизироваться функционал качества
fti rt1
J = (± 1/2 «1(ДФ)2 + 1/2 «2U2)dt = (± 1 /2 «1(ДФ)2 + 1/2 «2(ДФ)2)^, ./0 ./0
(9)
где а1, а2 - положительные весовые коэффициенты.
Управление U здесь имеет смысл проекции вектора ^ абсолютной угловой скорости орбиты на направление ед эйлеровой оси конечного поворота орбиты. Это "новое" управление U содержит, как видно из (7), "старое" управление u.
Краевые условия по переменной ДФ (эйлерову углу поворота орбиты) определяются соотношениями
ДФ(^) = ДФ(0) = 2arccos sca/(TV о Л0), ДФ(^) = 0.
(10)
Решение поставленной задачи с использованием принципа максимума Понтрягина дает закон оптимального управления
U = —кДФ(0)
. /7 , cos(kt1) /7 Л sm(kt) +——-—- cos(kt)
, k = ,/a,
«2'
sin(kt1)
для знака " - " в подынтегральном выражении (9) и закон
U = кДФ(0)
sh(kt) — ch(kt)
v 7 sh(kt1) v 7
, k =J01
V «2
(11)
(12)
для знака " + ".
Оптимальные законы изменения эйлерова угла поворота орбиты КА, удовлетворяющие краевым условиям (10) и соответствующие управлениям (11) и (12), имеют вид (13) и (14)
ДФВД = ДФ(0)
ДФВД = ДФ(0)
/7 Л cos(kt1) . /7 Л
cos(kt)---—-sin(kt)
v 7 sin(kt1) v 7
ch(kt) — sh(kt)
, k =J01
V «2
, k = ,/-
«2
sh(kt1)
соответственно. В соотношении (13) t1 = nf, n = 1, 2,3,....
(13)
Физическое управление и имеет вид
и = —кДФ(0)
с 1 + е сое ^ р ед1 сое ^ + ед2 в1п ^
. /7 , СОБ(к^1) /7 Л
81П(Ш +----гСО8(к£)
81П(к^1)
для знака "-" в подынтегральном выражении (9) и
/ л Л^ЛАС 1 + е сое ^
и = кДФ(0)--
р ед1 сое ^ + ед2 в1п ^
для знака " +".
При этом должно выполняться условие
ед1 сое ^ + ед2 в1п ^ = 0.
Заключение. Предложено аналитическое решение задачи переориентации орбиты КА за фиксированное время посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты КА. Для построения управления, оптимального в смысле минимума интегрального квадратичного функционала качества, использован новый метод теории устойчивости и управления движением, предложенный в [3]. Этот метод позволяет заменить традиционное, как правило, численное решение рассматриваемой задачи управления в трехмерном пространстве угловых элементов орбиты, содержащем особые точки, регулярным аналитическим решением задачи управления для системы с одной степенью свободы, в качестве фазовой координаты которой выступает эйлеров угол поворота орбиты КА.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-0100347).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. I // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 502-517.
2. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения: Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.
3. Челноков Ю.Н. Об одной концепции в теории устойчивости и управления движением твердого тела, основывающейся на теоремах Эйлера - Даламбера и Шаля // Гироскопия и навигация. 2004. № 3 (46). С. 107-118.
