Векторное построение кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

В. Г. Бирюков, Ю. Н. Челноков

ВЕКТОРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА*

Введем в рассмотрение следующие системы координат: 4 -инерциальная, X - жестко связанная с твердым телом, Z - опорная (программная) система координат, вращающаяся в инерциальном пространстве с программной угловой скоростью ю° = со0(0. Взаимная ориентация введенных систем координат задается нормированными кватернионами поворотов А,,Х°, V, V*, в соответствии со следующей схемой поворотов: 5 уУ х,т >х

Здесь ю - абсолютная угловая скорость вращения твердого тела (системы координат^); Х°,Л, - кватернионы поворотов, характеризующие программную и действительную ориентации твердого тела в инерциальной системе координат £; V, V - кватернионы ошибки ориентации твердого тела, характеризующие отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации.

Задача заключается в построении вектора требуемой абсолютной угловой скорости, рассматриваемого в качестве управления, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального углового положения

на любую выбранную программную траекторию = Xю (?) ив дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом переходный процесс должен иметь желаемые качественные и количественные характеристики.

Построение требуемого вектора абсолютной угловой скорости (вектора управления) выполняется либо в связанной, либо в инерциальной системах координат по следующим формулам:

(йх = Ш°(/) + бШд., Щ = <в°(Г) + АЩ.

На основе кватернионных кинематических дифференциальных уравнений углового движения твердого тела и опорной системы координат [1], а также соотношений для кватернионов ошибок ориентации строятся дифференциальные кватернионные кинематические уравнения возмущенного

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 99-01-00192, и научной программы "Университеты России - фундаментальные исследования", проект № 015.04.01.50.

углового движения твердого тела в инерциальной и связанной системах координат:

2V = 5 со^ о V, 5со = X о 1ох ° X,

2у*=У*ОДШх, Аах = X о Дю^ ° X,

где о - кватернионное произведение, точка обозначает дифференцирование по времени, а волна - сопряженный кватернион.

Стабилизирующие управления строятся по принципу обратной связи такими, чтобы нелинейные нестационарные дифференциальные уравнения возмущенного движения твердого тела, замкнутые этими управлениями, принимали вид линейных стационарных интегродифференциальных уравнений:

I

% + Ауу + В | = -й?, 'о

уу+А уу+В \\ч<& = -<1 , 'о

где А, В, А*, В* - постоянные квадратные матрицы размерами 3x3, определяемые исходя из желаемых качественных и количественных характеристик переходного процесса; й и й' - постоянные векторы, определяемые из начальных условий движения.

Законы управления, построенные на основе кватернионных кинематических дифференциальных уравнений возмущенного углового движения, имеют следующий вид:

1 ~ ' 5со? = - —- (2а0у„ + [ау х V о [а„ х у„]° V + Ь0 ¡\>УЛ +

'о

о о V + d),

1 t t

bv X JVvdt + £0vo \vvdt о V + V О bv x J vvdt

'о .'о 'o

Аю^ = —\r(2alv*v + [v* хal\+ v* о [v* x av]o v* + b*0 J' v*vdt +

*

\v*vdtv.b*

t t

—* + V о Jv> _* о v + V о jv*dtxb* —* —* -j* —* i*\ °v +v оd о v +d )

/0 Jo

Построенные законы управления проще известных законов [1], однако содержат особую точку, когда угол эйлерова поворота равен 180°. В построенных законах управления, в отличие от известных законов [2], ана-

литически строго определяются коэффициенты усиления нелинейных обратных связей, исходя из требуемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.

Для случая законов управления со скалярными коэффициентами усиления нелинейных обратных связей можно построить аналитические общие решения дифференциальных кинематических уравнений возмущенного углового движения твердого тела. А также можно исследовать устойчивость полученных решений и дать рекомендации по выбору коэффициентов усиления нелинейных обратных связей, исходя из требований к типу устойчивости переходного процесса.

Законы управления ориентацией твердого тела, использующие в качестве кинематического параметра вектор конечного поворота, строятся аналогично законам управления, описанным выше, и имеют следующий вид:

Scûç = ■

Acûv =-

i+ е.

i+leJ2

a0Gj= + (l + eç )x [av x 9Ç ]+ b0 J Q^dt -

Ux+M*)>

kxej+ bojexdt-

bv x

bv x J 9xdt

+ d

+ d*

Исследование таких законов управления проводится аналогично исследованию законов управления, использующих кватернион ошибки ориентации в качестве кинематического параметра.

Исследуемая задача имеет приложения в инерциальных системах управления угловым движением летательных аппаратов (в частности, при построении так называемых интегрированных систем управления), в системах, реализующих принцип управления по абсолютному угловому положению выходного звена робота-манипулятора, в задачах оживления (анимации) пространственных образов на экране ЭВМ и в системах управления ориентацией космических аппаратов, использующих управляющие маховики.

СПИСОК ЛИТЕР АТУРАЫ

1. Плотников П К., Сергеев А.Н., Челноков Ю Н. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 9 - 18.

2. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.