CC BY
91
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы, М, : Физматгиз, 1966,
2, Бромберг П. В. Теория инерциальных систем навигации, М, : Наука, 1979,
3, Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения, М, : Физматлит, 2006.
4, Челноков Ю. Н., Логинов М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009, 10, С, 64-72,
УДК 531.38; 681.5 Е. И. Ломовцева, Ю. Н. Челноков
ПРИМЕНЕНИЕ БИКВАТЕРНИОНОВ В КИНЕМАТИКЕ СТАНФОРДСКОГО РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА
1. Схема манипулятора и системы координат. Станфордский манипулятор представляет собой шестизвенный манипулятор, имеющий шесть степеней свободы: пять вращательных и одну поступательную. В качестве обобщенных координат выступают углы ^ поворота ¿-го звена относительно ¿-1-го [1]. Схема манипулятора и вводимые системы координат приведены на рисунке.
МесЬ/Ьотоусеуа/г.j pg
2. Прямая задача кинематики. Для данного манипулятора по известному вектору обобщенных координат
д(*) = Ы*),д2(*), ...,дб(*)) =
= (^(¿), ^й, <#>(*), <£б(*)), ^г =
и заданным геометрическим параметрам звеньев определить положение и ориентацию схвата манипулятора относительно абсолютной системы координат ХоУо^о.
Для решения обратной задачи кинематики используется следующая схема конечных перемещений звеньев манипулятора:
X0Y0Zo ^ XiYlZi ^ X2Y2Z2 ^ X3Y3Z3 ^ ^ X4Y4Z4 ^ X5Y5Z5 ^ ХбУ^б
(1)
Здесь XiY¡Zi — система координат, связанная ci-ым звеном манипулятора, XoY0Zo — система координат, связанная с основанием манипулятора.
В основе решения прямой задачи кинематики лежат соотношения для матрицы дуальных направляющих косинусов углов, бикватерниона и бикватернионных матриц М и N типа, построенные с использованием формул сложения конечных перемещений [2]. Матрица дуальных направляющих косинусов, бикватернион и бикватернионные матрицы M и N
основания имеют вид
С = Сб • C5 • C4 • C3 • C2 • Ci, (2)
Л = Л1 о Л2 о Л3 о Л4 о Л5 о Л6, (3)
M(Л) = М(Л6) • М(Л5) • М(Л4) • М(Л3) • М(Л2) • М(Л1), (4)
N (Л) = N (Л1) • N (Л2) • N (Л3) • N (Л4) • N (Л5) • N (Лб). (5)
Здесь С^Л^М(Лi),N(Лi) — соответственно матрица дуальных направляющих косинусов, бикватернион и бикватернионные матрицы М и N
гг В частности, для конечного перемещения первого звена относительно основания они имеют вид
/ sin + sd1 cos — cos + sd1 sin 0 Ci = I 0 0 —1 I , (6)
\cos — sd1 sin sin + sd1 cos 0
Л1 = 1 (p1 + s f 51) — 1 (p1 + s f q1)i1 + 2 (q1 — s fp)Í2+
+1(—51 + s 2 p1)i3),
М (Лх) =
N (Лх) =
/ т1 т1 -П1 п1 ^
—т1 т1 П1 П1
П1 -П1 т1 т1
V —П1 -П1 —т1
/ т1 т1 —П1 п1 \
-т1 т1 —П1 —П1
П1 П1 т1 —т1
\ -П1 П1 т1 Ш1 )
= сое ^ — й1П ^, т1 =
(8)
(9)
. . . . . Р1 + й 2 ^1) ' П1 =
= 2(дх — й, в ^ символ(комплексность) Клиффорда: й2 = 0.
3. Кинематические уравнения движения манипулятора. Кинематические уравнения были получены из выражений для линейной и угловой скорости выходного звена манипулятора
Ш = фФ 1 ¿0 + фФ 2&1 + Ф 4^3 + Ф 5^4 + Ф 6&5,
V = ¿¿1 X ¿1 + (Ш1 + Ш2) х (¿2 + + (ш 1 + ¿¿2) х (¿3^2) + + (¿¿1 + ¿¿2 + ¿¿4 + ¿¿5 + ¿¿б) X (¿6,
(10) (11)
где ( — вектор линейного перемегцения ¿-го звена манипулятора относительно ¿-1-го.
Полученные кинематические уравнения в матричной записи имеют вид
(12)
~Ф 1 ¿1
Ф 2 ¿2
(3 = 1 • ¿3
Ф 4
Ф 5
Ф 6_
где — обобщенные координаты манипулятора, ¿к , V; — проекции вектора мгновенной абсолютной угловой и линейной скоростей выходного звена манипулятора на оси связанной со схватом системы координат Х6У6^6, матрица А размерами 6 х 6 (якобиан)является сложной функцией обобщенных координат Ф1, Ф2, (3, Ф4, ф5, ф6-
Соотношения (12) — это кинематические уравнения движения выходного звена робота-манипулятора. Они представляют собой систему шести нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат фг,(3. Эти уравнения планируеся использовать для решения обратной задачи кинематики станфордского ма-
нипулятора с использованием бикватернионной теории кинематического управления [3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Фу К., Гопсалес Р., Ли К. Робототехника, М, : Мир, 1989, 634 с,
2, Челноков Ю. Н. Кватерииоиные и бикватерииоиные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения, М, :Физматлит, 2006. 512 е.
3, Челноков Ю. Н. Бикватернионное решение кинематической задачи управления движением твердого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов// Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 5, С, 30-42,
УДК 624.131+539.215
А. Г. Марку шин
К ПЛАНИРОВАНИЮ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ИСТЕЧЕННИЮ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ
При решении инженерных задач, связанных с проектированием оборудования, взаимодействующего с сыпучими материалами, возникает, как правило, необходимость в знании напряженно-деформированного состояния его конструктивных элементов, что требует, в свою очередь, знания давления сыпучего материала на эти элементы в процессе эксплуатации оборудования. Последнее невозможно без создания теории движения сыпучей среды, адекватно описывающей ее главные свойства, проявляющиеся, например, при истечении из бункерных устройств. К числу таких свойств сыпучего тела относится, прежде всего, свойство образования запирающих динамических сводов, полностью прекращающих истечение или ответственных за явление пульсации при истечении [1]. Поставщиками подобных инженерных задач могут быть пищевая, горно-рудная, топливно-энергетическая промышленности, а также производства строительных машин и механизмов различного назначения и др.
Построение указанной теории начато в работах [2-8]. В качестве поверочного эксперимента для разрабатываемой теории был выбран соответствующим образом обобщенный и усовершенствованный эксперимент Р. Квапила [9].
Под аппаратным обеспечением технических расчетов здесь понимается комплекс специального оборудования, состоящий из экспериментальной установки для исследования истечения сыпучих тел и набора укомплектованных поршнями толстостенных стальных стаканов с полированными внутренними поверхностями, предназначенных для испытания
