CC BY
115
УДК 531.38:621 865 8 А. В. Молотков, Ю. II. Челноков
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА «ПУМА» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БИКВАТЕРНИОННОЙ ТЕОРИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ*
Обратная задача кинематики роботов-манипуляторов состоит в определении обобщенных координат робота по заданным местоположению и ориентации его выходного звена (схвата) Существуют различные методы решения обратных задач кинематики роботов, однако все они сопряжены с существенными трудносгями, связанными с решением систем трансцендентных уравнений. В данной статье предлагается новый метод решения обратных задач кинематики роботов. Его суть состоит в том, что решение обратной задачи кинематики сводится к решению задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений движения робота-манипулятора, в которых векторы абсолютных угловой и линейной скоростей выходного звена выступают в качестве управлений и формируются по принципу обратной связи таким образом, чтобы любое заданное положение выходного звена робота было асимптотически устойчивым в целом Применение этого метода рассмотрим на примере манипулятора «Пума» [1] Для решения обратной задачи используются уравнения прямой задачи кинематики и дифференциальные кинематические соотношения.
1. Обратная задача кинематики как задача кинематического управления. Введем в рассмотрение следующие системы координат: X - неподвижная (инерциальная), связанная с основанием манипулятора, У® -связанная с /-м звеном, У - связанная с выходным звеном манипулятора Углы относительных поворотов звеньев вокруг их осей У/1', К/2', У2(,\ Г/<> обозначим соответственно через 8], ..., 9б. Эти шесть углов и будут обобщенными координатами манипулятора
Взаимную ориентацию и местоположение введенных систем координат будем задавать собственными кватернионами конечных поворотов к
и бикватернионами конечных перемещений /" ,(/ = 1,6) [2] в соответствии со схемой перемещений
X М >у(Ч Ма >уО) Мз >у(3) Ки )К(4) ^ >
- - (1)
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №02-01-00988
Бикватернионы относительных конечных перемещений звеньев манипулятора определяются соотношениями
Л, =X,°/y,0 = l¿), (2)
где кватернион Х] и бикватернион характеризуют соответственно угловое движение и поступательное перемещение системы координат У*1' относительно У*'"1,1 (Л5 = Х5, так как имеет место только вращательное движение системы координат Y-5) относительно Символ о означает ква-тернионное произведение
Тогда результирующий бикватернион будет иметь вид
Л = Л[ о Л2 ° Л3 о Л4 оД5 о Л6. (3)
Запишем выражения для векторов ш(1> абсолютных угловых скоростей звеньев манипулятора и векторов V0 , (1 = 1,б) абсолютных скоростей
выбранных полюсов О, (начал систем координат И1') в рекуррентной форме Проектируя полученные соотношения для векторов со и V абсолютных угловой и линейной скоростей выходного звена манипулятора на оси системы координат Y и разрешая их относительно переменных 91,...,G6, получим матричное нелинейное дифференциальное уравнение
[ó, е2 о3 е4 é5 ój =Ие1,...,е6)]-1- , (4)
относительно переменных 9|, ..., Эб, в котором J - якобиан манипулятора Это уравнение описывает собой кинематику манипулятора
Величины Щ и ^(отображения векторов ©и Р на базис Y) выступают в качестве управлений, построение которых по принципу обратной связи может быть выполнено таким образом, чтобы выходное звено манипулятора переходило из любого произвольно выбранного начального положения в заданное конечное асимптотически устойчивым образом
Таким образом, обратная задача кинематики может быть сформулирована как задача Коши для системы дифференциальных уравнений (4) при условии, что управления Щ и VY обеспечивают асимптотическую устойчивость в целом любого заданного положения выходного звена робота-манипулятора.
2. Построение законов управления, использующих бикватернион ошибки ориентации. В соответствии с теорией кинематического управления в качестве управления ориентацией и местоположением твёрдого тела (выходного звена манипулятора) выступает кинематический винт
Пг = (úq + <£>у +s(v0 + vr), (5)
где 5 - комплексность Клиффорда такая, что .у2 = 0, со0 и F0 - вспомогательные переменные.
Построение требуемого винта (управления) может быть выполнено в связанной системе координат У по простейшей формуле
Üy = кЛГ1 о (м - l)o Л, M = Л(г)«Г, (6)
являющейся дуальным аналогом кватернионной формулы, полученной в [3], где M - бикватернион ошибки ориентации и местоположения выходного звена для текущего момента времени, определенный в связанной системе координат, к = const > 0 - скалярный (в общем случае дуальный) коэффициент усиления обратной связи, соответствующий выбор которого обеспечивает нахождение искомых величин с требуемой точностью.
В соотношении (6) бикватернион Л текущей ориентации выходного звена манипулятора находится по формулам (2), (3), а бикватернион программной ориентации Л является заданным (при отладке программы он может быть рассчитан по формулам (2), (3) по задаваемым значениям
е.',... .О-
Выделяя в (6) главную и моментную части, получим законы формирования требуемых угловой m и линейной К скоростей движения выходного звена манипулятора, подстановка которых в уравнения (5) приводит к уравнениям замкнутой управляемой системы
3. Решение обратной задачи. Алгоритм решения обратной задачи кинематики заключается в численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (4) с учетом (5), (6) для некоторых произвольно выбранных (из заданных диапазонов) начальных значений обобщенных координатб/0', ... , 9б'0).
Закон управления (6) гарантирует асимптотически устойчивый выход схвата робога-манипулятора в заданное конечное положение Л , в результате которого звенья занимают положения, соответствующие заданным значениям углов 0i(T), ... , 06(Т)
К достоинствам предлагаемого метода относятся единственность решения, быстродействие и высокая точность
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. h'u K.S., Gonzalez R.C., Lee CSG Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence McGraw-Hill, 1987
2 Челноков ЮН Об одном винтовом методе описания движения твердого тела // Сб науч.-метод статей по теор. механике М : Высшая школа, 1981 Вып 11 С 129- 138
3 Плотников П К, Сергеев АН , Челноков Ю Н Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела // Изв АН СССР Сер Механика твердого тела 1991 № 5. С 9- 18
