Решение обратной задачи кинематики Стэнфордского манипулятора с применением бикватернионной теории кинематического управления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 1. Фазовые переменные Рис. 2. Оптимальное управление

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 87-95.

2. Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 6. С. 895-912.

УДК 531.38; 681.5

Е. И. Ломовцева, Ю.Н. Челноков

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ СТЭНФОРДСКОГО МАНИПУЛЯТОРА С ПРИМЕНЕНИЕМ БИКВАТЕРНИОННОЙ ТЕОРИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. Методология решения обратной задачи кинематики роботов-манипуляторов. Обратная задача кинематики заключается в определении обобщенных координат робота-манипулятора по известному угловому и линейному местоположению выходного звена (схвата) манипулятора. Применяется метод решения обратных задач кинематики роботов-манипуляторов [1], основанный на бикватернионной кинематической теории управления движением свободного твердого тела по принципу обратной связи. Он заключается в решении задачи Коши для дифференциальных кинематических уравнений движения схвата манипулятора. Векторы абсолютных линейной и угловой скоростей схвата манипулятора, содержащиеся в уравнениях, рассматриваются как управления и формируются по принципу обратной связи (см. [1]). В результате решения задачи Коши для любых заданных начальных значений обобщенных координат манипулятора его обобщенные координаты примут

в конечный момент времени значения, отвечающие требуемому положению схвата манипулятора, и обратная задача кинематики будет решена.

Введем следующие системы координат: хуг - основная система координат, связанная с основанием манипулятора; хбубгб - система координат, жестко связанная со схватом манипулятора; хргурггрг - программная система координат, задающая требуемое конечное положение схвата манипулятора. Взаимное положение введенных систем координат зададим нормированными бикватернионами N М*, Л конечных перемещений в соответствии со схемой перемещений

^^^ РГ рг рг

хуг хр' ур' гр' —> хбубгб, хуг хбубгб ,

где М* - собственный бикватернион ошибки местоположения схвата манипулятора; Л^) - собственный бикватернион винтового конечного перемещения схвата манипулятора (программной системы координат) от-

хуг

В качестве обобщенных координат манипулятора выступают углы относительных поворотов звеньев у ¡(г = 1, 2, 4, 5, 6) и перемен пая характеризующая линейное перемещение 3-го звена относительно 2-го. Обозначим обобщенные координаты манипулятора через Яг- Яг = г = 1, 2,4, 5,6; Яз = ¿з.

Кинематические уравнения движения схвата манипулятора имеют вид матричного нелинейного дифференциального уравнения [2]

т т

(Я1 Я2 Яз Я4 Я5 Яб) = А-1 (^1 Ш2 из VI У2 Уз) (1)

относительно переменных я», г = 1, 2,... , 6. Матрица А является функцией обобщенных координат: А = а(я1,я2, ... ,Яб) У?? 3 = 1, 2,3 -проекции векторов угловой и линейной скорости на оси системы координат Хбубгб-

Простейший закон управления в нормированных бикватернионах имеет вид (см. [1])

К* —

иж = + ^ = -(2м)М*С, М* = М* + М*с = N ◦ Л(г), (2)

где К*с = = к + вк° - постоянный дуальный коэффициент усиления

обратной связи, М* и М*с - скалярная и винтовая части бикватернио-М* Л

Л(Я1,Я2, ... ,Яб) = Л1(Я1) ◦ Л2(Я2) ◦ Лз(Яз) ◦ Л4(я4) ◦ Л5(Я5) ◦ Лб(Яб), (3)

где ЛI - бикатернионы относительных конечных перемещений звеньев манипулятора (см. [2]).

Алгоритм решения обратной задачи кинематики заключается в численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (1), дополненных соотношениями (2) и (3).

2. Анализ численного решения. Рассмотрено численное решение обратной задачи кинематики для заданного местоположения выходного звена, соответствующего следующим значениям обобщенных координат: = 20°, ^2 = 40°, ¿з = 0.3 м,^4 = -35°, ^в = 60°, ^6 = -45°. Начальное местоположение схвата манипулятора задавалось фазовыми координатами: ^ = -30°, = 15°, ¿з = 0.1 м,р4 = 36°, = -90°, = 45° Точность решения задачи полагалась равной 10-6. Шаг интегрирования задавался равным 0.01. Коэффициент усиления обратной связи Кос по-1

Графики изменения обобщенных координат, главной и моментной частей бикватернионов ошибки местоположения, главной и моментной частей управления приведены на рис. 1 3.

3,0 2,5 2,0 1,5

= 1,0

"П

^ 0,5

Э 0,0

(О

^ -0,5

е-''-1,0

-1,5 -2,0 -2,5

0 5 10 15 20

Рис. 1. Обобщенные координаты

0,25 0,00 -0,25 -0,50 -0,75 -1,00

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

с Ъ С

Рис. 2. Компоненты бикватерниона ошибки местоположения

\.1

[

1/М2

Г*

0,020

0,015

0,010

0,005

0,000

-0,005

-0,010

-0,015

\м 0

Чг

V/

А Г

га

(

к

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0 ПС

0,050

0,025 ■

0,000 ■

-0,025 ■

о -0,050 ■

Т

> -0,075 ■

-0,100 ■

-0,125 ■

-0,150 ■

-0,175 ■

у, ^--

12,5 15,0 17,5 20,0

10,0 12,5 1,С

15,0 17,5 20,0

Рис. 3. Компоненты управления

В результате численного решения были получены следующие значения обощенных координат: = 20°, = 40°, = 0.3 м, = 145°, = = -60°, = 135°. Отметим, что в силу неоднозначности решения обратной задачи кинематики, полученные значения фазовых координат могут отличаться от значений, по которым вычислялся бикватернион конечного положения выходного звена. Компоненты бикватерниона ошибки местоположения выходного звена в ходе численного решения приняли следующие значения: М° = —1, М^ = 0 = 0 £ = 1, 2, 3; ] = 0,1, 2, 3, что соответствует нашим ожиданиям. Отметим, что одной и той же требуемой ориентации схвата манипулятора отвечают два значения компоненты М° : М° = ±1. В нашем случае М° = —1. Компоненты управления в процессе управляющего движения асимптотически стремятся к нулю.

Требуемая точность решения достигается примерно за 40 секунд, однако для большей наглядности на рисунках приведены первые 20 секунд при выбранных параметрах решения задачи. В рассмотренном примере точность по главной части дотигается значительно быстрее, чем по мо-ментной.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чем,покое Ю.Н. Бикватерниошюе решение кинематической задачи управления движением твердого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. .ТУ2 5. С. 30-42.

2. Ломовцева Е.И.,Чем,покое Ю.Н. Применение бикватернионов в кинематике етанфордекого манипулятора // Математика. Механика : еб. науч. тр. 2012. Вып. 14. С. 123-126.