CC BY
47
УДК 531.38: 621.865.8 А. В. Молотков, Ю. Н. Челноков
О ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ МАНИПУЛЯТОРА С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ СОЧЛЕНЕНИЯМИ*
В статье на примере трёхзвенного пространственного манипулятора с взаимно ортогональными кинематическими осями излагается новый метод решения обратной задачи кинематики, основанный на теории кинематического управления и кватернионном методе описания углового движения твёрдого тела.
1. Постановка задачи. Введём в рассмотрение следующие системы координат: X - неподвижную, связанную с основанием манипулятора, У* - связанную с г'-м звеном, Y - связанную с выходным звеном (схватом) манипулятора. Углы относительных поворотов звеньев вокруг осей Х\, Y{ , Уз(2) обозначим соответственно через а, (3, у.
Взаимную ориентацию введённых систем координат будем задавать собственными кватернионами поворотов [1] Х2, /Ц в соответствии со схемой поворотов
X—^-»yW ^ >У(2) >Ym(Y)~X—^>Y, (1.1)
т а т . а т рг (3л- у т . у /, лч Xl = cos — + zt sin —, /-2 = cos 2 + г2 Sln 2 > 3 = с°2 + Sm 2 *
/[, ¡2, г3 - векторные мнимые единицы Гамильтона.
Тогда результирующий кватернион, описывающий ориентацию схвата манипулятора в системе координат X, будет иметь вид
X = ^ о Х2 0 А-з, (1-3)
где символ о означает кватернионное произведение.
Проекции вектора со абсолютной угловой скорости вращения выходного звена манипулятора на оси систем координат Y и X определяются соотношениями (1.4) и (1.5) соответственно
шГ] = acospcosy + 0 sin у, Шу2 = -acosPsiny + |3cosy,
соКз =asinp + y, (1.4)
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект Ns 99-01-001922, и научной программы "Университеты России - фундаментальные исследования", проект № 015.04.01.50.
170
(üx¡ = á + ysinp, co^ = (3cosa-ysinacosP,
= psina + ycosacosp. (1.5)
Здесь точка означает производную по времени.
Разрешая уравнения (1.4), (1.5) относительно угловых скоростей относительных поворотов á, [3, у, получаем
coy cosy-coy sin у
á=—1--—2-, Р = о)у siny + íüy cosy,
cosp 1 2
у = соГз-ásinP (1.6)
или
со^ cosa co^- sina
у = —5-—-, р = cosa + cou sin a,
cosP 2 3
á = co_Yi-ysinp. (1.7)
Задача заключается в нахождении углов a, Р, у относительных поворотов звеньев по известным их начальным а0, Ро, Уо и конечным а-г, Рт, Ут значениям, характеризующим ориентацию выходного звена манипулятора в начальном и конечном положениях.
Эта задача, называемая обратной задачей кинематики, традиционно решается на основе конечных тригонометрических соотношений (1.2), (1.3) и уравнения в матрицах направляющих косинусов. Для трёхзвенного манипулятора с взаимно ортогональными кинематическими осями, такая задача решается довольно просто. Однако, при повышении числа степеней свободы системы аналитическое и численное решения представляют значительные трудности. Использование теории кинематического управления угловым движением твёрдого тела позволяет свести решение задачи к интегрированию кинематических уравнений движения манипулятора и, тем самым, снимает известные трудности решения краевых задач, описываемых нелинейными тригонометрическими уравнениями. Такой подход иллюстрируется на примере рассматриваемого манипулятора.
В соответствии с этой теорией в качестве управления ориентацией твёрдого тела (выходного звена манипулятора) выступает вектор абсолютной угловой скорости [2, 3], закон формирования которого строится по принципу обратной связи.
С точки зрения этой теории уравнения (1.6) или (1.7) описывают собой управляемую систему, переводимую асимптотически устойчивым (в целом) образом за счёт соответствующего выбора законов изменения компонент вектора абсолютной угловой скорости (управлений) из заданного начального состояния а<ь Ро, Уо в требуемое конечное а г, Рг, Уг-
2. Построение законов управления, использующих кватернион ошибки ориентации. Построение требуемого вектора абсолютной угловой скорости (вектора управления) может быть выполнено [4] либо в связанной системе координат Y, либо в неподвижной системе координат X по формулам
_* _
, у __V
аг = -к -f, (ùx = —к —, (2.1)
V0
где Vq, v0, v*, vv - скалярные и векторные части кватернионов
v*=FoI, v=X°F (2.2)
ошибки ориентации выходного звена для текущего момента времени (в связанной и инерциальной системах координат соответственно). В соотношениях (2.2) кватернион X текущей ориентации выходного звена манипулятора находится по формулам (1.3), (1.2), а кватернион программной ориентации V-- по аналогичным формулам, в которых вместо а, Р, у необходимо взять а т, Р т, Y г» к*, к - коэффициенты усиления обратных связей (к', к = const > 0), выбираемые из условий устойчивости управляемого движения.
3. Решение обратной задачи. Алгоритм решения обратной задачи кинематики заключается в численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (1.6) или (1.7) для заданных ао, Ро, Уо, где компоненты вектора абсолютной угловой скорости определены соотношениями (1.2), (1.3), (2.1), (2.2).
В заключение отметим, что для обобщения описанного подхода на случай многозвенных пространственных манипуляторов необходимо обобщить кинематическую задачу управления угловым движением твёрдого тела на случай произвольного пространственного управляемого движения, вводя вместо углов, векторов и кватернионов дуальные углы, винты и бикватернионы Клиффорда и используя бикватернионные уравнения кинематики пространственных манипуляторов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.
2. Плотников П. К., Сергеев А. Н., Челноков Ю. Н. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела//Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 9-18.
3. Панков А. А., Челноков Ю. Н. Исследование кватернионных законов кинематического управления ориентацией твёрдого тела по угловой скорости // Изв. РАН. МТТ. 1995. №6. С. 3- 12.
4. Бирюков В. Г., Челноков Ю. Н. Векторное построение кинематического стабилизирующего управления угловым движением твёрдого тела // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 156 - 158.
